Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ф.Г. Ахмадиев, Р.Ф. Гиззятов

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ

ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА EXCEL

Учебное пособие

Ай Пи Ар Медиа

Москва

2022

УДК 51 ББК 22.1

А95

Рецензенты:

Шабалин П.Л. — д-р физ.-мат. наук,

проф. кафедры высшей математики КГАСУ;

Шакирова Л.Р. — д-р пед. наук, проф., зав. кафедрой теории

технологии преподавания математики и информатики КФУ

Ахмадиев, Фаил Габдулбарович.

А95 Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel :

учебное пособие / Ф.Г. Ахмадиев, Р.Ф. Гиззятов ; Казанский государственный архитектурно-строительный университет. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 135 с. — Текст : электронный.

ISBN 978-5-4497-1392-6

В учебном пособии рассмотрены примеры решения задач прикладной математики, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале и доводится до числового результата. Представлены основные теоретические положения и математические модели, примеры решения типовых задач с выбором численного метода решения и составлением программы на языке VBA или электронной таблицы в Excel с использованием ее надстройки «Поиск решения».

Предназначено для студентов, обучающихся по укрупненным группам направлений подготовки и специальностей 08.00.00 «Техника и технологии строительства», 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта», изучающих дисциплины «Прикладная математика», «Математическое моделирование».

Учебное электронное издание

ISBN 978-5-4497-1392-6 © Ахмадиев Ф.Г., Гиззятов Р.Ф., 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………….... 5

1. Задачи аппроксимации………………….………………………………... 10

1.1. Методы аппроксимации ……………...……………………………10

1.2. Интерполяция алгебраическими полиномами……………………11

1.3. Интерполяция кубическими сплайнами………………………......18

1.4. Сглаживание экспериментальных данных………………………..24

1.5. Применение сглаживающих сплайнов для обработки экспериментальных данных………………………………………. 30

1.6. Приближение рациональными функциями……………………… 36

1.7. Погрешность многочленной аппроксимации……………………. 38 Задание по теме «Задачи аппроксимации»…………………………... 40

2. Линейное программирование……………………………………………. 42

2.1. Постановка задач линейного программирования (ЛП)……........ 42

2.2. Симплекс-метод решения задачи ЛП…………………………….. 43

2.3. Составление оптимального плана выпуска продукции…………. 45

2.4. Двойственная задача ЛП…………………………………………... 46

2.5. Пример решения задачи ЛП………………………………………. 49

2.6. Анализ задачи ЛП на чувствительность…………………………. 53

2.7. Решение задачи ЛП с помощью табличного процессора Excel… 56

2.8. Транспортная задача (ТЗ)…………………………………………. 60

2.9. Решение ТЗ с помощью табличного процессора Excel………..... 69

2.10. Задача о назначениях………………………………….....……... 72

Задание по теме «Линейное программирование»………...………..... 80

3. Расчет устойчивости откосов земляного полотна…………………...… 82

3.1. Понятие устойчивости откосов насыпи и постановка задачи…. 82

3.2. Алгоритм расчета коэффициента устойчивости………………. 86

3.3. Пример расчета устойчивости откосов насыпи с применением электронных таблиц Excel……………………… 90

3.4. Уточнение значения коэффициента устойчивости…………...…94

3.5. Алгоритм метода поочередного изменения переменных……… 95 Задание по теме «Расчет устойчивости откосов земляного

полотна»………………………………………..............…………. 97

4. Модели массового обслуживания в теории транспортных потоков…. 98

4.1. Одноканальная система с отказами…………………………...….100

4.2. Одноканальная система с ожиданием …………………………...103

4.3. Многоканальная система массового обслуживания с отказами……………………………………………………….… 111

4.4. Многоканальная система массового обслуживания c ожиданием……………………………………………….……… 115

4.5. Расчет систем массового обслуживания методом Монте-Карло…………………………………… ……….118

4.6. Расчет систем массового обслуживания с помощью электронных таблиц Excel…………………………………….…. 119

Задание по теме «Модели массового обслуживания в теории

транспортных потоков»………...................................................... 126

Литература…………………………………………….…………………... 128

Приложение 1. Программа для построения сглаживающего сплайна...... 129

Приложение 2. Программа для расчета устойчивости откоса

земляного полотна………………………………………..……….….. 132

Приложение 3. Критические значения t – критерия Стьюдента…….... 134

Приложение 4. Равномерно распределенные случайные числа….……. 135

Введение

Математические модели составляют основу методов расчета и оптимизации исследуемых процессов и явлений, поэтому изучению основных этапов и методов математического моделирования уделяется особое внимание.

