Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие
.pdf
где – угол наклона откоса, )(/
AB
)(EO
)(CD
)(EO
)(AB
)(EO
yo
O
f
tgHx
и
hHy
pf
точки F. Таким образом, координаты точки A следующие:
– координаты
ffa
tgtgxtgyx
.)(
xtgy
aa
,))()(/())((
(9)
Далее построим уравнение прямой линии Феллениуса. Любая точка
будет принадлежать этой прямой, если ее координаты удовлетворяют условию: .)/()()/()(
линии Феллениуса
.)(
имеет вид:
yy
y
(10)
ab
xx
ab
xxxxyyyy
В итоге, уравнение прямой
abaaba
yxx
aa
Центр кривой скольжения, который на рис.3 обозначен точкой O,
находится на пересечении перпендикуляра
редины хорды
, стягивающей концы помеченной кривой скольжения,
, восстановленного из се-
с прямой линией Феллениуса (10). Таким образом, центр кривой скольжения находится на пересечении прямых линий
прямой
имеет вид:
x
y )( .
D
y
D
yxx
EE
и
. Уравнение
Пусть в качестве примера точка D имеет координаты:
2/)(/ btgHx
D
2/DExx
, 2/
, Hy
D
yy
. Тогда координаты центра кривой скольжения xo и
DE
. Следовательно, координаты точки E таковы:
определяются из решения системы:
.yy/)xxo(xyo
EDED
,y)xx/()xxo()yy(yo
aabaab
(11)
Таким образом, координаты центра выбранной кривой скольжения равны:
yxxxyyxxyyxyxxyyxo
DDababababaDDEaE
и
yy/)xxo(xyo
, а ее радиус равен:
EDED
22
yoxoR .
Далее найденные выше расчетные формулы для определения ко-
ординат точек A, B, D, E, F и центра кривой скольжения (точки
), а также радиуса кривой R вводятся в электронную таблицу Excel
(рис.6).
)/)/()/(())/()(/(
91
D
Рис.6. Входные параметры для расчета устойчивости земляного полотна
3) Аналогично расчетной табл. 4, для вычисления коэффициента устойчивости по формулам (2–8) составляется электронная таблица Excel
(рис.7). При этом площадь сечения i-го отсека
определяется как пло-
i
щадь трапеции, заменяя участки кривых в пределах каждого отсека прямыми отрезками. Для отсеков, на которые действует временная нагрузка,
добавляется еще и площадь соответствующего участка эквивалентного
слоя грунта, а для отсеков откосной части временная нагрузка не учитывается. Таким образом, для отсеков откосной части площадь сечения i-го отсека
а для отсеков насыпной части площадь сечения i-го отсека
определяется по формуле:
i
1
2
1
222
определяет-
i
2/)())()(2)()((
xxxoxRxoxRyoxxtg ,
1
iiiiiii
ся по формуле:
2
1
222
xxxoxRxoxRyohy .
)()2/))()(((
1
iiiipDi
При составлении электронной таблицы (рис.7) следует учесть, что
вначале заполняется первая строка электронной таблицы для первого отсека, и эта строка копируется на следующие строки. В итоге расчетное значение коэффициента устойчивости вычисляется в ячейке C47 (рис.7) следующим образом: «=СУММ (J31:J45)/(СУММ (K31: K45) », и это значение
для выбранной точки
равно: 7232,1
K .
p
92
Рис.7. Расчет коэффициента устойчивости
4) Чтобы найти положение наиболее опасной кривой скольжения,
следует наметить несколько возможных ее положений на поверхности насыпи (точка D) с определенным шагом. Для каждого нового положения
кривой скольжения вычисляется коэффициент устойчивости (повторяется порядок расчетов 1–3), и среди найденных коэффициентов выбирается коэффициент с наименьшим значением.
Рис.8. Координаты центра и радиус кривой скольжения, проходящей
через бровку левого откоса насыпи земляного полотна
Например, на рис.8 и 9 приведены расчеты коэффициента устойчивости для кривой скольжения, проходящей через бровку левого откоса
земляного полотна. Расчетное значение коэффициента устойчивости вычисляется в ячейке C55 (рис.9) следующим образом: « =СУММ( J43: J52) /
СУММ (K43: K52) ». Это значение равно 4301,1
K . Далее среди вы-
p
численных значений коэффициентов устойчивости
K выбирается
p
наименьшее, и это значение сравнивается с нормативным коэффициентом. Должно выполняться условие:
93
KK
.
