Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие
.pdf
4. Среднее число автомобилей в очереди (длина очереди) определя-
1q
85,085,01
q
A
k
n
ется по формуле:
LL .
co
22
5. Относительная пропускная способность системы равна:
453,7)893,01/(893,0)1/(/
, т.е.
каждый автомобиль, пришедший в систему, будет обслужен.
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики равна:
(автомобиля в час).
4.3. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
В большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными. Рассмотрим n-канальную систему массового обслуживания с отказами, на вход которой поступает простейший
поток заявок с плотностью , время обслуживания – показательное, с параметром . В этой системе заявка, поступившая в момент, когда все ка-
налы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему
и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим
функционирования других обслуживающих каналов системы. Конечная
цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов
заключается в повышении скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов. Рассмотрим систему с конечным
множеством состояний:
канал и т.д.
S – занято ровно
k
S – все каналы свободны; 1S – занят ровно один
0
каналов;
S – заняты все
n
каналов. Схема
возможных переходов дана на рис.3. Поставим задачу: определить вероятности состояний системы )(tP
, nk ,0 для любого момента времени t.
k
Допущения о пуассоновском характере потока заявок и показательном распределении времени обслуживания отдельных заявок позволяет
применить в теории массового обслуживания аппарат марковских раз-
рывных случайных процессов (рождения и гибели). Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без
последействия), если для каждого момента времени вероятность любого
состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом система
пришла в это состояние.
Рис.3. Граф состояний многоканальной системы с отказами
111
Очевидно, для любого момента времени выполняется условие:
)(t
)(t
n
tP
k
k
0
Дифференциальные уравнения для всех вероятностей )(tP
1)( .
k
, где
nk ,0 для случая многоканальной системы массового обслуживания со-
ставляются по аналогии, как и для случая одноканальной системы с очередью, их можно представить в виде:
)(
dt
k
dt
dt
tdP
0
)(
tdP
)(
tdP
n
1
),()(
tPtP
10
1,1,)()1()()()(
11
kkk
.)()(
tPntP
nn
nktPktPktP
Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. Интегрирование
системы проводится при начальных условиях: 1)0(
P . Эти условия означают, что в начальный момент времени все ка-
n
налы свободны. Вероятности )(tP
0)0(
характеризуют среднюю загрузку сис-
k
темы, ее изменение с течением времени. В частности, )(tP
P , 0)0(
0
P ,
1
есть вероят-
n
ность того, что заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми и получит отказ:
)(tPP
.
nOTK
Относительная пропускная способность системы вычисляется по
формуле:
)(1)( tPtq
.
n
Для данного момента времени t это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных. Уравнения Эрланга остаются справедливыми и для зависящих от времени
,
и
, лишь бы потоки событий, переводящих систему из состояния в со-
стояние, оставались пуассоновскими (без этого процесс не будет марковским).
Определим характеристики установившегося режима обслуживания. Очевидно, что в начале, сразу после включения системы в работу,
протекающий в ней процесс еще не будет стационарным: в системе массового обслуживания, как и в любой динамической системе, возникает так
называемый «переходный», нестационарный процесс. Однако спустя некоторое время этот переходный период затухнет, и система перейдет на стационарный, так называемый «установившийся» режим, вероятностные характеристики которого уже не будут зависеть от времени. Во многих задачах практически нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания.
112
Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предель-
t
1k
n
k
0
P P
/
ный режим существует, т.е. что при
)(tP
стремятся к постоянным пределам
n
все вероятности )(
P , 1P ,
0
,
P , а все их производ-
ные стремятся к нулю.
Чтобы найти предельные вероятности
нениях Эрланга все вероятности )(tP
k
P , 1P ,
0
их пределами
nk ,0 , а все производные положим равными нулю. Получим систему уже
не дифференциальных, а алгебраических уравнений:
PP
,0
10
1
PnP
.0
nn
11
kkk
К этим уравнениям необходимо добавить условие:
n
P01.
k
k
Решим систему алгебраических уравнений относительно
tP , )(1tP ,
0
n
,
P , заменим в урав-
n
P , где значение
k
1,1,0)1()(
nkPkPkP
P , 1P ,
0
,
,
P . Из первого уравнения имеем:
n
02)(
с учетом
получаем:
P , определяется
1
k
k
!
k
. Введем обозначение
k
. Тогда для любого значения
2
2
PP
2
2
. Из второго уравнения (
PP
01
PPP
0
,
210
и назовем величину
)
приведенной плотностью потока заявок. Это есть не что иное, как среднее число заявок, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки. В новых обозначениях формула примет вид:
k
P
.
k
0
!Pk
Используя условие нормировки, получим:
n
k
k
0 0
n
k
kPP
0
k
1!/
.
