Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие
.pdf
t
t
t
t
t
t
также показательное распределение:
)(
2
,
t
etf
где – интенсивность обслуживания, количество обслуженных требований в единицу времени. Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает с отказами и она имеет два состояния:
канал свободен (ожидание);
S – канал занят (идет обслуживание требова-
1
S –
0
ния) (рис.1).
Рис.1. Граф состояний одноканальной системы с отказами
Обозначим вероятности состояний: )(
«канал свободен»; )(
tP – вероятность состояния « канал занят». Очевидно,
1
должно выполняться условие нормировки: 1)()(
момент времени t и определим вероятность )(
времени
система будет находиться в состоянии
tP – вероятность состояния
0
tPtP . Зафиксируем
10
ttP
0
того, что в момент
S . Это может про-
0
изойти двумя способами:
время
время
А) – в момент времени t система находилась в состоянии
не перешла из нее в
S , т.е. не пришло ни одной заявки;
1
В) – в момент времени t система находилась в состоянии
канал освободился, и система перешла в состояние
S .
0
S , а за
0
S , а за
1
Определим вероятность первого события по теореме умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что система в момент времени t находилась в состоянии
го, что за время
где
1
1)(
не придет ни одной заявки, равна:
t
etF
– функция распределения длительностей интервалов
1
S , равна )(0tP . Вероятность то-
0
t
1)(1}{
tetFtTP
,
между поступлениями требований. Следовательно, вероятность первого
события равна:
)1()()(
ttPAP
0
.
Определим вероятность второго события. Вероятность того, что в
момент времени t система находилась в состоянии
ятность того, что за время
o
где )(
дельных требований,
tF
2
– функция распределения длительностей обслуживания от-
T – случайная величина, характеризующая дли-
канал освободился, равна:
2
1)(}{
t
тельность интервалов между поступлениями требований,
S , равна )(1tP . Веро-
1
tetFtTP
,
T
.– случайная
o
101
величина, характеризующая длительность обслуживания отдельных требо-
t
0t
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
0t
dt
ваний. Следовательно, вероятность второго события равна:
)()(
1
ttPBP
.
Тогда получим:
ttPttPttP
.
tP :
0
Перенося )(
0
, получим дифференциальное уравнение для )(
tP в левую часть, деля на
)(
tdP
0
)()1()()(
100
и переходя к пределу при
)()(
tPtP
.
10
Аналогичным образом определяется дифференциальное уравнение
для вероятности )(
ятность )(
1
диться в состоянии
А) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
перешла из нее в состояние
В) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
канал не освободился.
tP . Зафиксируем момент времени
1
ttP
того, что в момент времени
S . Это может произойти двумя способами:
1
S , т.е. пришла одна заявка;
1
система будет нахо-
и определим веро-
S , а за
0
S , а за
1
Определим вероятность события «А». Вероятность того, что система
в момент времени t находилась в состоянии
ность того, что за время
пришла одна заявка, определяется так:
1
1)(}{
S , равна )(0tP . Вероят-
0
t
Следовательно, вероятность первого события равна:
)()(
0
ttPAP
.
Определим вероятность события «В». Вероятность того, что в момент времени t система находилась в состоянии
ность того, что за время
o
канал не освободился, определяется так:
2
S , равна )(1tP . Вероят-
1
t
1)(1}{
Следовательно, вероятность второго события равна:
)1()()(
ttPBP
1
.
Тогда получим:
101
Перенося )(
tP в левую часть, деля на
1
и переходя к пределу при
, получим дифференциальное уравнение для )(
)(
tdP
1
)()(
tPtP
.
01
1
tP :
tetFtTP
.
tetFtTP
.
)1()()()(
ttPttPttP
.
В итоге получили следующую систему дифференциальных уравнений:
102
,)()(/)(
tPtPdttdP
100
).()(/)(
tPtPdttdP
011
Решение данной системы при начальных условиях 10
t
)
/(
q
A
00
)(P выглядит следующим образом:
1
t
)(
)(
0
01
etP
etPtP
,
)(
t
.)1()(1)(
0
)(P и
По истечении большого интервала времени, т.е. при
, достига-
ется стационарный режим:
P
0
.
Важной характеристикой системы массового обслуживания является
ее относительная пропускная способность – отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших. Для одноканальной системы с отказами для стационарного режима это значение равно:
Pq .
0
)/(
Зная относительную пропускную способность, можно определить абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число
заявок, которые может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
.
