Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
4.2.
121
энергии, а также скорости и другие электронные параметры. В частном слу-
чае, когда в электронном состоянии типа |
,α>, можно получить уравнения
для кинетической энергии:
). (4.12)
При этом соотношение для средней скорости будет иметь вид
(4.13)
Если пренебречь в соотношениях (4.12) и (4.13) амплитудным пара-
метром
вследствие того, что
слабо зависит от
, то из (4.12) и
(4.13) получается [3]
.
4.2. Изменчивость эффективной массы электронов
в кристалле и методы её вычисления
В пределах первой зоны Бриллюэна будут наблюдаться точки экс-
тремумов функций, описывающих энергию периодической функции одно-
частичных периодичных электронных состояний . Эти
экстремумы определяются именно периодичностью этой функции [2, 3].
Если считать, что при постоянном параметре функция кинетической
энергии будет иметь экстремум при величине =
, то после введе-
ния векторного параметра = −
, который будет иметь малые значения
(1), возникает возможность провеcти замену (4.12) приближенным
соотношением
. (4.14)
В этом уравнении параметр
-1
представляет собой тензор об-
ратной эффективной массы электрона, находящегося внутри энергетической полосы энергетических электронных состояний. Этот параметр
записывается как
122
(4.15)
Второе слагаемое, стоящее в правой части (4.15), определяет изменение величины эффективной массы свободного электрона под влиянием
периодического потенциала. Этот тензорный параметр имеет осевую
симметрию и для каждой точки экстремума в зоне Бриллюэна (4.14) представляется в виде компонентных соотношений по осям декартовой системы координат.
Привязывая главные оси этого тензора к координатным осям такой системы, можно получить эти компонентные соотношения в обобщенном виде:
. (4.16)
При этом изоэнергитические поверхности второго порядка (области,
в которых значения равной энергии
= E
0
= const)
, (4.17)
образуются в пространстве волновых векторов с полуосями
.
Эти поверхности изображены для трех различных случаев на рис. 4.1.
z
x
y
z
z
y
y
x
x
Рис. 4.1. Изоэнергитические поверхности второго порядка:
−
≠
≠
> 0; −
≠
< 0; −
≠
,
> 0
Данные изоэнергитические поверхности второго порядка соответствуют [3]:
а) трехосному эллипсоиду с
≠
≠
> 0 (рис. 4.1,а);
б) однополостному гиперболоиду, если одна из масс, например
,
отрицательна, а остальные положительны (рис. 4.1,б);
4.2.
123
в) двухполостному гиперболоиду, если две массы, например
≠
отрицательны, а
положительна (рис. 4.1,в).
Рассмотрим преобразования по методу эффективной массы.
Можно отметить, что если применить гамильтониан
в соотношении (4.14), то при малых величинах волнового век-
тора , которые будут иметь место в случае малого отклонения энергии од-
ноэлектронных состояний
от экстремальных значений, собствен-
ные значения этой энергии и собственные волновые функции представляются в виде равенств [1, 8, 15]:
,
В случае плоских волн можно получить соотношения для собствен-
ных значений энергии одноэлектронных состояний, только для собствен-
ных функций в виде
. В этом случае эффективный гамильто-
ниан будет равен
(такая запись представлена
в системе главных осей тензора обратной эффективной массы). Это преобразование и является преобразованием эффективной массы, при котором
оценка состояний возбуждения в длинноволновом диапазоне рассматривается как влияние периодического потенциала решётки на это возбуждение,
которое учитывается путем замены в полном гамильтониане массы электрона на эффективный Гамильтониан, который называется Гамильтонианом тензора эффективной массы.
Рассмотрим
– метод вычисления эффективной электронной массы.
Этот метод относится к группе методов теории возмущения, тогда тензор эф-
фективной массы определяется в зоне экстремума функции .
Рассмотрим простой случай нахождения экстремума в точке
= 0.
Тогда соотношение Шредингера (4.4) для функции Блоха, после вве-
дения параметра = – ћ2k2/2m, может быть преобразовано в соот-
ношение
124
. (4.18)
Если положить малость значения параметра
, то в (4.18) член, стоящий справа, может быть охарактеризован как источник возмущения. Если
считать, что этот источник отсутствует, можно положить, что решение
(4.18) для одной элементарной ячейки будет представлено как
(4.19)
Если энергетический уровень
(при k = 0) не соответствует условию вырождения, то волновую функцию Блоха (4.18) (для случая упомянутого выше условия первого приближения теории возмущений) можно
представить в виде
. (4.20)
При рассмотрении всех типов кристаллов, у которых имеется центр
симметрии, будет иметь место равенства нулю всех диагональных матрич-
ных элементов <
||
в (4.20) и эти дополнительные члены к вели-
чине энергии будут возникать только после второго порядка теории возмущения [3].
