Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

№ 2727

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра автоматизированных систем управления

В.В. Куприянов

Прикладная математика

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2016

УДК 519.7:004 К92

Рецензент канд. техн. наук, доц. Е.Е. Карпович

Куприянов В.В.

К92 Прикладная математика : учеб. пособие / В.В. Куприянов. –

М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 111 с. ISBN 978-5-906846-20-4

Рассмотрены две основные задачи линейной алгебры и методы их решения на основе общей теории алгебры матриц. Описаны переопределенные и неопределенные системы линейных алгебраических уравнений. Дана постановка основной задачи линейного программирования. Изложен симплексметод Данцига и проанализированы три его случая. Рассмотрены приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями. Приведены основы математической обработки измерений.

Освещены вопросы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования, аппроксимации функций.

Для подготовки бакалавров техники и технологии по направлению 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника».

УДК 519.7:004

ISBN 978-5-906846-20-4		В.В. Куприянов, 2016
ISBN 978-5-906846-20-4		НИТУ «МИСиС», 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................................................	5
1. Математические аспекты линейной алгебры
и линейного программирования..........................................................	7
1.1. Алгебра матриц..........................................................................	7
1.2. Две основные задачи линейной алгебры.................................	11
1.3. Переопределенные и неопределенные системы.....................	22
1.4. Постановка основной задачи линейного
программирования............................................................................	24
1.5. Симплекс-метод Данцига..........................................................	26
1.6. Выбор допустимого базисного решения.................................	33
Контрольные вопросы......................................................................	34
2. Численные и приближенные методы прикладной математики...	37
2.1. Решение трансцендентных уравнений ....................................	37
2.2. Теорема об оценке погрешности корня через невязку...........	39
2.3. Метод итераций для уравнения f(x) = 0 ...................................	40
2.4. Метод Ньютона..........................................................................	44
2.5. Оценка погрешности метода Ньютона....................................	48
2.6. Метод хорд.................................................................................	49
2.7. Метод Ньютона для решения систем нелинейных
уравнений..........................................................................................	50
2.8. Формулы Виетта и метод Лобачевского
для решения алгебраических уравнений........................................	52
Формулы Виетта...........................................................................	52
Метод Лобачевского.....................................................................	52
Правило квадрирования...............................................................	53
2.9. Приближенные решения дифференциальных
уравнений с начальными условиями..............................................	55
2.10. Метод степенных рядов..........................................................	57
2.11. Метод Эйлера...........................................................................	58
2.12. Метод Рунге–Кутты.................................................................	62
2.13. Приближенные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
с краевыми условиями .....................................................................	64
2.14. Приближенные аналитические методы.................................	67
2.15. Метод конечных разностей.....................................................	70
2.16. Методы Эйлера и Рунге–Кутты для системы
дифференциальных уравнений........................................................	73

2.17. Общая задача интерполяции...................................................	75
2.18. Интерполяционный многочлен Лагранжа.............................	77
2.19. Интерполяционный многочлен Ньютона..............................	81
2.20. Метод наименьших квадратов................................................	82
2.21. Численное дифференцирование.............................................	88
2.22. Численное интегрирование. Квадратурные формулы .........	92
2.23. Локальная формула трапеций и ее обобщение.....................	94
2.24. Метод Симпсона......................................................................	97
2.25. Аппроксимация функций........................................................	100
2.25.1. Многочлены Лежандра....................................................	100
2.25.2. Квадратурная формула Гаусса........................................	102
Контрольные вопросы......................................................................	105
Заключение............................................................................................	109
Библиографический список.................................................................	110

Иногда нужно обойти весь мир, чтобы понять, что клад зарыт у твоего собственного дома.

Конфуций

Предисловие

Учебное пособие включает в себя самый основной и важный материал из дисциплины «Прикладная математика», прочитанный автором студентам 2-го курса, обучавшихся по направлению 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» на кафедре «Интеллектуальные системы управления» МГГУ и НИТУ «МИСиС». Сюда вошли численные и приближенные аналитические методы решения различных уравнений и их систем, аппроксимация функций, интерполяция, вычисление интегралов, численное дифференцирование.

