Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
91
. (2.154)
Аналогично для первого уравнения из (2.140) применима оператор-
ная форма (2.153) (первое уравнение), что в итоге даёт соотношение для
оператора напряжённости электрического поля:
. (2.155)
Рассмотрим случай изотропной среды, когда ЭМВ являются попе-
речно-ориентированы и вступают во взаимодействие только с кристаллами, имеющими также поперечную поляризацию с вектором удельной по-
ляризации
, который возникает только при ионном отклонении от стационарного положения равновесия. Отсюда можно получить соотношение
для энергетического параметра взаимодействия электрического поля с
напряжённостью и полем поперечной поляризации с вектором
. Этим
параметром является плотность энергии взаимодействия:
. (2.156)
Соотношения для плотностей кинетической и потенциальных энергий поляризационного поля в объёме кристалла (при условии пренебрежения дисперсией частот оптических поперечных колебаний
t
) имеют вид
. (2.157)
Входящие в это соотношение параметры
t
и будут рассмотрены
далее.
Из (2.156) и (2.157) можно определить плотность функции Лагранжа
для взаимодействующего с ЭМП кристалла полем его поляризации, определяемого как
(2.158)
Из этого соотношения можно поучить уравнение для напряжённости
поля поляризации Лагранжа:
(2.159)
92
Отсюда следует, что собственные колебания вектора поляризации
,
при отсутствии напряжённости поля
, будут определяться из соотноше-
ния
, откуда следует, что именно параметр
t
соответствует
значению собственной поперечной частоте поляризационных колебаний.
Из (2.159), при наличии статического поля =
, при ионном сме-
щениии будет возникать удельная векторная поляризация
. Удель-
ная поляризация
находится из соотношения:
(
– диэлек-
трическая проницаемость среды в статическом поле кристалла).
После уравнения правых частей этих соотношений можно получить
. (2.160)
Сумма (2.139) и (2.158) представляет собой сумму плотности функ-
ции Лагранжа для ЭМП и поперечной поляризации в кристалле:
. (2.161)
Векторные величины потенциала и поляризации
имеют сопря-
жённые векторные импульсы и
, которые определяются из уравнений:
,
(2.162)
Это даёт возможность найти плотность энергии E в виде
(2.163)
При использовании соотношений (2.162) можно перейти от обоб-
щённых скоростей к обобщённым импульсам, что даст возможность описать эти параметры в рамках квантово-механических представлений. Тогда
полная функция Гамильтона для всего объёма кристаллической структуры
будет представлена в виде трёх слагаемых [11, 13]
, (2.164)
где
, (2.165)
, (2.166)
. (2.167)
93
В этих уравнениях
и
представляют собой векторные пара-
метры удельной поляризации и сопряжённого к этому значению им-
пульса в объёме элементарной n-й ячейки кристалла, имеющей объём v.
Обращает на себя внимание, что имеет место совпадение (2.165) и
(2.146), поэтому, по аналогии с проведёнными выше преобразованиями
векторов и
в операторную форму (2.153), можно провести преобразо-
вание функции Гамильтона поля поляризации (2.166) в операторную
форму – Гамильтониан:
. (2.168)
Осуществив такое же преобразование для векторов (2.162), получим
их операторную запись в виде
, (2.169)
(2.170)
В этих последних соотношениях (2.168)–(2.169) функции суммиро-
вания производятся по всем возможным значениям волновых векторов
,
количество которых равно N в объёме первой (основной) зоне Бриллюэна
и по значениям параметра , который определяет два возможных типа ионной поляризации при поперечных колебаниях.
Для третьего слагаемого (2.164) функции Гамильтона, определяющего взаимодействие полей ЭМП и поляризации (2.167), также можно, используя соотношения (2.153) и (2.169), получить в операторной форме:
. (2.171)
Параметр
определяется как
. (2.172)
Анализ составляющих соотношения (2.171) показывает, что фотоны,
образованные за пределами первой зоны Бриллюэна и имеющие волновые
94
векторы = не вступают во взаимодействие с фононами оптического
диапазона, образованных в результате кристаллических поперечных колебаний ионов решётки.
Если исключить из соотношения (2.165) и из его операторного вида
(2.154) колебания с нулевой энергией и члены, включающие те векторы
= , которые не попадают в первую зону Бриллюэна, то система для по-
перечных фононов и взаимодействующих с ними фотонов может быть записана в операторном виде как Гамильтониан:
, (2.173)
. (2.174)
В этих соотношениях параметры
и
в
случае изотропных кристаллов они не зависят от индекса поляризации
.
