Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Тогда в силу (2.7) имеем	lim
lim	lim		.
→ ∞	→ ∞
На основании (2.8), (2.9) можно	записать
На основании (2.8), (2.9) можно		φ

ƺφ lim или ƺ φ ƺ .

→∞

Аэто означает, что ƺ является решением уравнения (2.5). Но

уравнение	(2.5)	на отрезке	имело единственное решение,
значит	. Таким образом, последовательность,			итераций (2.7) схо-
дится кƺрешениюƺ		задачи (2.1).

Теорема. Для сходимости метода итераций (2.7) достаточно, что-

бы выполнялось соотношение:		1.
max	\|φ \|

Доказательство. Вычитая из уравнения (2.6) уравнение (2.7), получим

По теореме Лагранжаƺ

среднем имеем

φ ƺ

где

Переходяƺ

в последнем выражении к модулям, получим

Это неравенство| ƺпозволяет| max |φ

||ƺ

| ƺ

написать для погрешности

следующую оценку:

получить| | ƺ

цепочку|.

Из формулы (2.10)|можноƺ

вида:

(2.10)

при

0| ƺ

| ƺ

;

при

1| ƺ

| ƺ

при

2| ƺ

| ƺ

const

причем

гдепри

|(ƺабсолютная|

истина| ƺ);

const;

Устремим п к бесконечности,

→ ∞

в этой цепочке, в результате

находим

lim	\| \| ƺ \|	lim	.
→ ∞\| ƺ	\| \| ƺ \|	→ ∞

Правая часть в последнем неравенстве стремится к нулю из-за 1, следовательно, → ƺ. Соответственно, любой → ƺ при

2,3,… .

Для оценки количества итераций существует формула:

\| ƺ	\|		\|	\|.	(2.11)

Напомним, что в разд. 1 настоящего учебного пособия было показано, что в пространстве матриц решением является норма.

Выведем формулу (2.11). По аналогии с вышеизложенным можно записать

(2.12)

Применяя теорему Лагранжа о среднем и переходя в (2.12) к модулям, получим две формулы:

		\| ƺ		\|	\| ƺ	\|;	(2.13)
		\| ƺ		\|	\| ƺ	\|;	(2.14)
Используя неравенство\|				(2.14),\|	можно\|	написать\|.
При		1 из (2.15)\|	имеем \|		\|	\|.	(2.15)
а при	2	:	\|	\|	\|	\|,
где	2		\|	\|	\|	\|,
	1,2,3,…, ;		0.

Рассмотрим некоторую величину

Это равенство позволяет написать следующее соотношение:

Каждый модуль в правой части этого выражения запишем по формуле (2.15), т.е.

| |

Преобразуем это неравенство, тогда получим

1 .

Последний сомножитель в (2.16) образует натуральную геометрическую прогрессию. Поэтому можно записать так:

| |.

Устремим переменный индекс «р» к бесконечности, т.е. → ∞, в результате имеем оценку для погрешности:

	правую\|,		(2.17)

что и требовалось доказать\|ƺ \|. Приравнивая\|		часть неравенства
(2.17) некоторой величине погрешности, например			, можно най-
ти необходимое число итераций для ее	достижения. На первый
		10

взгляд, скорость сходимости метода итераций – линейная, так как в неравенствах (2.13) и (2.14) величина и соответствующие разности входят в первой степени. Но оценка погрешности из формулы (2.17) показывает, что метод итераций сходится со скоростью геометрической прогрессии по отношению к первой итерации (шагу). Если ве-

личина

близка к , то методом итераций считать плохо. Хорошо,

когда

мала. Общих1методов выбора конкретного значения

нет.

Пример.

Имеем уравнение

отрезок

9,10

. Для выборафункции

массу вариантов, например,

имеем1000

φне

1000

; этот вариант не годится, так как

меньше единицы;

√1000

|φ 2) если|

, тоэтотвариантвыбора

пригоден.

общем случае выбор

операция неоднозначная,

но чем

меньше

, тем лучше.

Пусть

x x

f x

, причем

φ x x

f x

. Константу «С» вы-

|φ

| 1,т.е.

бираем так, чтобы

1 .

Если

max

производная

и сохраняет определенный знак на

отрезке

, , то в качестве «С»0

выбирают

где

max

на

;

на

, .

(2.18)

На

min

основании правила выбора константы

и выражения (2.18)

можно записать

(2.19)

В этом случае

является наименьшим. Выбор другой константы ,

т.е. не по (2.18), дает худшее значение для

. Конкретное значение

можно оценить по формуле

на.

Если производная

изменяется

отрезке

не сильно,

т.е.

то величин

мала. Отметим, что,

чем

меньше

зок

, тем меньше изменяется

вится

,ближе к .

, а следовательно,

стано-

2.4. Метод Ньютона

По сути в методе итераций мы выбирали константу

из формулы

А нельзя ли отказаться от этой

константы

? Может лучше вместо

нее выбирать функцию

? Ньютон предложил выбирать в качест-

ве

. Тогда вместо (2.19) получаем

Приведем вывод этой формулы. Сразу отметим, что самым распространенным на практике методом уточнения корней уравнения (2.1) является метод Ньютона, или, иначе говоря, метод касательных. Обозначим через уже найденные приближенные значения корня ƺ уравнения (2.1). Запишем следующее приближение ƺ в виде

(2.20)

где – переменная величина, которую надо определить.

Считая, что ƺ 0, и ограничиваясь в разложении Тейлора только линейной частью, имеем

откуда		0,	(2.21)
	.		(2.22)
Подставляя (2.22) в (2.20), получим	.		(2.22)
			(2.23)
Формула (2.23) позволяет по значению, 0,1,…найти.			(2.23)
Формула (2.23) позволяет по значению, 0,1,…найти.			последовательно

,,…, причем, если этот процесс сходится, то

lim →

ƺ.

Уточнение корней по формуле (2.23) называется методом Ньютона. Суть метода, как это видно из соотношения (2.21), состоит в последовательной линеаризации в точках , , ,… левой части уравнения (2.1). Метод Ньютона допускает следующую геометрическую интерпретацию (рис. 2.3). На этом рисунке цифрами 1, 2, 3 обозначены касательные к , причем касательная 3 является негодной, так как получаем с ее помощью удаление от корня ƺ вместо приближения.

Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

За	принимается тот конец отрезка , , в котором функция и

еевторая производная принимают одинаковые знаки, т.е.

0. (2.24)

Теорема. Если							причем		отличны от
					знаки на отрезке				, то исходя из
нуля и сохраняют определенные0,								,
начального приближения							, удовлетворяющего,			условию
(2.24), можно вычислить				методом Ньютона единственный корень
(2.24), можно вычислить						,
уравнения			с наперед заданной точностью.						Таким образом,
используя	итерационный			процесс			(2.23), где
используя		0							уравнения
удовлетворяют условию									уравнения
удовлетворяют условию							, то найдем, корень, ,			, ,…,
(2.1) на отрезке			.				0
Доказательство, . Для				определенности считаем, что f(b) > 0,
;		0;		0.	Эта цепочка неравенств					означает
0		0;		0.

графически следующее (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Графическая трактовка исходной цепочки неравенств

Утверждаем, что ƺ . Докажем по индукции, что цепочка будет всегда меньше b, но больше ƺ, т.е.

ƺ, 0,1,2,3,4,5,… .

А это означает, что последовательность						будет ограниченной.
Рассмотрим . Ясно, что			. Покажем,		что это справедливо и
для , ,…, . Можно записать			ƺ	.
Тогда		ƺ
Разложив это	выражение в ряд Тейлора в окрестности точки						,
	ƺ	0	ƺ		.
получим	ƺ		!	ƺ		0,

откуда

Очевидно, чтоƺ

(2.25)

в силу (2.23) в формулеƺ

(2.25).первые два слагае-

мых в правой части равны

, т.е.

На основании этого можно показать, что

Действительно,

можно

рассматривать как

из которого

вычитается положительная величина

. Следовательно,

. Тогда (2.25) можно переписать как

положительная.

(2.26)

Поскольку из

вычитается сноваƺ

величина, то

это означает, что цепочка

ограничена сверху b, а сни-

зу числомƺ. А. Получили ограниченную последовательность, а по тео-

реме Бользанаƺ

она имеет конечный предел, т.е.

(2.23)→

к пределу при

и получим

Перейдем в формулуlim

ƺ.

→ ∞

ƺƺ

Очевидно, что последняя формула справедлива лишь при

а это означает, что

есть корень уравнения (2.1) и находитсяƺна от0-

резке [a, b]. Но на отрезкеƺ

[a, b] может быть лишь один корень, сле-

довательно, доказали, что ƺ

ƺ. Равенство (2.26). позволяет

написать

(2.27)

Из (2.27) видноƺ , что ошибка метода∙ ƺ Ньютона на

-м шаге

имеет порядок, в два раза больший, чем на n-м шаге. А в

методе ите-

раций в силу (2.13) получили, что ошибка на

-м шаге имеет

тот же порядок, что и на n-м шаге. Поэтому метод

Ньютона сходится

быстрее на порядок в сравнении с методом итераций, который, как выше отмечалось, имеет линейную сходимость.

2.5. Оценка погрешности метода Ньютона

Разложив выражение

в ряд Тейлора в окрестности точки

, найдем

! .(2.28)

Нетрудно показать, что выполняется следующее соотношение:

0, (2.29)

если оно получено из выражения

аналогичное по форме выражению (2.23). С учетом (2.29) из формулы (2.28) имеем

Переходя в этой формуле к модулю					∙	!	.	и используя формулу
(2.4), логично написать					\|	\|
Исключая величину\|ƺ		С\|,		∙является непонятной.
Исключая величину\|ƺ		С\|,	которая	∙является непонятной.					, получим
	\|ƺ	\|				,			(2.30)
	\|ƺ	\|				,			(2.30)
где	max \|	\| .

Из (2.30) следует, что метод Ньютона имеет квадратичную сходимость. Если выбрать отрезок [a, b] так, что

то оценка (2.30) будет2выглядеть,				min		\| ,
				еще проще\|
	\|ƺ	\|	Здесьx		праваяx	часть.	(2.31)
Пусть							равенства – это не-
которая погрешность.		Тогда из (2.31) следует, что на n-м шаге по-
		10 .
грешность уменьшается и составляет 10						, т.е. точность метода

Ньютона на каждом шаге удваивается. Например, была погрешность

а стала

10Метод,

Ньютона применим также и для уточнения комплексных

корней. Пусть, например,

где

Тогда, полагая

, для следующего

приближения

по формуле

(2.23) находим x

7 .

2.6.

Метод хорд

Пусть имеем некоторое приближение

корня ,

не удовлетво-

ряющее (2.24), но лежащее на отрезке [a, b]. Тогда логичноƺ

записать

В этом случае формула (2.23)

превратится.

в выражение

(2.32)

Геометрически это соответствует нахождению.

нового приближе-

ния

корня

после проведения хорды от точки А

до точки B

ƺи другого нового приближения

из-за,

каса-

тельной к

в точке B (рис. 2.5). Метод хорд дает приближение с

одной стороны от корня ƺ, а метод касательных – с другой стороны. Поэтому корень ƺ «зажат» слева методом хорд, а справа – методом касательных. При этом «зажимать» возможно до той величины точности, какая нам нужна.

Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация метода хорд

Воспользуемся теперь теоремой о двухсторонней оценке погрешности корня. Предположим, что и ̿являются корнями, но приближенными уравнения (2.1), причем

где 1 0; 2 0.	̅ ƺ	, ̿ ƺ	,	(2.33)
Согласно (2.33)	– это приближение с избытком, а			– приближе-
ние с недостатком.	Тогда для приближенного корня , определяемого
ние с недостатком.	̅		ƺ	̿
как			ƺ

ƺ̅ ̿,

справедлива следующая оценка:

Покажем это. Рассмотрим|ƺ ƺ|

| ̿ ̅| .

(2.34)

(2.35)

Но 1 и 2 – неизвестныеƺ ƺ

величины, однако существует.

очевидное

соотношение

ε1 ε2

ε1 +ε2

Из формул (2.33) непосредственно следует

ε2 +ε1

(2.36)

Подставляя в (2.35) выражение (2.36), получим

ƺ ƺ

+ε

2 1

Таким образом,

|ƺ

ƺ|

| ̿

̅| .

2.7. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Пусть система трансцендентных уравнений

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]