Из последнего уравнения можно получить формулу для вычисления
P :
0
n
0
Для определения вероятностей
k
P
k
n
k
k
0
k
kP
k
0
P окончательно получим формулу:
k
k
!/
k
!/
!//1
.
,
nk ,0 .
113
Эти формулы называются формулами Эрланга. Они дают предель-
n
k
2
21/2/
ный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристики потока заявок и производительности системы обслуживания.
Полагая в последней формуле
, получим вероятность отказа:
n
n
PP
nOTK
n
k
!/
.
k
k
0
!/
Относительная пропускная способность системы определяется по
формуле:
n
!/11
nPPq
.
OTK
0
Абсолютная пропускная способность системы вычисляется по формуле:
)1(
PqA
OTK
.
Среднее число занятых обслуживанием каналов равно:
n
PPkk
k
1
)1(
.
OTKk
Величина k характеризует степень загрузки системы массового обслуживания.
Рассмотрим пример. Станция технического обслуживания автомобилей имеет 5 линий для мелкого ремонта. Поступающие на обслуживание
автомобили образуют пуассоновский поток с параметром
автомобилям в час. Продолжительность любого обслуживания является случайной
величиной, подчиняющейся показательному закону. Среднее время обслуживания одного автомобиля равно 1
t час. Требуется оценить рабо-
cp
ту станции технического обслуживания.
Решение. Интенсивность обслуживания 11/1/1
раметр системы равен:
стики системы:
1. Вероятность того, что все линии свободны, равна:
k
5
P
/1
0
0
k
/1
!
k
2. Вероятность отказа в обслуживании:
n
PP
nOTK
0
!
n
3. Среднее число занятых обслуживанием линий равно:
Pk
OTK
4. Коэффициент загрузки линий равен:
p
5. Коэффициент простоя равен:
t
cp
час
-1
. Па-
. Определим числовые характери-
k
5
2
138,0
.
!
kk
0
5
2
037,0138,0
P
.
!5
2926,1)037,01(2)1(
.
385,05/926,1/ nkK
.
114
KK
m
n
k
n
n
dt
p
615,0385,011
.
Определено, что 61,5 % рабочего времени каналы системы массового
обслуживания будут простаивать.
4.4. Многоканальная система
массового обслуживания с ожиданием
Система массового обслуживания называется системой с ожиданием,
если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет,
пока не освободится какой-нибудь канал.
Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется чистой системой с ожиданием. Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется системой смешанного типа. Это
промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.
Для практики наибольший интерес представляют именно системы
смешанного типа. Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть
различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время
ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху какимто сроком
T , который может быть как строго определенным, так и слу-
o
чайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца. Ограничение может быть наложено на число заявок в очереди.
Пусть имеется система, состоящая из n одинаковых каналов. Поступающие на обслуживание заявки образуют пуассоновский поток с интенсивностью . Время обслуживания каналами отдельных заявок имеет показательное распределение с параметром . В случае занятости каналов
заявка, поступившая в систему, становится в очередь на обслуживание, если длина очереди меньше некоторого значения m. Величина m – максимально допустимая длина очереди. В противном случае заявка покидает
очередь. Определим основные расчетные формулы для такой системы.
Следует отметить, что число состояний системы будет конечным, так как
общее число заявок, находящихся в системе, не может превышать значения
свободны;
S – заняты все
n
ит в очереди;
. Определим все возможные состояния системы:
S – занят ровно один канал и т.д., kS – занято ровно
1
каналов;
– заняты все n каналов и m заявок стоит в очереди.
mnS
S – заняты все
1n
каналов и одна заявка сто-
S – все каналы
0
каналов;
Первые n уравнений совпадают с уравнениями Эрланга для многоканальной системы с отказами:
tdP
)(
0
115
),()(
tPtP
10
)(
dt
t
t
t
t
t
dt
dt
dt
t
tdP
k
11
kkk
1,1,)()1()()()(
nktPktPktP
.