Математическое моделирование – приближенное описание свойств объекта на математическом языке, а модель – объект-заменитель, который в определенных условиях может заменить объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала. Основными этапами моделирования являются: построение модели объекта и ее формализация; исследование (решение) математических задач, к которым приводит математическая модель; идентификация и проверка адекватности модели, уточнение, интерпретация результатов моделирования.

На первом этапе осуществляется постановка задачи исследования, определяется объект исследования, выявляются основные особенности и факторы, влияющие на объект, формулируются законы, связывающие основные элементы модели, определяются требования к исходной информации и модели (точность, удобство, простота), выдвигаются гипотезы, предположения, описываются ожидаемые результаты. От содержательного описания объекта переходят к его математической модели, к записи на математическом языке.

На втором этапе исследуется сама математическая модель, устанавливается тип решаемой математической задачи, выбираются методы ее решения. Для оптимального проектирования конструкций, технологического оборудования, для определения оптимальных параметров модели могут рассматриваться оптимизационные модели: модели теории оптимального управления, математического программирования. Для решения математической задачи составляется алгоритм расчета. Далее проводятся рабочие расчеты, вычислительный эксперимент, который базируется на использовании существующих комплексов и пакетов прикладных программ, например, Mathcad, Mathematica, MATLAB и др. программ на алгоритмическом языке. Проводится тестирование программ. При проведении вычислительного эксперимента применяются численные методы.

На третьем этапе осуществляется идентификация и проверка адекватности модели, а если необходимо, то и уточнение модели. Под идентификацией модели понимается выбор переменных модели и ее параметров с последующей их оценкой в результате наблюдения или эксперимента, при этом определяются неизвестные параметры модели: адекватность модели – соответствие модели моделируемому объекту, ее точность. В качестве количественных показателей оценки адекватности могут быть использованы различные критерии: относительная погрешность, критерий Фишера и т.д.

Если при проверке адекватности установлена недостаточная точность модели, то осуществляется уточнение модели. После проведения идентификации и оценки адекватности модели проводятся итоговые расчеты, вычислительный эксперимент и интерпретируются результаты моделирования, выдаются рекомендации.

В учебном пособии рассмотрено большое количество примеров, в основном расчетного характера, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале и доводится до числового результата. Все рассмотренные задачи доведены до алгоритмов, пригодных для практической реализации с применением ЭВМ. Для наглядности проводимых расчетов в учебном пособии реализация вычислительных алгоритмов проводится в Excel, с применением электронных таблиц и программ в VBA.

Пособие состоит из четырех глав. Каждая глава содержит соответствующий теоретический материал и математическую модель, примеры решения типовых задач с выбором численного метода решения и составлением программы на языке VBA или электронной таблицы в Excel с использованием ее надстройки «Поиск Решения». В конце главы приводятся варианты заданий для студентов с целью научить их пользоваться методами вычислений с применением новых информационных технологий Excel.

Первая глава посвящена вопросам аппроксимации табличных зависимостей, рассмотрены два основных подхода – интерполяция и сглаживание. Большинство численных методов решения инженерных задач так или иначе связаны с аппроксимацией функций. Это и собственно задачи интерполяции, сглаживания, приближения функций, и задачи численного решения дифференциальных и интегральных уравнений, в которых аппроксимация присутствует как промежуточный этап исследования.