Hp
)(EO
Рис.9. Расчет коэффициента устойчивости для кривой скольжения,
проходящей через бровку левого откоса насыпи
Таким образом, приведенный порядок расчета коэффициента устойчивости (1–4) с использованием электронных таблиц Excel позволяет установить устойчивость откосов земляного полотна.
3.4. Уточнение значения коэффициента устойчивости
Согласно методу Терцаги-Феллениуса, центр кривой скольжения
(точка O), соответствующий наименьшему коэффициенту устойчивости,
располагается не на самой прямой Феллениуса, а вблизи от нее. Поэтому в
качестве центра кривой скольжения выбираются несколько точек,
принадлежащих перпендикуляру (на рис.3 – прямая линия
), вос-
становленному из середины хорды, стягивающей концы намеченной
кривой скольжения и расположенных по разные стороны от точки O,
от точки пересечения этого перпендикуляра с прямой линией Феллениуса.
Для каждого положения центра кривой скольжения по формулам
(2–8) вычисляется коэффициент устойчивости, и среди найденных значений определяется наименьшее. Полученное наименьшее значение принимается за расчетное значение коэффициента устойчивости для выбранной
кривой скольжения. Далее по ширине насыпи с определенным шагом выбираются несколько положений кривых скольжения. Для каждого положения определяется расчетное значение коэффициента устойчивости, и среди
полученных значений определяется наименьшее. Найденное наименьшее
значение принимается за расчетное значение коэффициента устойчивости
земляного полотна
K .
p
Для реализации этого подхода составлена программа в VBA Excel,
которая приводится в Приложении 2. На рис.10 приводятся обозначения
входных параметров и принимаемые ими значения, используемые в программе.
94
1,4145
1,4301
2010n
Рис.10
Для данного примера расчетное значение коэффициента устойчивости, полученное с помощью программного кода, равно 4145,1
K . Уточ-
p
ненное значение коэффициента устойчивости, полученное с помощью программного кода
меньше (лучше) значения, рассчитанного с помо-
щью электронной таблицы Excel
, т.к. задача определения устой-
чивости сводится к решению безусловной задачи нелинейного программирования на отыскание минимального значения коэффициента
устойчивости.
В итоге расчетное значение коэффициента устойчивости превышает
значение нормативного коэффициента 31,K
H
, следовательно, устойчи-
вость откоса земляного полотна обеспечена.
3.5. Алгоритм метода поочередного изменения переменных
Существуют и другие подходы к определению положения центра
критической кривой скольжения, например, его выбирают на пересечении
прямой Феллениуса с вертикалью, проходящей через подошву откоса, и
применяют метод поочередного изменения переменных.
Приведем порядок расчета общей устойчивости откосов земляного
полотна при данном подходе.
1) Определяют положение прямой Феллениуса, вблизи которой рас-
положены центры кривых скольжения.
2) Определяют глубину проникновения вертикальной трещины об-
рушения по формуле Терцаги:
0
,
Gtgcz /)2/45(2
где c – расчетное сцепление грунта, – угол внутреннего трения, G –
объемный вес грунта.
3) Исследуемый массив земляного полотна делят на n вертикальные
отсеки шириной
x
(обычно
i
) и на m слои в соответствии с по-
95
ложением границ раздела геологических напластований и кривой депрес-
x
x
x
сии (в случае подтопляемой насыпи).
4) Определяют в первом приближении положение центра кривой
скольжения на пересечении ординаты, восстановленной из подошвы откоса насыпи с прямой Феллениуса. Радиус кривой скольжения определяется
значением ординаты полученного центра.
5) Находят значение коэффициента общей устойчивости
K по фор-
p
мулам (2–8).
6) Меняют положение центра кривой скольжения влево по прямой
Феллениуса с шагом
*
, и при новом положении центра по формулам
(2–8) вновь вычисляют новое значение коэффициента общей устойчивости
откоса
1
K .
p
7) Если
1
KK
, то с шагом
pp
*
ищут на прямой Феллениуса поло-
жение центра кривой скольжения с минимальным значением коэффициента общей устойчивости откоса.