Достаточно внимания уделено в учебном пособии методам степенных рядов, Эйлера для решения задачи Коши; методам Рунге– Кутты второго и четвертого порядков. Дана их сравнительная характеристика. Показано решение систем дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков методами степенных рядов, Эйлера и Рунге–Кутты. Приведены решения трансцендентных и алгебраических уравнений методами Ньютона, Виетта и Лобачевского.

Показана постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Описаны такие приближенные аналитические методы, как методы конечных разностей, Галёркина, коллокаций. Изложена постановка общей задачи интерполяции. Рассмотрены интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, точечный метод наименьших квадратов (МНК), интегральный МНК, интегральный МНК с обобщенными многочленами. Показаны частные случаи численного дифференцирования для первой производной. В рамках численного интегрирования приведены принцип построения квадратурных формул, локальная формула трапеций и дано ее обобщение, локальная формула Симпсона с ее обобщением, локальные и общие ошибки формул трапеций и Симпсона. Описана аппроксимация функций с помощью многочленов Лежандра, квадратурной формулы Гаусса.

Наряду с классическими методами рассмотрен также такой вычислительный метод, как симплекс-метод Данцига. Показано, что математические методы анализа – это фундаментальная основа изучения линейной алгебры и линейного программирования.

Материал учебного пособия строго дозирован и легко может быть реализован через лекционные и практические занятия со студентами – будущими бакалаврами техники и технологии по выбранному ими направлению подготовки в вузе. Изложение материала, за редкими исключениями, нерецептурное. По возможности, приведены выводы формул, ибо только в процессе вывода формул можно их полностью понять. А это залог успешного их применения на практике.

Почти все подразделы пособия, имеющие лекционную направленность, носят автономный характер и, следовательно, их можно читать практически в любом порядке. В каждом разделе изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров, а также задачи в виде контрольных вопросов для самостоятельного решения. Для более полного ознакомления с прикладной и вычислительной математикой рекомендована наиболее доступная учебная литература, включающая классические литературные источники.

Данное учебное пособие по дисциплине «Прикладная математика» будет полезно студентам очно-заочного и вечернего обучения третьего и четвертого курсов при изучении таких дисциплин, как «Системный анализ и исследование операций», «Теория принятия решений», «Методы оптимизации», «Методы и средства проектирования интеллектуальных систем и технологий», а также при выполнении студентами итоговых квалификационных работ в рамках бакалавриата и при написании магистерских диссертаций по вышеназванному направлению подготовки.

Во второй части планируемого к изданию учебного пособия по данной дисциплине будут рассмотрены особенности задач нелинейного программирования, сравнительная характеристика задач нелинейного программирования с задачами линейного программирования; аналитические методы решения задач поиска экстремума функций многих переменных на основе необходимых и достаточных условий; изложены численные методы нулевого и первого порядков решения задач безусловной минимизации, а также рассмотрено численное решение основных уравнений математической физики.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Алгебра матриц

Определение. Система m, умножения на «n» чисел, записанных в определенном порядке в виде прямоугольной таблицы, называется

матрицей типа m n. Матрица обозначается как

А =				.


Другая запись матрицы
	А =	, А =	mn.

Числа называются элементами матрицы. Мы занимаемся дей-

ствительными матрицами, но есть и комплексные. В матрицах: i – номер строки, j – номер столбца. Например, a23 – элемент, в котором вторая строка и третий столбец. Число строк и столбцов в общем случае не равны. Но есть случай, когда m = n. Тогда матрица называется квадратной и она порядка n, а число элементов равно n2. Число строк либо

число столбцов может равняться единице. Например, 1 n – здесь одна строка и n столбцов. Тогда имеем матрицу-строку

,, …, .