Составим дифференциальное уравнение для )(tP
мент t и определяется )( ttP
будет в состоянии
1) в момент t система уже была в состоянии
n
S . Это можно осуществить тремя способами:
n
– вероятность того, что система в момент
. Фиксируется мо-
n
S , а за время
n
не
вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);
2) в момент t система была в состоянии
в состояние
S (пришла одна заявка);
n
3) в момент t система была в состоянии
одна заявка стоит в очереди), а за время
S , а за время
1n
S (все каналы заняты,
1n
перешла в
S (освободился
n
перешла
один из n каналов). Получим:
)()()1()()(
nnnn
11
tntPttPtnttPttP
,
откуда имеем:
)(
tdP
n
Далее запишем уравнение для вероятностей )(tP
)(
tdP
in
)()()()(
tPntPntP
.
11
nnn
, где
in
)()()()(
tPntPntP
11
ininin
mi ,1 :
.
Последнее уравнение для состояния
)(
tdP
mn
1
Рассмотрим предельный случай при
имеет вид:
mnS
)()(
tPntP
.
mnmn
. Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему
алгебраических уравнений:
Решая полученную систему с учетом условия нормировки
10
1,1,0)1()(
11
kkk
PnPnP
PnP
1
.0
mnmn
0)(
11
nnn
11
ininin
nkPkPkP
,1,0)(
miPnPnP
mn
P01,
k
k
0
PP
найдем:
1. Вероятность того, что все каналы обслуживания свободны, опре-
деляется по формуле:
116
1
5,0
5,0
5,0
1
3m
1n
P
0
n
k
0 1
nk
m
!!
i
.
i
nnk
2. Вероятность того, что k каналов системы заняты обслуживанием,
вычисляется по формуле:
P
k
n
k
0 1
k
k
!/
nk
m
!!
i
i
nnk
k
nkP
,1,
0
k
!
3. Вероятность того, что все каналы системы заняты обслуживанием
и j заявок находятся в очереди, определяется по формуле:
j
nn
nk
m
!!
i
i
nnk
n
!
j
nn
0
P
jn
n
k
0 1
n
!
4. Вероятность отказа в обслуживании определяется по формуле:
mn
PP
mnOTK
.
m
0
!Pnn
.
.
mjP
,1,
5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием, равно:
n
k
1 1
m
PnPkk
.
k
knk
Пример. На станцию текущего ремонта автомашин поступает про-
стейший поток заявок с плотностью
машины в час. Имеется одно
помещение для ремонта. В ожидании ремонта могут находиться одновременно не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины
t часа. Определить: а) пропускную способность системы; б)
c
2/1
среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся характеристики системы, если оборудовать второе помещение для ремонта.
Решение. Определяются параметры системы массового обслужива-
ния – интенсивность потока заявок
отдельных заявок
,
,
а) Полагая число каналов
, находим вероятность того, что при-
, интенсивность обслуживания
.
шедшая заявка покинет систему необслуженной:
3
1!1
1
3
1
i
1!1!
1
1
.
20,0
5
)111(111
OTK
1
PP
3,1
k
1
k
0
k i
Относительная пропускная способность системы определяется по
формуле:
117
Pq .
4,08,05,0
q
A
2n
021
2n
a
OTK
80,01
Абсолютная пропускная способность может быть найдена по формуле:
(машины в час).
б) Средняя доля времени, которое система будет простаивать, опре-
деляется по формуле:
P
0
k
1
k
0
k i
в) Полагая число каналов
1
1
3
1!1!
1
, определим вероятность отказа в об-
1
i
5
.
20,0
служивании:
2
PP
OTK
3,2
k
2
k
0
k i
Относительная пропускная способность при
3
2!2
2
3
1
i
2!2!
1
11(
2
1
1
8
2
1
1
1
1
)
(
2
2
8
4
1
16
47
)
1
47
,0
16
:
Pq .
OTK
979,01
В этом случае около 98% заявок будет удовлетворяться, а относительное
время простоя равно:
16
P
0
2
k
0
k i
1
2
k
3
i
2!2!
