Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие
.pdf
5,0d
4T
1i
1,0r
09,0r
i
i
i
этому
В соответствии с методом обратных функций
);(r
10
. Заменяя подинтегральную функцию показательным законом
er
1 . Далее,
, получим:
i
ii
/)rln(
t
e)t(f
.
i
0
1 . Так как значение )1;0(1
t
ii
rdte
. Вычисляя интеграл, имеем:
i
/)rln(
0
rdt)t(f
, где
i
r , по-
i
Последняя формула дает нам возможные значения случайной вели-
чины, имеющей показательное распределение.
Пример 1. В трехканальную систему массового обслуживания с от-
казами поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступления-
ми заявок распределено по показательному закону:
ef )( . Дли-
тельность обслуживания каждой заявки равна:
мин. Найти методом
Монте-Карло математическое ожидание a числа обслуженных заявок за
время
Решение. Пусть 0
мин.
T – момент поступления первой заявки. Заявка
1
поступит в первый канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания первой заявки 5,0
dT мин. В счетчик обслуженных заявок
1
записываем единицу. Моменты поступления последующих заявок найдем
по формуле
следовательными заявками с номерами
TT
1
, где
iii
– длительность времени между двумя по-
i
и i. Возможные значения
i
разыграем по формуле:
/)ln(iir
.
Случайные числа
r последовательно выбираем из таблицы случай-
i
ных чисел (Приложение 4).
Для нахождения времени между поступлениями первой и второй зая-
вок возьмем случайное число
Первая заявка поступила в момент 0
явка поступит в момент 460,0460,0
TT . В этот момент первый ка-
12
. Тогда 46,0)1,0ln(2,0
2
T , следовательно, вторая за-
1
.
нал еще занят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая заявка поступит во второй канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания второй заявки:
.
В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.
По очередному случайному числу
из Приложения 3 разы-
граем время
между поступлениями второй и третьей заявок:
3
Вторая заявка поступила в момент 460,0
поступит в момент:
482,0)09,0ln(2,0
3
T . Поэтому третья заявка
2
121
.
TT .
4
148
,
4
ное
323
942,0482,0460,0
В этот момент первый канал уже свободен, и третья заявка поступит
в первый канал.
Момент окончания обслуживания третьей заявки:
T .
3
442,15,0942,05,0
Дальнейшие расчеты производят аналогично, причем если в момент
поступления заявки все каналы заняты, то в счетчик отказов добавляют
единицу. Обслуживание 20-й заявки закончится в момент
, поэто-
му эта заявка получает отказ. В итоге обслужено 13
x заявок. Аналогич-
1
но проводятся еще пять испытаний, тогда получим:
15
x , 14
2
x , 12
3
x , 13
4
x , 15
5
x .
6
В качестве оценки искомого математического ожидания а числа обслуженных заявок примем выборочную среднюю:
*
621
67136
,/)x...xx(xa
.
Расчеты удобно проводить в таблице.
№
заявки
Случай-
r
Время меж-
ду двумя за-
явками
i
i
Момент
поступ-
ления за-
явки
TT
1
Момент окончания
обслуживания
1 2 3 + –
iii
1. 0 0,5 1
2. 0,1 0,46 0,460 0,960 1
3. 0,09 0,482 0,942 1,442 1
4. 0,73 0,064 1,006 1,506 1
5. 0,25 0,278 1,284 1,784 1
Счетчик
6. 0,33 0,222 1,506 2,006 1
7. 0,76 0,054 1,560 2,060 1
8. 0,52 0,13 1,69 1
9. 0,01 0,92 2,61 3,110 1
10. 0,35 0,21 2,82 3,32 1
11. 0,86 0,03 2,85 3,350 1
12. 0,34 0,216 3,066 1
13. 0,67 0,080 3,146 3,646 1
14. 0,35 0,210 3,356 3,856 1
15. 0,48 0,146 3,502 4,002 1
16. 0,76 0,054 3,556 1
17. 0,80 0,044 3,600 1
18. 0,95 0,010 3,610 1
19. 0,90 0,020 3,630 1
20. 0,91 0,18 3,648
4,148
1
stop
122
Для решения рассматриваемого примера воспользуемся также и ин-
d
533
a
a
a
формационной технологией Excel, для чего составим электронную таблицу
(рис.4).