Типичной задачей приближения является задача интерполяции, и классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена Лагранжа. Хотя согласно теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция на отрезке может быть как угодно хорошо приближена многочленами, практические возможности применения многочленов Лагранжа ограничены. Прежде всего, чрезмерное увеличение числа узлов интерполяции усложняет вычисления и приводит к быстрому накоплению ошибок округления с ростом степени многочлена. Также следует отметить: С.Н. Бернштейном было установлено, что последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа, построенных для некоторых непрерывных функций по равноотстоящим узлам, с возрастанием количества узлов не стремится к интерполируемой функции. Поэтому на практике, для того чтобы достаточно хорошо приблизить функцию, вместо построения интерполяционного многочлена высокой степени используют интерполяцию «кусочными» многочленами, в частности, сплайн-функциями или просто сплайнами. Методы сплайн-функций широко применяются в вычисли-

тельной математике и инженерной практике. Этим вопросам в учебном пособии уделено достаточно большое внимание.

Задача аппроксимации опытных данных, результатов наблюдений связана с задачей сглаживания экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов. Желательно обработать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию табличной зависимости, но в то же время сгладить случайные ошибки наблюдений. Этот метод дает возможность так выбрать числовые параметры искомой зависимости, чтобы она в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные. В данной главе приведены алгоритмы построения интерполяционного и сглаживающего полинома, в частности, сплайнов с использованием электронных таблиц Excel.

Во второй главе рассмотрены задачи линейного программирования и методы их решения с применением электронных таблиц Excel и надстройки «Поиск решения» для выполнения оптимизации. Рассмотрены такие задачи, как составление оптимального плана выпуска продукции, оптимального использования ресурсов, транспортной логистики, задачи о назначениях. Все эти задачи решаются сведением к модели линейного программирования. Описание линейного программирования проводится на основе теории двойственности. Согласно этой теории, при рассмотрении задач линейного программирования можно построить прямую и двойственную задачи, они тесно связаны между собой и одна задача вытекает из другой. Применение двойственных задач особенно эффективно при анализе моделей на чувствительность. Рассмотрены вопросы устойчивости оптимального плана при изменении стоимости продукции и определены интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению количества сырья. Для решения задачи линейного программирования приводится алгоритм симплекс-метода. Также в пособии изложен алгоритм для построения общей электронной таблицы для решения пары двойственных задач, что позволяет наиболее полно изучить связи между ними.

В третьей главе рассматриваются методы расчета устойчивости откосов земляного полотна. Определение устойчивости откосов является одной из основных задач при проектировании автомобильных дорог. От качества проектирования земляного полотна во многом зависят стоимость строительства автомобильных дорог, надежность в эксплуатации и безопасность движения. В практике проектирования автомобильных дорог наибольшее распространение получил метод оценки общей устойчивости откосов шведского ученого Феллениуса – метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения, который наиболее просто поддается компьютерной формализации.

Общая устойчивость откоса насыпи оказывается обеспеченной лишь в том случае, если сумма всех сил, сдвигающих массив обрушения, оказывается меньше суммы сил или их моментов, его удерживающих, т.е. при расчетном коэффициенте устойчивости, большем или равном единице.

Расчетный коэффициент устойчивости определяется как отношение суммы сил удерживающих к сумме сил сдвигающих. Однако учитывая некоторую погрешность методов расчета исходных данных, неучет некоторых фактических условий работы и т.д., с инженерной точки зрения общая устойчивость откоса насыпи считается обеспеченной, если расчетный коэффициент устойчивости оказывается равным или больше нормативного коэффициента устойчивости.

Задача оценки общей устойчивости откосов земляного полотна сводится к отысканию центра критической кривой скольжения, характеризуемой наименьшим коэффициентом устойчивости. Ни один из известных методов расчета общей устойчивости откосов не дает сразу точного положения центра наиболее опасной кривой скольжения, который может быть найден лишь методом последовательных приближений. В итоге расчет сводится к безусловной задаче нелинейного программирования. В пособии для определения коэффициента устойчивости приводятся расчетные формулы и алгоритм расчета, на основании которых составлен программный код в VBA в Excel и электронная таблица Excel.

Расчет коэффициента устойчивости с помощью электронной таблицы Excel является наиболее важным для понимания алгоритма и методики расчета. Чтобы найти положение наиболее опасной кривой скольжения, рассматривается несколько возможных ее положений. Для этого намечается семейство кривых, проходящих через подошву откоса и выходящих на поверхность земляного полотна в нескольких местах с определенным шагом. Для каждого положения кривой скольжения с помощью электронной таблицы Excel вычисляется коэффициент устойчивости, и среди них выбирается наименьшее.

