Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

После ряда упрощений получим

приближенно вычислить производную в

Эта формула позволяет3

точке

, если известны значения функции в точках

При этом для погрешности 2

получаем из (2.120) оценку,

представить в виде.

Последнюю формулу можно!

. Эти.

можно!

Аналогично2(х0)

определить

выражения

приведем без вывода:

;

Можно вычислить и вторую

производную функции

но она

будет равна константе при данном выборе интерполяционной функции (многочлена Лагранжа).

Пример. В точках					4 и		заданы значения
4	256 и			8	4 и	.	8Определить приближенное
4	256 и			8	4096
значение				и величину ошибки.				Отсюда
Итак, имеем узлы:			4, 6, 8, тогда шаг				2.	Отсюда
Итак, имеем узлы:			6				2.
В этом случае		6						960.
В этом случае		6						960.
		ошибка определяется как

Если дана функция ным условиям, то

, удовлетворяющая нашим числен-

		∙24∙ƺ	16ƺ ,

где 4 ƺ 8.

				функции		4	,	а	в	точке
Точная		производная		Тогда	864	4	,		96	16ƺ	. От-
6	6	4∙6	864.		864	960			96	16ƺ
сюда	6	.
Наƺ	6
	практике формулы численного дифференцирования часто на-

ходят из соответствующих рядов Тейлора. Так, разлагая функцию

в ряды Тейлора по степеням	, где		– достаточно мало, полу-
чаем
				+
	!		!	+
				(2.123)
!				(2.123)
				+
	!		!	+
		.		(2.124)
!				(2.124)
!

Если ограничиться в этих рядах только линейными частями, то для нахождения первой производной имеем следующие приближенные формулы:

Эти приближенные формулы можно получить также непосредст-

венно из (2.121) при		.
Складывая формулы	(2.123) и (2.124) и разрешая полученное ра-
Складывая формулы	1	, имеем
венство относительно		, имеем	.

Отсюда получаем следующую приближенную формулу для нахождения второй производной:

Погрешность этой формулы, очевидно, не более величины

max

, .

	2.22. Численное интегрирование.
	Квадратурные формулы
Речь	идет о численном вычислении определенного интеграла
d	, представляющего собой площадь криволинейной трапе-

ции, измеряемую в квадратных единицах. Аналогичные формулы существуют и для вычисления двойных и тройных интегралов. Здесь речь идет об объеме, измеряемом в кубических единицах. Такие формулы называются кубатурными формулами.

Квадратурной формулой называется формула типа

где	– коэффициенты	квадратурной формулы, вычисленные зара-
		d	∑	,
нее;	– значения функции в узлах			, которые могут быть как

равноотстоящими, так и неравноотстоящими, причем заранее выбранными расчетчиком. Существуют формулы, где узлы есть заранее заданные точки, и существуют формулы, в которых узлы заранее выбраны каким-либо лицом. Узлы, которые заданы заранее, применяются в квадратурных формулах Гаусса. Если интеграл – берущийся, т.е. известна первообразная функции Ф(x) для f(x), то определенный интеграл можно найти по формуле Ньютона–Лейбница

гдеНо бывают интегралы.	d	,
	неберущиеся, когда первообразная функция
неизвестна или если функция		задано таблично. В этих случаях

интегралы определяют численно, путем интегрирования соответствующих интерполяционных многочленов, для которых первообраз-


ная известна. Процесс по сути сводится к замене функции			ка-
кой-либо приближенной функцией		, от которой интеграл берет-
ся, т.е.	. При замене используются методы интерполя-

ции, наименьших квадратов или какие то иные. Важно, чтобы инте-

грал брался легко. Как правило, в качестве							применяют интерпо-
ляционный многочлен Лагранжа.
Интегрируя равенство (2.118) в пределах от							до , получаем
Последним			d	d	ƺ	! ω	d .	(2.125)
		членом пренебрегают, так как он не поддается расче-
ту. Тогда имеем следующую приближенную формулу:
			d		d	,
где п	ƺ	!	ω d .

Если проинтегрировать многочлен			,	то	формуле (2.125)
можно придать вид			d
∑		d	d				d
∑		… …	…	…			d
причем		∑	,			d .
		…	…
Выражение для п можно переписать…			в виде…
					(2.126)
					(2.126)
Величинуп	п можно! ƺрассматривать как погрешность… dинтегрирова.							-

ния. Формула численного интегрирования (2.125) аналогична формуле численного дифференцирования (2.121).

2.23.Локальная формула трапеций

иее обобщение

Рассмотрим случай. При п = 1 требуется вычислить интеграл в

пределах от до
Заменим функцию	с	помощью известного выражения
Заменим функцию	с		d ?
				.
				.
Тогда			d
			d
				d
				d

| |

Формула (2.127) называется квадратурной или локальной фор-

мулой трапеций. Геометрически формула (2.127) означает приближенную замену площади криволинейной трапеции площадью прямолинейной трапеции (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Графическая интерпретация локальной формулы трапеций

Оценим погрешность локальной формулы трапеций (этот «кусочек» наверху на рис. 2.18).

Применяя теорему о среднем значении интеграла, из (2.126) при п = 1, получаем

!ƺ

где ′′

= =

ƺ d

′′.