В этой сумме можно после сохранения членов, содержащих
в энер-
гетической полосе энергии, получить:
. (4.21)
Далее, применяя соотношение (4.15) для тензора обратной эффек-
тивной массы (4.15), можно, пользуясь (4.21), получить
. (4.22)
Проводя оценку этой зависимости, можно сделать вывод, что этот
тензор обратной эффективной массы может принимать как положительные
(случай, когда состояния с энергией
<
), так и отрицательные (когда
>
) значения.
4.3.
125
Следовательно, чем меньше величина |
−
|, тем больше будет
влияние состояния энергии
на эффективную массу электрона в состоя-
нии
.
4.3. Расчёты параметров состояний электрона при помощи
методов с различными приближениями
Задача определения волновых функций состояния одного электрона
(одноэлектронного состояния) в объёме твёрдого тела и определения при
этом закона дисперсии E
(зависит от нахождения зависимости для сред-
него поля c периодическим потенциалом
, что сопряжено с громозд-
кими математическими процедурами.
В связи с этим предложены некоторые приближённые методы реше-
ния данной задачи для 2-х простых частных случаев и применении для
этого 2-х соответствующих им методов.
Первый из них – расчёт в «приближении почти свободных элек-
тронов» («приближения слабой связи»), заключается в предположении
того, что в обобщённом уравнении Шредингера для одноэлектронных состояний (4.2), учёт периодического потенциала, определяемого функцией
, осуществляется методом теории возмущений, который применим
вследствие малости амплитуды этой функции. Вначале, в нулевом прибли-
жении, будем полагать, что при любых значениях параметра многократно вырожденными являются собственные значения ε(=
2k2
/2m и
оператор
= , поскольку для случая, когда = k, этим значениям
будут соответствовать функции
. Матрица оператора возму-
щений
будет иметь элементы, которые определяют состояния для
,
отличающиеся друг от друга на величину вектора обратной решётки . По-
этому можно записать эти элементы оператора в виде
(4.23)
Это соотношение можно записать и в другом виде, учитывая равен-
ство
=
, как уравнение:
126
Периодичность параметра
= + в случае равенства модулей
|
| = |, эквивалентно равенству
, которое справедливо для
множества всех векторов
, находящихся на границах зоны Бриллюэна.
Переходя от объёмного интеграла (4.23) к одномерному по одной из
декартовых осей, будем иметь дело с «двукратным вырождением» [3, 13]
при котором при = /2 = n и n = ± 1, ± 2, неравными нулю будут
только элементы матрицы, определяемые как
.
Следовательно, для значений k из этого диапазона, решение основ-
ного уравнения (4.2) относительно волновой функции
(4.24)
определяется как обобщённое соотношение вида
. (4.25)
После введения параметра k) = , получается система, со-
стоящая из 2-х уравнений:
, (4.26)
которые будут иметь решения относительно параметра в виде двух решений:
, (4.27)
, (4.28)
что (при условии положительного подкоренного параметра) даст решение
этих уравнений для соответствующих нормированных собственных функ-
ций:
1
(x) =
и 2(x)=
.
4.3.
127
Особенности полученных результатов заключаются в том, что энер-
гетический спектр (зависимость E(k)) на границах зон Бриллюэна имеет
участки разрыва, значения которых равны 2Vg, что можно наблюдать на
расширенной зонной схеме для соответствующих значений волновых век-
торов
(рис. 4.2, а).
0
/
/
2/ 2/a
0
/
/
E(k) Ea(k)
α = 3
α = 2
α = 1
Рис. 4.2. Спектральные зависимости E(k) – энергии одноэлектронных состояний:
− зонная схема в расширенном виде; − зонная схема в виде энергетического
спектра одноэлектронных состояний, определённая в виде зависимости
от приведённых волновых векторов (4.21)
На рис. 4.2, б приведен спектр E(k), который получен после его пре-
образования в многозначную функцию E(k) относительно приведённых
волновых векторов
, что получается за счёт учёта свойств периодичности
энергии и свойства эквивалентности волновых векторов, различающиеся
на величину вектора обратной решётки . Видно, что на границах этих со-
стояний имеют место стоячие волны (участки квазинепрерывных полос
энергии), а при удалении от границ зон Бриллюэна этот эффект возмущений стоячих волн будет становиться незначительным (рис. 4.2, б).
Можно также проиллюстрировать трёхмерное представление энергети-
ческого спектра в системе волновых векторов
аналогичной декартовой, где
можно определить разрывные участки на границе зоны Бриллюэна (рис. 4.3).
Так, в атомной структуре большинства металлов, при электронной за-
полненности их внутренних оболочек и наличием не полностью заполненных ns- и np- оболочек, в электронной проводимости будут участвовать s- и
p- состояния [4]. При этом считается, что в таких структурах поверхность
Ферми практически соответствует поверхности Ферми, рассматриваемой в
модели почти свободных электронов, когда 1 → s и
2
→
p .