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности
состояния «канал занят»:
)/(
.
Данная величина
PP
OTK
P может быть интерпретирована как средняя доля
OTK
1
не- обслуженных заявок среди поданных.
4.2. Одноканальная система с ожиданием
Рассмотрим одноканальную систему с ожиданием и с ограниченной
длиной очереди. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание является простейшим потоком с интенсивностью . Интенсивность обслуживания равна . Длительность
обслуживания отдельных заявок является случайной величиной, подчиненной показательному закону распределения. Поток обслуженных заявок
также является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает
обслуживания.
Будем нумеровать состояния по числу заявок, находящихся в системе
(как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
S – канал свободен;
0
S – канал занят, очереди нет;
1
103
S – канал занят, одна заявка стоит в очереди;
1n
n
dt
t
t
t
t
t
t
2
…………
S – канал занят,
n
заявок стоят в очереди.
Считается, что система массового обслуживания может находиться в
-м состоянии, если в ней имеется ровно n требований как ожидающих,
так и обслуживаемых. Если интенсивность входящего потока меньше
интенсивности обслуживания , то система находится в устойчивом со-
стоянии, и существует конечная, не зависящая от времени, вероятность того, что система может находиться в любом состоянии. Однако если отношение интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания
больше единицы, то длина очереди неограниченно увеличивается и состояние системы уже не будет независимым от времени.
Обозначим через )(tP
системе находится n требований, т.е. система находится в состоянии
Рассмотрим возможные состояния системы (рис.2) и их вероятности )(
)(1tP ,
, )(tP
:
n
вероятность того, что в момент времени t в
n
0
S .
n
tP ,
Рис.2. Граф состояний одноканальной системы с ожиданием
Составим дифференциальные уравнения для определения вероятно-
стей )(tP
мы с отказами определяется дифференциальное уравнение для )(
состояния системы. Аналогично случаю одноканальной систе-
n
0
)(
tdP
0
)()(
tPtP
.
10
Зафиксируем момент времени t и определим вероятность
n
состоянии
того, что в момент времени
S . Это может произойти тремя способами:
n
система будет находиться в
)( ttP
А) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
состояние системы не изменяется;
В) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
в систему поступила одна заявка;
С) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
одна заявка покидает систему.
tP :
S , а за
n
S , а за
1n
S , а за
1n
Определим вероятность события «А». Вероятность того, что система
в момент времени t находилась в состоянии
того, что за время
заявка не придет и заявка не будет обслужена, опре-
деляется так:
104
S , равна )(tP
n
. Вероятность
n
O
t
t
t
0t
,2,
1n
dt
t
t
t
t
etF
1)(
– функция распределения длительностей интервалов
где
1
между поступлениями заявок и
21
t
2
etF
1)(
– функция распределе-
111
t)(e))t(F())t(F(tTP}tT{P
t)(
ния длительностей обслуживания отдельных заявок. Следовательно, вероятность события «А» равна:
))(1()()( ttPAP
n
.
Определим вероятность события «В». Вероятность того, что в мо-
мент времени t система находилась в состоянии
ятность того, что за время
в систему поступила заявка, равна:
1
1)(}{
S , равна )(1tP
1n
t
n
tetFtTP
.
. Веро-
Следовательно, вероятность события «В» равна:
)()(
n
1
ttPBP
.
Определим вероятность события «С». Вероятность того, что в мо-
мент времени t система находилась в состоянии
ятность того, что за время
o
одна заявка покидает систему, равна:
2
1)(}{
S , равна )(1tP
1n
t
n
tetFtTP
.
. Веро-
Следовательно, вероятность события «С» равна:
)()(
n
1
ttPCP
.
Тогда вероятность )()()()( CPBPAPttP
n
можно записать в
виде:
nnnn
Перенося )(tP
в левую часть, деля на
n
и переходя к пределу при
, получим дифференциальное уравнение для )(tPn, где
)()())(1()()(
11
ttPttPttPttP
.
:
,
)(
tdP
n
)()()()(
tPtPtP
.
11
nnn
Это аналог модели рождения и гибели для разрывных марковских процессов [17].
Для одноканальной системы массового обслуживания с ограни-
ченной длиной очереди определим вероятность )(tP
, где N – число
N
требований, ограничивающих очередь. В случае, когда в момент поступления очередной заявки в системе заявок больше N, очередная заявка получает отказ.