Строки и столбцы являются векторами. В нашем случае имеем n- мерный вектор. Другими примерами являются:

1 – вектор-столбец;

единичная матрица E

	1	0	0	…	0
E =	0	1	0	…	0 .
	0	0	1	…	0
	…	…	…	…	…
	0	0	0	…	1

Нуль-матрицей является матрица, у которой все элементы нули. С матрицами делают операции такие же, как с числами.

Определение. Две матрицы А = и B = называются равными, если они одного и того же типа и их соответствующие элемен-


ты равны, т.е.		(число строк и столбцов равно).
Суммой матриц A и B одного и того же типа называется матрица
С =	элементами		, элементы которой являются суммой соот-
ветствующихс с		элементовс	матриц A и B, т.е.	С = с	или C = A +
+ B. Разностью двух матриц называется матрицас					, элементы

скоторой являются разностью соответствующих элементов

матриц A и B, т.е.	.
Свойства сложения матриц:
1)	– свойство ассоциа-
тивности;

2), это нулевая матрица или матричный нуль;

3).

Вычитать и складывать можно лишь матрицы одного типа.

Произведением матрицы А на число называется матрица, элементы которой получаются умножением каждого элемента матрицы

А на число , т.е.						.
			числа и матрицы следуют соотношения:
Из определенийα				А А α α
1)	1	А	А;(нуль-матрица);
2)	1	А	А;(нуль-матрица);
3)	0	А		β α; А	;
4)	α	β∙ А	βА	β α; А
5)	α	β А αА		βА
	α	А В	αА	βВ.

Умножение матриц. Пусть имеются матрицы:
				и



и пусть число столбцов матрицы A равно числу строк							матрицы B, т.е.
и пусть число столбцов матрицы A равно числу строк
Тогда в соответствие матрицам A и B можно сопоставить мат-
рицу С. =	с	типа	, у которой элементы		с	определяются по
формуле	с				с
					.

Правило. Чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, надо элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Другими словами, нужно получить скалярное произведение i-й вектора-строки и j-

го вектора-столбца	и это будет элемент					с	.
Пример. Имеем	–две матрицы:					с	1
	1	2	3	4	и	1	1	,
	1	2	3	4		2	2
	3	4	5	6		1	1
тогда						3	3

C11C12

∙

1∙1

2∙2

3∙1

C21C22

4∙3

причем C11

Да, возможно, так как

возможно такое произведение:

число строк и число столбцов равны и равны∙

?4.

Пример. Имеем снова две матрицы:

Для них возможно6

, но

невозможно

, так как в мат-

рице B число столбцов равно∙

трем, а в матрице A число∙

строк равно

двум.

и , т.е.

Пример. Имеем

равенство не всегда соблюда-

Для них получаем

∙

ется (умножение матриц

некоммутативно). Но есть перестановочные

матрицы, если

с любой∙

, например,

∙

, т.е. матрица

E перестановочна∙

матрицейТ .

Транспонированная матрица A для исходной квадратной матрицы A порядка n записывается как

			.


У нее меняются местами строки и	столбцы по отношению к A.
		. Для нее получаем
Пример. Имеем матрицу	…
.

Определитель ищем по определенному закону, и это число, которое состоит из n слагаемых. Матрица A называется симметричной, если она

совпадаетсосвоейтранспонированной, т.е.

. Например,

3 .

Онасимметрична

относительноглавнойдиагонали.

Определение. Квадратная матрица A называется вырожденной,

если детерминант

| то|

т.е.

| |

det

Если

цу.

det

имеем невырожденную (неособенную) матри-

Важно отметить, что определитель не существует у матриц типа

3 4 или 4 3.

Каждой квадратной невырожденной матрице можно найти обрат-

ную матрицу. Матрица

называется обратной матрицей по отно-

шению к данной матрице A порядка n, если произведение обратной матрицы на матрицу А как слева, так и справа дает в результате единичную матрицу, т.е.

Пример. Имеем

∙

–1

∙

где ∙

Обратную матрицу A

находим по правилу:

(1.1)

гдеAij – алгебраическоедополнение

элемента

– минор для .

Тогда

∙ .

Найдем

∙

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]