В первой строке таблицы введем обозначения: в столбце А – «случайное число»; В – «время между поступлениями заявок»; С – «моменты
поступления заявок»; D, E, F – «моменты окончания обслуживания»; G –
«счетчик обслуженных заявок». Данные задачи запишем в ячейки: I2 – интенсивность потока ; I4 – длительность обслуживания отдельной заявки
; I6 – время окончания обслуживания
T .
k
Алгоритм решения задачи запишем в следующих ячейках: A2 – 0; B2
– 0; C2 – 0; D2 – =C2+$I$4; E2 – 0; F2 – 0; G2 – 1. Далее в следующей
строке запишем: A3 – =слчис(); B3 – =-ln(A3)/$I$2; C3 – =C2+B3; D3 –
=если(C3>D2;C3+$I$4;D2); E3 – =если(и(C3<D2;C3>E2);C3+$I$4;E2); F3
– =если(и(C3<D2;C3<E2;C3>F2);C3+$I$4;F2); G3 – =если(МАКС(D3;E3;
F3)<$I$6;если(и(C3<D2;C3<E2;C3<F2);0;1); «STOP»).
Копируем блок «A3:G3» до тех пор, пока в столбце G не появится
«STOP».
Далее подсчитаем количество единиц в этом столбце. Это и есть
число обслуженных заявок за время
T . Многократно копируя блок
k
«А3:G3» (чем больше, тем лучше), получим реализации задачи, например:
13, 9, 12, 14, 17, 14, 14, 14, 16, 11,16, 17, 13, 13, 10 – пятнадцать реализаций. В качестве оценки искомого математического ожидания числа обслуженных заявок согласно методу Монте-Карло берется выборочная средняя
*
Точечная оценка
*
неизвестного математического ожидания a–
,1315/)10131317161116141414171412913(
a .
числа обслуженных заявок, найденная по выборке, не указывает на то, какую ошибку мы допускаем, принимая вместо точного значения параметра
его приближенное значение
*
. Поэтому построим интервальную оцен-
ку, т.е. доверительный интервал, внутри которого с определенной вероятностью (надежностью) находится неизвестное значение параметра a.
При неизвестной дисперсии доверительный интервал следует записать в виде:
n/tSaan/tSa
1
где )/(t 2
– аргумент функции Лапласа, т.е. 2/)t(
**
, (1)
, S– вы-
борочное среднее квадратичное отклонение, n – объем выборки. Для
удобства расчетов приведем таблицу некоторых значений
t в зависимо-
сти от надежности :
0,80 0,90 0,95 0,96 0,97 0,99 0,9973 0,999
1,282 1,643 1,960 2,053 2,169 2,576 3,000 3,290
t
Таким образом приближенно решена задача построения доверительного интервала. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительного
123
интервала необходимо знать вид закона распределения числа обслужен-
1nk
1
950,
),a,(
699
14
366
12
ных заявок, тогда как для применения приближенных методов это необязательно. Например, если случайная величина, для математического ожидания которой строится доверительный интервал, имеет нормальное распределение, то значение
t определяется по таблице критических точек рас-
пределения Стьюдента (Приложение 3) при степени свободы
уровне значимости
.
и
Вид закона распределения числа обслуженных заявок нам заранее
неизвестен, поэтому для надежности
значение 9601,t
(аргумент
функции Лапласа). Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
n
i
1 1
(D
n
i
nxnxD
ii
22222
22
)/(/ , или
22222222222
161116141414171412913
.,,/),(/)
3155151183152827533131510131317
Тогда значение среднего квадратичного отклонения равно: 305,2 DS .
Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания числа обслуженных заявок равен:
)/,,,a/,,,( 159601305253313159601305253313 , или
.