Зафиксируем момент времени t и определим вероятность )( ttP
того, что в момент времени
S . Это может произойти двумя способами:
N
система будет находиться в состоянии
А) – в момент времени t система находилась в состоянии
время
канал не освободился, т.е. заявка не покинула систему;
105
N
S , а за
N
В) – в момент времени t система находилась в состоянии
t
t
t
t
0t
dt
t
/
время
в систему поступила одна заявка.
Определим вероятность события «А». Вероятность того, что система
в момент времени t находилась в состоянии
ности того, что за время
o
заявка не будет обслужена, определяются так:
2
S , равна )t(P
N
t
1)(1}{
Следовательно, вероятность события «А» равна:
N
1 .
t)()t(P)A(P
Определим вероятность события «В». Вероятность того, что в мо-
мент времени t система находилась в состоянии
роятность того, что за время
в систему поступила заявка, равна:
t
1
1)(}{
Следовательно, вероятность события «В» равна:
ttPBP
.
можно записать в виде:
NNN
1
и переходя к пределу при
Тогда вероятность )()()( BPAPttP
Перенося )(tP
N
в левую часть, деля на
N
)()(
N
1
, получим дифференциальное уравнение для )(tP
)(
tdP
N
1
NN
N
tetFtTP
.
S , равна )(1tP
1N
tetFtTP
.
)()1()()(
)()(
tPtP
.
ttPttPttP
.
:
N
S , а за
1N
. Вероят-
N
. Ве-
По истечении большого интервала времени
ционарный режим, при котором
темы не зависят от времени. С учетом условия 0/)(
PtP)( , т.е. вероятности состояния сис-
nn
n
достигается ста-
dttdP
, для опреде-
ления вероятностей состояния системы получим алгебраическую систему
линейных уравнений. Для ограниченной очереди эта система имеет вид:
PP
,0
10
,0)1(
11
где
PPP
PP
NN
nnn
,0
1
и 1,1 Nn . Значение N определяет количество заявок в
системе массового обслуживания как ожидающих, так и обслуживаемых и
ограничивает очередь. В случае, когда в момент поступления очередной
заявки в системе заявок больше N, очередная заявка получает отказ.
Решение системы для задачи массового обслуживания с ограничен-
ной очередью можно записать в виде:
1
Nn
,0,1,)1/()1(
Nn
.1,)1/(1
P
n
N
106
Определим вероятность
1
1N
1N
q
A
ния свободна: )1/()1(
P
P того, что система массового обслужива-
0
10
N
. Тогда вероятность того, что в системе
находится n требований, вычисляется по формуле:
P
n
Следует отметить, что выполнение условия стационарности
n
0
N
,0,1,
NnP
.1,)1/(1
для
системы массового обслуживания с ограниченной очередью необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди, которая не
может превышать
, а не соотношением между интенсивностями
входного потока и обслуживания отдельных требований, т.е. не значением .
Рассмотрим одноканальную систему с ограниченной длиной оче-
реди, равной
. Тогда вероятность отказа в обслуживании заявки оп-
ределяется по формуле:
NN
PP
NOTK
111
1
,,)/()(
111
.,)N/(
Относительная пропускная способность системы вычисляется по
формуле:
NN
Pq
1
OTK
.,)N/(N
11
1
,,)/()(
1111
Абсолютная пропускная способность находится по формуле:
.
Математическое ожидание числа требований, находящихся в системе
(среднее число находящихся в системе заявок), определяется по формуле:
NN
1
)()(
)N)N((
,
1
n
N
0
PnL
nc
11
N
11
.,/N
12
1
Среднее время пребывания заявки в системе вычисляется по форму-
ле:
L
T
c
c
1
.
)P(
N
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди находится
по формуле:
TT .
/1
co
Среднее число заявок в очереди (длина очереди) определяется по
формуле:
TPL
)1(
.
oNo
107
Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслужива-
]3)1[(
N
85,0
893
,0952
,0/85,0/
716
,085,0
842
,
0
q
A
ния с ограниченной длиной очереди: Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную систему массового обслуживания. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3
. Если все стоянки заняты, т.е. в оче-
реди уже находятся три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший
на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и
имеет интенсивность
автомобиля в час. Время диагностики авто-
мобиля распределено по показательному закону и в среднем равно
1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение: Во-первых, определяется интенсивность обслуживания по
формуле 952,005,1/1/1
сивность потока автомобилей
t
s
. Далее определяется приведенная интен-
. Вычисляются
вероятности состояния системы:
P
N
0
01
03
11
221,0893,0248,0
PP , 198,0893,0248,0
33
177,0893,0248,0
PP , 158,0893,0248,0
51
02
04
248,0)893,01/()893,01()1/()1(
,
22
PP ,
44
PP .