128
Рис. 4.3. Трёхмерный эскиз изоэнергетических поверхностей одноэлектронных
состояний для кристаллов с простой кубической решёткой:
− изоэнергетическая поверхность в пространстве волновых векторов
− сечение плоскостью kz=0 пространства изоэнергетических поверхностей
Можно также дать объяснение образованию энергетических зон для
вышерассмотренного физического приближения слабой связи. Подста-
новка параметров k = 2 и = n/d ( − длина волны де Бройля, d – рас-
стояние между кристаллическими плоскостями) в условия, накладываемые
на волновые вектора 2 =
2
или k = /2, даст возможность полу-
чить соотношение Вульфа − Брэгга в виде: 2 = , которое отражает
когерентное отражение плоской волны электронов при её движении от кристаллических плоскостей. Таким образом, выполнение этого уравнения
Вульфа − Брэгга будет означать отражение свободного электрона от кристаллических плоскостей при его движении в объёме кристаллической решётки, что также будет менять его волновую функцию [2, 3].
Рассмотрим теперь второй случай, т.е. случай « приближения
сильной связи», или случай сильно связанных электронов, при котором
вышерассмотренные предположения «почти свободных электронов» не
могут быть применимы. Очевидно, неприменимость такого подхода к
рассмотрению проводимости связано с тем, что иногда лишь некоторые
электроны могут участвовать в этом свойстве материала. Этот эффект
имеет место в случае таких металлов, как «благородные», переходные и
металлы редкоземельных элементов и актинидов. Они имеют не полностью заполненные электронные облака оболочек d- и f-, электроны которых только частично участвуют в проводимости молекулы (по аналогии
с предыдущим случаем для s- и p- облаками (состояниями)). Зонная теория для таких структур основана на приближении сильной связи, которая
будет рассмотрена ниже.
4.3.
129
Пусть в электронно-ионном n узле потенциальная энергия взаимо-
действия электрона и иона определяется функцией , которая
представляется волновой функцией в уравнении Шредингера (4.2), которое
будет в данном случае иметь вид [3]
(4.29)
Само понятие о сильной электронной связи предполагает случай, ко-
гда при решении (4.29) пренебрегается перекрытие волновых функций, относящихся к разным узлам кристаллической решётки. Сильная связь указанного приближения для одного электрона реализуется при двух состоя-
ниях – основного и возбуждённого, представленного как , что
может быть представлено при n
в виде условия
. (4.30)
Волновая функция
(( + ) является периодической (n −
период, соответствующий постоянной решётки), откуда можно заключить,
что в кристалле, который содержит один ион в каждой элементарной
ячейке, электрон будет обладать потенциальной энергией в виде
, а в операторной форме в виде Гамильтони-
ана
.
В предположении, что энергетический уровень
соответствует
уровню невырожденного электронного газа, в первом приближении, вышерассмотренной волновой функции будет соответствовать совокупная
функция, состоящая из n волновых функций:
. (4.31)
При этом волновой функции будет соответствовать энергия:
, (4.32)
в которой под знаком суммы стоит усреднённый матричный параметр:
. (4.33)
130
Следовательно, в каждом атоме кристалла элементарный энергетиче-
ский уровень
, относящийся к числу невырожденных, будет преобразовы-
ваться в квазинепрерывную полосу энергетического спектра. С возрастанием
количества волновых функций n будет иметь место быстрое убывание эле-
ментов
из (4.33), откуда следует, что в сумме второго уравнения (4.33)
можно с небольшой погрешностью учитывать только члены, относящиеся к
соседним ионам, расположенными вокруг иона при n = 0.
Функция E
(
) имеет вид, который свидетельствует о том, что она
сильно зависит от совокупного поведения волновых функций в межатомном пространстве и от самих этих межатомных расстояний. При этом величины ширин полос энергетического спектра являются слишком малыми
для значений, соответствующих сильно локализованным состояниям .
В объёме простой кубической шестигранной решётки (n = 6) с постоянной
решётки a зависимость E
(
) (4.32) можно записать в виде [15]:
(4.34)
в котором функции потенциальной энергии имеют вид
,
. (4.35)
Тогда ширина полосы энергетического спектра E
() равна 12|
|.
В случае ka 1, что соответствует длинноволновому энергетиче-
скому состоянию, будет иметь место
(4.36)
Отсюда следует, что в центре зон энергетического спектра эффек-
тивную массу можно найти из равенства
=
в виде m* =
, от-
куда следует, что знак матричного элемента функций потенциальной энер-
гии
будет определять и знак эффективной массы m* [12, 15].
В каждом элементе решётки, в центре зоны Бриллюэна, изоэнерге-
тические поверхностные области имеют вид сферы. Но с ростом величин
волнового вектора
, в соответствии с (4.34), будет происходить деформа-
ция энергетической функции как показано на рис. 4.3, а,б, где приведены
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]