Для упрощения, в дальнейших выкладках индекс поляризации при обо-
значениях этих параметров указываться не будет.
Оператор (2.174) может быть представлен в диагональном виде по-
средством перехода к новым операторам Бозе:
, . (2.175)
Выбор параметров
и
(четырёх вещественных четных значе-
ний волнового вектора
) осуществляется с учётом того, чтобы оператор
(2.174) подчинялся выполнению равенства
. (2.176)
Кроме того, оператор (2.175) должен удовлетворять перестановоч-
ным уравнениям Бозе:
. (2.177)
После подстановки (2.175) в (2.177), можно, при учёте взаимодей-
ствия операторов фотонов и фононов, записать систему уравнений:
95
. (2.178)
Произведение
в (2.176) представляет собой энергию поляритонов −
новых элементарных возбуждений, имеющих место для каждого значения
волнового вектора
в объёме, ограниченном первой зоной Бриллюэна [3].
Эту величину элементарной энергии поляритона необходимо найти
через функционал коммутации
, который может быть найден
двумя способами:
1) С использованием уравнения (2.176) получим для этого комму-
татора
. (2.179)
2) После подстановки в это равенство уравнений (2.174) и (2.175) даёт
(2.180)
После учёта (2.175) и приравнивания правых частей (2.179) и (2.180)
можно получить систему
,
,
,
(2.181)
Отсюда следуют соотношения
,
что позволяет из (2.180) получить систему однородных уравнений:
. (2.182)
У этой системы существует условие её разрешимости в виде
. (2.183)
Тогда решение (2.183) может определить две ветви элементарных
поляритонных возбуждений, определяемых знаками :
96
. (2.184)
Видно, что это решение полностью совпадает с соотношением
(2.136), полученным ранее.
Для конкретно заданного значения частоты , решение (2.183) отно-
сительно параметра
, которое определяет отклик кристалла на внешнее
воздействие, даст следующее уравнение для частотной зависимости диэлектрической проницаемости в виде
. (2.185)
Отсюда видно, что это соотношение будет иметь смысл при
в полосе частотного спектра поляритонов, в котором значение параметра k
будет являться мнимым числом, которое будет характеризовать механизм
уменьшения величины амплитуды плоской волны, имеющей частоту , во
время её прохождения в среде объёма кристалла.
Диэлектрическая проницаемость (2.185) с учётом (2.119) может
быть записана в виде
=
. (2.186)
2.5. Влияние процессов рассеяния в кристаллической решётке
на спектральную характеристику колебаний нейтронов
Нейтроны, имеющие малые энергетические уровни колебаний (ме-
нее 0,25 эВ) считаются «медленно колеблющимися частицами» в объёме
твердотельных структур. Однако взаимодействие фононов и фотонов с
этими колебаниями вызывают изменение кинетического состояния кристаллической структуры. Собственная длина волны у нейтронных колеба-
ний, как правило, имеет величину менее 210-8 см = 2
(2 ангстрема), что
сопоставимо с размерами межъядерного расстояния в твердотельной кристаллической структуре, примерно равной величине 10-8 см. Поэтому
вследствие согласованного (когерентного) рассеяния нейтронов на большинстве ядер имеют место интерференционные эффекты, проявляющиеся
при этом рассеянии. Этот эффект интерференции играет значительную
97
роль в кристаллических структурах, состоящих из одноизотопных ядер, у
которых отсутствуют спиновые вращения [14].
Когда в кристаллическую решётку будут входить некоторые ядра, у
которых может быть отличный от основных ядер изотопный состав, или
ядра с ненулевым спиновым числом, то рассеяния на таких элементах
структуры будут некогерентными, т.е. имеющими изотопную и спиновую
некогерентности.
Ниже будут даны основные теоретические соотношения, которые
основаны на рассмотрении когерентного рассеяния на одноизотопной кристаллической одноядерной элементарной ячейке [3], [9], [13].
Как известно, ядро атома состоит из протона и нейтрона. В [3] по-
стулируется, что именно нейтронное взаимодействие является доминирующим в спектральном механизме рассеяния этого типа.
Так, в операторной форме можно записать результат взаимодействия одноизотопового элемента с нулевым спиновым числом и медленного нейтрона, имеющего массу , в виде
, (2.187)
где параметр является амплитудой рассеяния ядром энергии мед-
ленного нейтрона, а параметр
=
+
является радиус-вектором, кото-
рый определяет положение ядра вблизи кристаллического узла
в виде
оператора смещения ядра атома из решеточного узла
:
. (2.188)
Характер нейтронного рассеяния имеет когерентную форму и может
носить как упругий, так и неупругий виды. Будем полагать начальное и конечное состояния нейтрона в виде математического представления плоских
волн a и b соответственно:
, (2.189)
которые имеют безразмерный вид, так как они нормированы на величину
единичного нейтрона в единице объёма.
