Прикладная математика. Учебное пособие

ными значениями матрицы А. Если матрица А – симметричная, то все решения действительные и различные.

3-й этап. Подставив в систему (1.26) вместо неизвестного найденное во втором этапе значение λ , решают эту систему например методом Гаусса и находят таким образом компоненты искомого собственного вектора, соответствующего собственному значению λ . При это ввиду однородности системы (1.26) фиксируют какую-либо компоненту собственного вектора, полагая например 1 (так как определяются с точностью до 1), и отбрасывают одно из уравнений как лишнее.

Рассмотрим это. Распишем систему (1.23) в развернутом виде:

…………………………………………………..

λ 0 .

Последнее уравнение здесь вычеркиваем и получаем (n – 1) неизвестных и (n – 1) уравнений. Записываем

Решив систему (1.28), то найдем i-й собственный вектор. Пример. Найдем собственные значения и собственные векторы

матрицы

А= 12 23 .

Здесь система (1.26) имеет вид

1-й этап. Раскрывая определитель

получаем квадратное уравнение

λ 4λ 1 0 .

21

2-й этап. Решая это квадратное уравнение, находим собственные

Аналогично определяется второй собственный вектор.

1.3.Переопределенные

инеопределенные системы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

;

; (1.30)

…………………………………………………..

.

Если матрица системы (1.30) квадратная, т.е. m = n и определитель этой системы отличен от нуля, то система (1.30) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

Если в системе (1.30) число уравнений больше числа неизвестных, т.е. , и никакое уравнение не является линейной комбинацией остальных уравнений системы (1.30), то эта система называется переопределенной. Переопределенные системы несовместны, т.е. не имеют решения. Однако если правые части системы (1.30) являются результатом измерений и, следовательно, содержат случайные ошибки, то ставитсявопросо нахожденииобобщенногорешениясистемы(1.30).

В 1806 г. Лежандр сформулировал следующий принцип: наи-

22

Тогда, используя формулы Крамера или метод Гаусса, систему (1.30) можно разрешить относительно первых m неизвестых: x1, x2 , … , xm. Витоге получим

ответствующие значения базисных переменных, что в совокупности составляет частное решение системы (1.30). Например, полагая все свободные переменные равными нулю, получим

1.4. Постановка основной задачи линейного программирования

Пусть имеем недоопределенную совместную (m < n) систему уравнений (1.30). Задана функция

и условия неотрицательности переменных

Система недоопределенных уравнений (1.30) и условия (1.36) называются системой ограничений, а функция (1.35) – целевой функцией, причем F – линейная формула, так как xi входят в первой форме.

Основная задача линейного программирования формулируется так: требуется найти неотрицательные значения переменных , , …, , удовлетворяющие системе ограничений (1.30) и доставляющие экстремум функции (1.35). В классическом варианте нас интересует минимум функции F. Если надо найти ее максимум, достаточно рассмотреть функцию (–F), т.е. задачу сводят к рассмотрению минимума от функции (–F). Поставленная задача (1.30), (1.35), (1.36) носит название основной задачи линейного программирования, которую в

24

1944 г. в США впервые поставили в данном виде. Функция F может быть задана в другом виде

зываются выпуклыми или нелинейными задачами. