Прикладная математика. Учебное пособие

Если эта система совместна, то, решив ее, получим приближенные

значение функции в точках. Можем построить график по этим точкам. Этот численный метод решения краевой задачи называется ме-

дачи (2.69), (2.70). Отсюда следует, что чем больше n, тем меньше

водя все прежние рассуждения и действия, начиная с разложения

краевую задачу (2.84), (2.85) следующей системой разностных уравнений:

Выберем вспомогательные функции в виде

71

Согласно методу Галёркина система (2.77) записывается в форме одного уравнения

1d 0.

Подставляя сюда вместо y1 правую часть равенства (2.88)

после интегрирования получим

50 π

40 π

и, следовательно,

.

Вданном примере точное решение известно, а именно: y(x) = 1 –

–cosx. Поэтому можно вычислить погрешность. Например, в точке

x = имеем

0,151 0,137 0,014 ,

то есть ошибка порядка 1,0 %.

В случае краевой задачи (2.71), (2.72) для дифференциального уравнения 2n-го порядка все остается без изменения, за исключением

72

Согласно методу Эйлера выберем достаточно малый шаг h(h > 0) и будем искать приближенное решение задачи (2.89), (2.90) в дискретных точках , 0,1,…, 1 в виде соответствующих рядов Тейлора:

Теперь покажем применение метода Рунге–Кутты второго порядка для системы уравнений (2.89) с начальными условиями (2.90). На основании (2.91) по формуле Рунге–Кутты (2.62) запишем приближенное решение задачи (2.89), (2.90) в виде

74

терполирующих функций чаще всего используют многочлены, так как они являются простейшими функциями. Так как «плавных» кривых , удовлетворяющих условию (2.98), можно провести бесчисленное множество, то задача интерполяции в общей постановке не имеет единственного решения, т.е. решается неоднозначно, а все эти кривые будут достаточно гладкими (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Геометрическая интерпретация постановки задачи интерполяции

Однако существует случай параболической интерполяции, если в качестве интерполирующей функции взять многочлен

степени n, то задача интерполяции имеет единственное решение. В силу (2.98) коэффициенты , ,…, этого многочлена могут быть получены решением следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Докажем, что система (2.100) всегда разрешима и при этом однозначно. Определителем этой системы является определитель Ван-

76

:

2.18. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен (2.99) можно построить, не решая системы (2.100). Рассмотрим функцию , удовлетворяющую ус-

ловиям (2.101):

Выражение (2.102) есть многочлен n-й степени, равный нулю во всех узлах интерполяции, кроме узла , где он равен 1. Рассмотрим многочлен n-й степени

77

Очевидно, этот многочлен равен нулю во всех узлах интерполяции, кроме узла , где он равен 1. Далее рассмотрим многочлен n-й степени

Этот многочлен равен нулю во всех узлах интерполяции, кроме узла , где он равен 1. Построив аналогичные многочлены

,…, , образуем следующую линейную комбинацию

∑,

являющуюся интерполирующей функцией.

В дальнейшем будем ее обозначать через . Многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа n-й степе-

ни, а формула

На практике используются два частных случая формулы (2.103). Случай 1. При 1 имеем многочлен 1-й степени, т.е. это урав-

нение прямой линии, проходящей через две заданные точки:

.

+∙ .

Интерполяционная формула Лагранжа применяется:

–когда требуется представить функцию аналитически, т.е. в виде формулы, а задана функция таблично;

–при построении формул численного интегрирования и численного дифференцирования;

78

– когда функция задана, а нам нужно знать ее значения в ста точках, тогда берут 10 точек, равномерно расположенных на отрезке, и в них вычисляют значения функции; по этим десяти точкам строят интерполяционную функцию, а в остальных девяноста точках с помощью интерполяционно построенного многочлена находят искомые значения функции;

– когда не хватает либо точных значений, либо велик ее шаг между ; тогда применяют линейную или параболическую интерполя-

грешность интерполяционной формулы Лагранжа п =

79

Таким образом, для погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа имеем следующее выражение:

ƺ

На практике обычно используют следующую оценку для погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:

80