Но

– некоторое

d ,

легко проверить, что

Поэтому

∙

(2.128)

Практически формула трапеций (2.127) применяется так. Пусть требуется вычислить интеграл

Делим

интервал

и на,

на

d .

точками

подынтервалов

формулу

каждом подынтервале

используем

(2.127). В результате получим

∑

Если

точки

–

равноотстоящие, т.е. .

(2.129)

0,1,… , d

то формула (2.129) упрощается и принимает вид,

где

∑

Часто эту формулу записывают в виде

(2.130)

Отметим, что

выражение (2.130), как и предыдущее, получено с

∑

учетом, что

	Геометрическиквадратурнымформулам (2.129) и(2.130) соответству-
	заменакривой			вобласти		ломаной(рис. 2.19).
ет	Для нахождения погрешности ε1m ,				формулы (2.130) просуммиру-
ем погрешностиε mтипа			(2.128) по всем подынтервалам ,				:
	1	∑		∑		η
	1			∑		η
						δ .
						δ .

Рис. 2.19. Геометрическая интерпретация квадратурных формул в области ( , )

Здесь ′′	δ	– значение		′′ в некоторой промежуточной точке.
	δ						ε1
Отсюда получаем следующую оценку для погрешности							m квад-
ратурной формулы (2.130):
			ε1m		∙	.

2.24. Метод Симпсона

Если в формуле (2.125) положить

, то с учетом (2.126) мож-

но записать

d .

Это

выражение можно переписать в виде

(2.131)

В случае равноотстоящих dузлов

вместо (2.131)d .

полу-

чим

(2.132)

Эта формула называется локальной формулой Симпсона или квадратурной формулой парабол. Геометрически формула (2.132)

означает замену дуги данной кривой		дугой параболы вто-
рого порядка	(рис. 2.20).

Рис. 2.20. Геометрическая интерпретация локальной формулы Симпсона

Ошибка слева от точки перехода один раз является положительной, а справа – один раз отрицательной. Эти ошибки как-то себя компенсируют, следовательно, метод Симпсона более точен в сравнении с методом трапеций. Парабола лучше прямой (по методу трапеций) будет аппроксимировать функцию f(x), кроме случая, когда f(x) есть сама пря-

мая. Практически формула (2.132) применяется так. Интервал
делится точками	на		одина,	-
ковых подынтервалов (рис. 2.21) и к каждым двум	смежным подын-
ковых подынтервалов (рис. 2.21) и к каждым двум		2

тервалам через один применяется формула (2.132), причем шаг интерполяции равен .

В результате получим

(2.133)

Все точки с четными индексами в (2.133) встречаются дважды. На каждом третьем подынтервале применяется формула (2.132), а полученные площадки суммируются.

Рис. 2.21. Иллюстрация применения локальной формулы Симпсона

Можно доказать, что для погрешности c формулы (2.133) справедлива оценка


гдеЕсли		c		ƺ	ƺ ,
		c		ƺ	ƺ ,
		формула.	трапеций точна для многочленов порядка не выше,
чем	первый, то формула Симпсона точна для многочленов порядка
чем	2

не выше, чем третий. Рассмотрим теперь кратко решение интегральных уравнений с использованием квадратных формул.

Уравнение вида
	– заданные функции,		– неизвестная,	(2.134)
где	– заданные функции,	, а	– неизвестная,	функция,
называется, ,	интегральным уравнением.

Так как в общем случае точное решение уравнения (2.134) найти невозможно, то его решают приближенно. Так, используя квадратурную формулу (2.130), заменим приближенно интегральное уравнение

(2.134) системой уравнений						,
		∑	,				(2.135)
Система	(2.135) есть		0,1,2… , .		линейных		алгебраических
методом	1		система
		неизвестными		, ,…,		. Решив ее, например,
уравнений с				1

исключения неизвестных, найдем приближенные значения

,	,…,	решения уравнения (2.134)	в точках
,	,…,	. При этом, чем больше m,	тем ближе решение ал-,
,	,…,

гебраической системы (2.135) к решению интегрального уравнения

(2.134).

Пример. Рассмотрим интегральное уравнение

(2.136)

При

имеем

и система (2.135)

после приведения

подобных членов принимает вид

0 ,

;

Решая эту систему, получаем

;

Точное решение уравнения (2.136) есть

2.25.Аппроксимация функций

2.25.1.Многочлены Лежандра

Требуется построить многочлен вида

∑

1 (2.137)

так, чтобы он удовлетворял равенствам

0 ,

1,2,…, .

(2.138)

В работе [8] приведены аналитические выкладки, позволившие сформировать многочлен Лежандра m-й степени в виде

								(2.139)
		графики первых четырех многочленов Ле-
На рис. 2.22 показаны ∑			1		.
жандра:	1;	1	2 ;		1 6.		6	;
	1;	1	2 ;		1 6.		6	;
Многочлены	Лежандра m-й степени в интервале							имеют ров-
Многочлены		1 12		30	20		0,1	имеют ров-
но вещественных корней.			∑				0,1
Умножаяравенство(2.137) на				иинтегрируяот0 до1, получаем
		d				d .		(2.140)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]