1
11(
1
1
1
1
1
1
)
2
(
2
2
8
4
1
47
)
47
,
34,0
16
т.е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.
4.5. Расчет систем массового обслуживания методом Монте-Карло
Существуют и другие подходы к решению задач массового обслуживания. Для расчета систем массового обслуживания можно применить метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло применяется в тех случаях, когда
построение аналитической модели изучаемого явления является трудным
или вовсе неосуществимым. Смысл метода Монте-Карло состоит в том,
что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений
его случайных реализаций. Единичные реализации называются статистическими испытаниями, откуда второе название метода – статистический.
Для выбора вариантов наугад реализаций на практике используют таблицы случайных чисел, либо генерируют случайные числа на ЭВМ, для чего
имеются специальные программы, которые называются «генераторами
случайных чисел».
Общая схема метода Монте-Карло представляется следующим образом: требуется вычислить неизвестную величину «
». Попытаемся по-
строить такую случайную величину «X», чтобы ее математическое ожи-
118
дание равнялось искомой величине «a», т.е.
aXM]
[
X
i
)(x
F
X
X
)(x
F
2
. Величина X моделируется на ЭВМ, среднее X по достаточно
XD
. Пусть при этом
большому количеству испытаний принимается за приближенное значение
«a».
Рассмотрим n независимых случайных величин
пределения которых совпадают с распределением
совпадают числовые характеристики aXM
n
точно велико, то сумма
i
1
, согласно центральной предель-
1
XXX
i
ni
][ ,
, следовательно и
2
. Если n доста-
XD
i
XXX ,,,
, рас-
21
n
ной теореме, будет иметь приблизительно нормальное распределение с числовыми характеристиками:
n
i
][ и
i
1
anXM
n
i
][
i
1
.
2
nXD
Далее, используя известную теорему о «трех сигмах», запишем доверительный интервал для искомой величины «a»:
n
i
1
i
9973,0)3(23
nanXP
,
или
n
i
i
n
i
11
i
9973,033
nXannXP
.
Окончательно получим:
n
i
i
n
i
11
i
nnXannXP
.
9973,0/3//3/
Это чрезвычайно важное для метода Монте-Карло соотношение. Оно
дает нам и метод расчета и оценку погрешности. Таким образом, согласно
методу Монте-Карло:
n
где
X – результат
i
i
-го испытания, n – число испытаний.
nXa
/ с точностью
i
1
n/
3 ,
4.6. Расчет систем массового обслуживания с помощью
электронных таблиц Excel
Согласно методу Монте-Карло, для того чтобы проводить статистические испытания модели, необходимо научиться разыгрывать случайные
числа. Известна функция распределения
непрерывной случайной
величины
значений
. Требуется разыграть последовательность возможных ее
x . Для того чтобы разыграть возможные значения ix непрерыв-
i
ной случайной величины
, зная ее функцию распределения
119
, надо
выбрать равномерно распределенные в интервале (0;1) случайные числа
)(x
f
5,0][R
M
12/1][R
D
n
0][X
M
1][X
D
12n
aZM]
[
axz
r и решить уравнение:
i
или
rxF)(
ii
Если известна плотность распределения
x
i
1
rFx
ii
, тогда
rdxxf )( .
i
Рассмотрим несколько примеров.
1) Разыгрывание нормально распределенной случайной величины.
Правило 12. Если случайная величина R распределена равномерно
в интервале (0;1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
и
.
Математическое ожидание суммы независимых случайных величин
равно сумме математических ожиданий слагаемых:
n
nRM
j
j
1
2/][ .
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий слагаемых:
n
nRD
j
j
1
12/][ .
Сумму независимых случайных величин приведем к стандартному
виду, т.е. нормируем рассматриваемую сумму:
n
j
j
1
В силу центральной предельной теоремы при
nnRX
12//)2/( .
распределение
нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами:
и
.
При конечном значении n распределение является приближенно
нормальным, и при
возможные значения нормированной нормаль-
ной (стандартной) случайной величины можно разыграть по формуле:
12
rx , где )1;0(
j
16j
r .
j
Если необходимо разыграть нормальную случайную величину Z с
числовыми характеристиками
чения можно разыграть по формуле:
и
2
][ZD , то ее возможные зна-
.
2) Разыгрывание случайной величины, распределенной по показа-
тельному закону.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]