1
KK
, то меняют положение центра кривой скольжения с
pp
шагом
8) Если
*
вправо до тех пор, пока не будет установлено положение цен-
тра с минимальным значением коэффициента общей устойчивости откоса.
9) Далее вновь меняют положение центра кривой скольжения, но уже
по нормали к прямой Феллениуса в найденной ранее точке влево с шагом
*
y и по формулам (2–8) вычисляют значение коэффициента общей ус-
тойчивости
10) Если
2
K .
p
12
KK , то с шагом
pp
*
y влево ищут положение центра
кривой с минимальным значением
Если же
12
KK , то с шагом
pp
K .
p
*
y ищут положение наиболее опасно-
го центра вправо от прямой Феллениуса.
11) Найденное таким образом минимальное значение коэффициента
устойчивости
полотна. Его сравнивают с нормативным значением
ется, что
печена. Если
K является расчетным для данной конструкции земляного
p
K , и если оказыва-
H
KK
, то общая устойчивость откоса земляного полотна обес-
Hp
KK
, то необходимо изменить конструкцию земляного
Hp
полотна с целью повышения общей устойчивости откоса (уположить откос, предусмотреть устройство берм и т.д.) и вновь изложенным способом
выполнить проверку общей устойчивости откоса насыпи новой конструкции.
Аналогичным образом может быть выполнена и проверка общей ус-
тойчивости откосов насыпей и в случае слабого основания, когда поверх-
96
ность скольжения может заходить в пределы слабого слоя основания и
)k(
H
6
)l(
b
10
1c
k
m
k
l
распространяться за пределы подошвы откоса насыпи.
Задание по теме «Расчет устойчивости откосов
земляного полотна»
Насыпь высотой
м и шириной
м отсыпана из
крупного песка удельным весом 5,19
грунта
кПа, угол внутреннего трения
g
кН/м3. Удельное сцепление
0
40
. Следует учесть вре-
менную нагрузку от автомобильного транспорта, соответствующую толщине приведенного слоя грунта. Определить устойчивость насыпи земля-
0
ного полотна, если угол наклона откоса составляет 0433
. Параметры
и l определяются по нижеследующей таблице в соответствии с номером
студента в журнале m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 2 3 1 4 3 4 2 0
0 -1 1 2 0 2 -1 3 3 4 1 -2
97
4. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
t
В ТЕОРИИ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ
Предметом теории массового обслуживания является установле-
ние зависимости между характером потока заявок, производительностью
отдельного канала, числом каналов и успешностью (эффективностью) обслуживания. Работа системы массового обслуживания состоит в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают
одна за другой в случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается
и снова готов для приема следующей заявки. Каждая система массового
обслуживания в зависимости от числа каналов и их производительности,
обладает определенной пропускной способностью, позволяющей успешно
справляться с потоком заявок.
Под потоком событий понимается последовательность событий,
происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или
иного числа событий на участок времени длиной зависит только от длины участка и не зависит от начала отсчета. Поток событий называется по-
током без последействия, если для любых непересекающихся участков
времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа
событий, попадающих на другие. Поток событий называется ординар-
ным, если вероятность попадания на элементарный участок
двух или
более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Если поток событий стационарен, ординарен и не
имеет последействия, то он называется простейшим пуассоновским по-
током. Простейший поток играет среди потоков событий особую роль, т.к.
при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных,
стационарных потоков с практически любым последействием получается
поток, близкий к пуассоновскому потоку.
Интенсивность потока – это среднее число поступивших заявок в
единицу времени.
Под пропускной способностью понимают среднее число заявок,
которые система может обслужить в единицу времени. На практике обычно моменты поступления заявок случайны, случайна и длительность обслуживания заявки. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно, в потоке заявок образуются местные сгущения и разрежения.
Сгущения могут привести либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разрежения могут привести к непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных заявок. Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс.