В четвертой главе рассматриваются модели различных систем массового обслуживания в теории транспортных потоков, определяются элементы систем и их характеристики. При изучении систем массового обслуживания важно знать: распределение длины очереди, распределение времени ожидания в очереди, долю времени, когда система обслуживания свободна. Ответ на эти вопросы зависит непосредственно от характера распределения входящего потока и распределения времени обслуживания, которые могут подчиняться различным законам. В теории массового обслуживания могут применяться: закон равномерной плотности, показательный закон, распределение Пуассона, распределение Эрланга.

Системы массового обслуживания, встречающиеся на практике, являются весьма разнообразными. Для того чтобы к их решению можно было подходить с некоторых позиций, вводится специальная классификация.

Первым является деление систем массового обслуживания на системы с отказами и системы с очередью. Системы с очередью в зависимости от длины очереди подразделяются на системы с ограниченной и неограниченной длиной очереди. По числу каналов системы подразделяются на одноканальные и многоканальные. Для некоторых случаев систем массо-

вого обслуживания для определения вероятностей состояния системы составляются дифференциальные уравнения и определяются характеристики рассматриваемых систем, эффективность их работы. Рассмотрено множество типовых примеров решения задач.

Для расчета систем массового обслуживания также рассмотрен метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели изучаемого явления является трудным или вовсе неосуществимым. Смысл метода Монте-Карло состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Для реализации этого метода для некоторых случаев систем массового обслуживания составлены электронные таблицы Excel. С помощью моделирования путем многократных повторений случайных реализаций (статистических испытаний) определены оценки и доверительные интервалы числовых характеристик систем массового обслуживания.

Настоящее учебное пособие будет способствовать развитию у студентов навыков, необходимых для анализа и решения инженерных задач с применением ЭВМ. Предлагаемые в издании задачи являются хорошим средством для практического закрепления знаний, необходимых при математическом моделировании и проведении вычислительных экспериментов.

1. ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ

Аппроксимация заключается в приближенной замене некоторой функции, заданной аналитически или таблично, другой функцией, близкой исходной, но более простой и удобной для вычисления. Такая замена необходима, например, при работе на ЭВМ для вычисления значения функции. Другая задача аппроксимации – восстановление функции на некотором отрезке по заданным дискретным точкам. В общем случае задача аппроксимации включает два этапа:

1) выбор вида аппроксимирующей функции, который зависит от не-

которых параметров (коэффициентов);

2) определение числовых значений неизвестных коэффициентов аппроксимирующей функции на основе выбранного критерия ее близости к исходной функции.

В качестве аппроксимирующей функции в вычислительной математике часто рассматривают алгебраические, тригонометрические многочлены, специальные функции, сплайны и т.д., в качестве критерия близости – точное совпадение исходной и аппроксимирующей функции в заданных узловых точках (интерполяция), среднеквадратичное приближение (сглаживание по методу наименьших квадратов), равномерное приближение (минимизация наибольшего значения абсолютной погрешности между исходной и аппроксимирующей функцией либо на всем отрезке, либо на дискретном множестве точек).

Выбор вида аппроксимирующей функции и критерия близости зависят от самих исходных данных (как они получены) и поставленной задачи: для каких целей строится аппроксимирующая функция.

1.1. Методы аппроксимации

Для аппроксимации зависимости, заданной в виде таблицы, необходимо выбрать вид аппроксимирующей функции, включающий неизвестные параметры. Для определения неизвестных параметров их называют коэффициентами аппроксимирующей функции; существует два основных подхода – интерполяция и сглаживание. Если табличная зависимость представляет собой опытные данные, результаты некоторых наблюдений, то, как правило, коэффициенты аппроксимирующей функции определяют сглаживанием по методу наименьших квадратов. Результаты опытов, наблюдений, когда данные получены из физических измерений, принято считать случайными, обладающими некоторым уровнем «шума». Требовать прохождение аппроксимирующей функции через опытные точки было бы повторением ошибок, поэтому применяют сглаживание. В тех случаях, когда функция задана табличным способом, или когда табличная зависимость является результатом некоторых расчетов, полученных на ЭВМ, например, при решении дифференциальных уравнений и других математиче-

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]