Упругое рассеяние энергии нейтрона предполагает её постоянство
после соударения с ядром кристаллической решётки, т.е.
98
. (2.190)
А при неупругом рассеянии нейтрона при взаимодействии с решёткой часть энергии расходуется на возникновение или исчезновение нескольких фононов (или даже одного фонона). Это значит, что энергия
нейтрона меняется в полном соответствии с законом сохранения энергии.
Так, для второго случая неупругого рассеяния поглощение нейтроном энергии одного фонона описывается соотношением
,
. (2.191)
А в случае образования нового фонона (испускания фонона) будет
выполняться соотношение
,
. (2.192)
Система, состоящая из нейтрона и кристалла в первом приближении,
может быть записана для начального
и конечного
состояний как
(2.193)
Параметр
представляет собой волновую функцию колебатель-
ного состояния системы с параметрами, определяемыми числом фононов
для ветви s и волнового вектора .
Согласно золотому правилу Ферми, при рассмотрении борновского приближения, при воздействии внешнего возмущения, вероятность
перехода из начального в конечное состояние (2.193) в единицу времени
будет равна
, (2.194)
где параметр dp = представляет собой плотность числа конечных
состояний рассеянного нейтрона на единицу телесного угла. Обозначенная
на (2.194) черта над матричным параметром (во второй степени) означает
усреднение результата по всем возможным состояниям колебаний решётки. После деления левой части (2.194) на величину плотности потока
падающих частиц
можно определить значение дифференциального се-
чения рассеяния энергии в единицу телесного угла.
99
В случае упругого рассеяния нейтронов решётка не будет изменять
своё состояние колебаний, следовательно, матричный элемент, стоящий в
правой части (2.194), будет соответствовать уравнению:
=
(2.195)
в котором
,
. (2.196)
С учётом известного преобразования
,
из которого следует операторное соотношение:
.
Тогда можно, после учёта (2.188) и (2.196), в уравнении (2.195) получить
усреднённое значение этого матричного уравнения в виде
. (2.197)
В этом обобщённом уравнении
. (2.198)
Для соотношения (2.194), с учётом (2.197), можно записать
. (2.199)
В этом соотношении сомножитель справа будет равняться
, (2.200)
в котором векторный параметр представляет собой вектор обратной
решётки.
После подстановок (2.199) в уравнении (2.194) с учётом (2.200)
можно получить итоговое дифференциальное уравнение:
100
. (2.201)
Здесь экспоненциальный сомножитель
определяется как
фактор Дебая − Валлера. Очевидно, что этот параметр зависит от температуры и свойств кристаллической структуры и от него зависит ослабление
когерентного (синфазного) рассеяния энергии для всех не равных нулю те-
лесных углов рассеяния (0). Параметр W будет увеличиваться по мере
увеличения как температуры кристаллической структуры, так и по мере роста угла рассеяния энергии нейтрона в этом кристалле. Когда температура
кристалла близка к дебаевской температуре, эта энергия определяется как
энергия W
/ M (M – масса ядра рассеивателя (в данном случае, иона
кристалла)). Отсюда следует, что для тяжёлых ядер, у которых параметр
exp (-W) 1, смещение ядер из положения устойчивого стационарного
энергетического равновесия не влияют на когерентный характер интенсивности этого энергетического рассеяния [3].
Соотношение (2.201), в соответствии условиям Брэгга, будет иметь
сильно выраженные максимальные значения по направлению векторов рассеяния в виде
,
. (2.202)
Эти условия (2.202) (условия Брэгга) будут выполняться при так
называемом «рассеянии вперёд», когда = 0. Этот случай следует исключать
в связи с тем, что под рассеянием определяют отклонение нейтронов от их
первоначального направления, что в этом приближении нереализуемо. А для
соотношения дельта-функции применительно к кристаллам конечных размеров в уравнении (2.201) необходимо произвести замену этой дельта-функции
другой функцией, у которой максимум будет равен максимуму с конечной
угловой шириной, равной по порядку величине, эквивалентной значению
(
L)-2 (L – средние линейные размеры кристаллической ячейки).
Для телесных углов уравнение (2.202) должно соответствовать
условию
, (2.203)
где – телесный угол рассеяния, d = 2
/ – линейное расстояние между
плоскостями Брегга [3]. Неравенства <2 при d определяют огра-
ничения величины параметра .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]