98
Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы,
определить ее пропускную способность и предъявить к ней требования,
необходимо изучить протекающий в системе случайный процесс, и описать ее математически. Этим и занимается теория массового обслуживания. Примерами систем массового обслуживания могут служить: посты
технического обслуживания автомобилей; посты ремонта автомобилей;
персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или
требования на решение тех или иных задач; станции технического обслуживания автомобилей; банковские учреждения и организации в сфере услуг населению, занимающиеся приемом и обслуживанием своих клиентов.
Модели массового обслуживания широко применяют в теории
транспортных потоков. Основное назначение задач, описывающих движение транспортных потоков, состоит в том, чтобы выяснить, сможет ли
средняя пропускная способность дороги обеспечить прохождение потока,
и при этом не будет непрерывно возникать транспортные перегрузки. Однако вследствие случайных колебаний интенсивности движения одна лишь
гарантия того, что пропускная способность автомагистрали в среднем может обеспечить прохождение транспортного потока, не исключает образования временных или даже постоянных перегрузок.
Для полного описания системы массового обслуживания должны
быть заданы:
1) Распределение входящего потока.
2) Источник входящего потока (конечный или бесконечный).
3) Дисциплина обслуживания («первым прибыл – первым обслужен»,
обслуживание с приоритетами или случайный выбор на обслуживание).
4) Структура системы (одноканальная или многоканальная), многоканальная система может быть с последовательными или параллельными
каналами.
5) Распределение времени обслуживания в каждом канале (механизм
обслуживания).
Пропускная способность системы массового обслуживания мало зависит от вида закона распределения времени обслуживания, а зависит
главным образом от его среднего значения. Поэтому в теории массового
обслуживания время обслуживания отдельной заявки обычно принимают
в виде показательного распределения.
Совокупность требований ожидающих обслуживания образует очередь. Число требований ожидающих обслуживания в момент времени t,
называется длиной очереди. При изучении систем массового обслуживания важно знать: распределение длины очереди, распределение времени
ожидания в очереди, доля времени, когда система обслуживания свободна.
Ответ на эти вопросы зависит непосредственно от характера распределения входящего потока и распределения времени обслуживания.
Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания могут подчиняться различным законам. В теории массового обслу-
99
живания могут применяться: закон равномерной плотности, показательный
закон, распределение Пуассона, распределение Эрланга.
Системы массового обслуживания, встречающиеся на практике, являются весьма разнообразными. Для того чтобы к их решению можно было подходить с некоторых позиций, вводится специальная классификация.
Классификация осуществляется по ряду основных признаков.
Первым является деление систем массового обслуживания на системы с отказами и системы с очередью. В системах массового обслуживания
с отказами заявка, поступающая на обслуживание, встречая каналы обслуживания занятыми, покидает систему и в дальнейшем рассмотрении не
участвует. В системах массового обслуживания с очередями заявка, встречая занятыми все каналы, не уходит из системы, а становится в очередь и
ожидает начала обслуживания. Эти системы в зависимости от длины очереди подразделяются на системы с ограниченной и неограниченной длиной очереди. В системах с ограниченной длиной очереди заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не превышает какойто предельной величины. В противном случае заявка покидает систему.
В зависимости от количества источников требований системы массового обслуживания подразделяются на системы с неограниченным числом
источников требований, т.е. с неограниченным входным потоком, и системы с ограниченным числом источников требований, т.е. с ограниченным
потоком требований.
В системах массового обслуживания следует выделять: 1) системы, в
которых заявки обслуживаются в порядке их поступления; 2) системы, в
которых заявки обслуживаются в случайном порядке; 3) системы с приоритетным обслуживанием.
По количеству обслуживающих фаз системы массового обслуживания подразделяются на однофазные и многофазные. К многофазным
системам относятся системы, в которых обслуживание заявки осуществляется поэтапно. Кроме указанных признаков, системы массового обслуживания подразделяются еще на открытые и замкнутые. В открытых системах входной поток заявок не зависит от количества занятых каналов, в
замкнутых системах – зависит.
4.1. Одноканальная система с отказами
Представление о характеристиках системы массового обслуживания
можно получить на примере одноканальной системы с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет показательное распределение:
t
etf
где
)(
1
– интенсивность поступления заявок в систему. Плотность распре-
,
деления длительностей обслуживания отдельных требований имеет
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]