Определим числовые характеристики системы:
1. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля равна:
OTK
PPP
04
.
4
158,0
2. Относительная пропускная способность поста диагностики равна:
Pq .
OTK
842,0158,011
3. Абсолютная пропускная способность поста диагностики равна:
(автомобиля в час).
4. Среднее число автомобилей в системе массового обслуживания:
L
c
5. Среднее время пребывания автомобиля в системе равно:
T
c
6. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на об-
служивание равна:
7. Среднее число заявок в очереди (длина очереди) определяется по
формуле:
1
NN
NN
1
N
TT часа.
)1()1(
L
c
P
co
))1(1(
77,1
473,2
)1(
N
)158,01(85,0
423,1952,0/1473,2/1
TPL
oNo
108
5
часа.
02,1423,1)158,01(85,0)1(
54
]893,04893,0)14(1[893,0
77,1
.
)893,01()893,01(
.
Работу рассматриваемого поста диагностики можно считать удовле-
N
t
1
/
z
1
)(z
z
творительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в
среднем в 15,8% случаев, 158,0
P .
OTK
Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с
ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания, т.е. при
условии
. Пусть также входящий поток является простейшим, а
время обслуживания отдельных заявок подчиняется показательному закону.
Система алгебраических уравнений для стационарного режима, т.е.
при условии
и
, строится аналогично системе с ограни-
ченной очередью:
PP
11
,0
10
nnn
nPPP
.0,0)(
Решение данной системы уравнений имеет вид:
n
)1( .
Для вероятностей
P
n
P выполняется условие нормировки:
n
P .
n
01n
Определим характеристики одноканальной системы массового
обслуживания с ожиданием без ограничения на длину очереди.
Определим математическое ожидание (среднее число) находящихся в
системе требований:
Вероятности состояния системы
PnL
0n
nc
P подчиняются геометрическому
n
распределению. Для определения его числовых характеристик можно применить метод производящей функции. Производящей функцией для распределения
P является функция:
n
n
0 0 1
n n n
nnnn
)()1()1()1()(
zzzPz
.
С учетом суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
производящая функция примет вид:
z
z
)1()1()( .
Математическое ожидание находящихся в системе требований определяется по формуле:
)1/()1(
по пере-
где
L ,
c
2
)1/()1()( zz
– производная от функции
менной
.
109
Среднее время пребывания требований в системе определяется по
85,0
893
,0952
,0/85,0/
формуле:
LT .
cc
)]1(/[1/
Среднее число требований в очереди на обслуживание (длина очереди) вычисляется по формуле:
2
)1/(/
coLL .
Среднее время пребывания требований в очереди находится по формуле:
LT .
oo
)]1(/[/
Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания с неограниченной длиной очереди: Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания. Пусть
количество площадок для стоянки автомобилей, прибывающих на обслуживание, не ограничено. Поток автомобилей распределено по закону Пуассона и имеет интенсивность
автомобиля в час. Время диагно-
стики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем
равно 1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста
диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение. Во-первых, определяется интенсивность обслуживания по
формуле 952,005,1/1/1
сивность потока автомобилей
t
s
. Далее определяется приведенная интен-
. Вычисляются
вероятности состояния системы:
P ,
0
P
1
P ,
2
P ,
3
P и т.д.
4
Следует отметить, что
107,0)893,01()1(
11
096,0893,0)893,01()1(
22
085,0893,0)893,01()1(
33
076,0893,0)893,01()1(
44
P определяет долю времени, в течение кото-
0
068,0,0893,0)893,01()1(
рого пост диагностики вынужденно простаивает. В нашем примере она составляет 10,7%.
Определим числовые характеристики системы:
1. Среднее число автомобилей в системе массового обслуживания (на
обслуживании и в очереди):
L ед.
c
346,8)893,01/(893,0)1/(
2. Среднее время пребывания автомобиля в системе равно:
LT часа.
cc
817,9)]893,01(952,0/[1)]1(/[1/
3. Среднее время пребывания автомобиля в очереди на обслуживание
равно:
LT часа.
oo
766,8)]893,01(952,0/[893,0)]1(/[/
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]