Рис.4
Пример 2. В трехканальную систему массового обслуживания с ожиданием, т.е. когда все каналы заняты, заявка ставится в очередь и ждет пока не освободится один из каналов, поступает пуассоновский поток заявок
с интенсивностью 5
мин-1. Время обслуживания каналами отдельных
p
124
заявок имеет показательное распределение с параметрами: 51
3
мин-1. Определить методом Монте-Карло число обслуженных зая-
3
вок за время 5
T минут.
k
1
Для решения примера 2 составим электронную таблицу Excel
(рис.5).
,
, 2
,
2
Рис.5
В первой строке таблицы введем обозначения: в столбце А – «Сл. число»; В – «Время между заявками»; С – «Моменты поступления заявок»; D,
E, F – «Моменты окончания обслуживания»; G – «Время ожидания в очереди»; L – «Счетчик обслуженных заявок». Данные задачи запишем в
ячейки: J2 – время окончания обслуживания
ка
ность обслуживания второго канала
третьего канала
; J4 – интенсивность обслуживания первого канала
p
; J6 – интенсивность обслуживания
2
.
3
T ; J3 – интенсивность пото-
k
; J5 – интенсив-
1
Алгоритм решения задачи запишем в следующих ячейках: A2 – «0»;
B2 – «0»; C2 – «0»; D2 – «=C2-ln(слчис())/$J$4»; E2 – «0»; F2 – «0»; G2 –
«0»; H2 – «=мин(D2:F2)»; L2 – «1».
Далее заполняем следующую строку: A3 – «=слчис()»; B3 – «= -
ln(A3)/$J$3»; C3 – «=C2+B3»; D3 – «=если(C3>D2; C3-ln(слчис())/$J$4; ес-
125
ли(и(C3<D2;C3<E2; C3<F2;D2=H2);D2-ln(слчис())/ $J$4;D2))»; E3 –
m
1,0
5
m
m
1,0
2
«=если(и(C3<D2;C3>E2);C3-ln(слчис()/$J$5;если(и(C3<D2;C3<E2;
C3<F2;E2=H2);E2-ln(слчис())/$J$5;E2))»; F3 – «=если(и( C3<D2; C3<E2;
C3>F2);C3-ln(слчис()/$J$6;если(и( C3<D2; C3<E2; C3<F2; F2=H2);F2ln(слчис())/$J$6;F2))»; G3 – «=если (и(C3<D2;C3<E2; C3<F2); H2-C3;”“)»
;H3–«=мин(D3:F3)»;L3–«=если(макс(D3;E3;F3)>$J$2; ”STOP”; L2+1)».
Далее копируем блок «A3:H3» и ячейку L3 до тех пор, пока в столбце
L не появится «STOP». В столбце L перед ячейкой с обозначением «STOP»
будет указано число обслуженных заявок для данной реализации. Многократно проделывая эту процедуру, получим реализации задачи. В качестве
оценки искомого математического ожидания числа обслуженных заявок,
согласно методу «Монте-Карло» берется среднее значение. Доверительный интервал строится аналогично примеру 1.
Задание по теме «Модели массового обслуживания
в теории транспортных потоков»
1. В двухканальную систему массового обслуживания с отказами, т.е.
когда все каналы заняты, заявка не принимается, поступает пуассоновский
поток заявок с интенсивностью
мин-1. Длительность обслу-
живания каналами отдельных заявок равна: m
m
2
01,04,0
женных заявок за время mT
мин. Найти методом Монте-Карло среднее число обслу-
k
1,05 минут и построить доверительный
1
01,06,0
и
интервал для математического ожидания числа обслуженных заявок. Здесь
– номер варианта. Провести десять испытаний.
2. В двухканальную систему массового обслуживания с ожиданием,
т.е. когда все каналы заняты, заявка ставится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью m
p
1,05
мин-1. Время обслуживания каналами отдель-
ных заявок имеет показательное распределение с параметрами:
m
1,05,1
1
, m
2
1,02
мин-1, где m– номер варианта. Определить
методом Монте-Карло среднее число обслуженных заявок за время
mT
k
1,05 минут. Провести десять испытаний. Построить доверитель-
ный интервал для математического ожидания числа обслуженных заявок.
3. В трехканальную систему массового обслуживания с отказами, т.е.
когда все каналы заняты, заявка не принимается, поступает пуассоновский
поток заявок с интенсивностью m
p
1,05
мин-1. Время обслуживания
каналами отдельных заявок одинаково и имеет показательное распределение с параметром
мин-1, где m– номер варианта. Для уста-
новившегося режима работы СМО построить систему алгебраических
уравнений относительно вероятностей состояния системы (формулы Эр-
126
ланга) и определить характеристики СМО (вероятность отказа, относи-
m
1,0
2
тельную пропускную способность и т.д.).
4. В трехканальную систему массового обслуживания с ожиданием,
т.е. когда все каналы заняты, заявка ставится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью m
p
1,05
мин-1. Время обслуживания каналами отдель-
ных заявок одинаково и имеет показательное распределение с параметром
мин-1, где m– номер варианта. Для установившегося режима
работы СМО построить систему алгебраических уравнений относительно
вероятностей состояния системы и определить характеристики СМО. Как
изменятся характеристики СМО, если ограничить ожидание в очереди
двумя заявками?
127
Литература
1. ГОСТ Р 52748–2007 Дороги автомобильные общего пользования.
Нормативные нагрузки, расчетные схемы нагружения и габариты приближения. М: Стандартинформ, 2008.– 11 с.
2. СП 34.13330.2012 Автомобильные дороги. Актуализированная редакция СНиП 2.05.02 – 85.
3. Ашихмин В.Н., Гитман М.Б., Келлер И.Э. и др. Введение в матема-
тическое моделирование: учебное пособие. – М.: Логос, 2004.–439 с.
4. Березин И.С. Методы вычислений, Т.1: учебное пособие для вузов
/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Физматгиз, 1962. – 464 с.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебное пособие для вузов.– 7-е
изд., стер.– М.: Высшая школа,2001.– 575 с.
6. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайнфункций. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.– 352 с.
7. Калиткин Н.П. Численные методы. М.: Наука, 1978. –512 с.
8. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации.
Алгоритмы, вдохновленные природой. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – М.:
2014.–446 с.
9. Лебедев Г.И. Прикладная математика. Математические модели в
транспортных системах: учебное пособие/ Г.И. Лебедева, Н.А. Микулик. –
Минск: Асар, 2009.– 512 с.
10. Лекции по вычислительной математике: учебное пособие / И.Б.
Петров, А.И.Лобанов. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.– 523 с.
11. Партыка Т.Л. Математические методы: учебник /Т.Л. Партыка,
И.И. Попов. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2015.– 464 с.
12. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование:
Идеи. Методы. Примеры.– 2-е изд., М.: Физматлит, 2005.–320 с.
13. Тимофеев В.С. Эконометрика: учебник / В.С. Тимофеев, А.В. Фаддеенко, В.Ю. Щеколдин. 3-е изд. перераб. и доп. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. госуд. технич. ун-та, 2013.– 338 с.
14. Трусов П.В. Введение в математическое моделирование: учебное
пособие. – М.: Логос, 2004. – 440 с.
15. Федотов Г.А. Изыскания и проектирование автомобильных дорог.
В 2 кн. Кн.1: учебник /Г.А. Федотов, П.И.Поспелов, – М.: Высш.шк., 2009. –
646 с.: ил.
16. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.– М.:
Мир, 1975.– 534 с.
17. Элементы теории марковских процессов и их приложения. БаручаРид А.Т. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1969.– 512 с.
18. Яковлев В.Б. Статистика. Расчеты в Microsoft Excel: учебное посо-
бие для студентов высших учебных заведений. – М.: Колос, 2005. – 352 с.
128
Приложение 1
Программа для построения сглаживающего сплайна
129
Продолжение приложения 1
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]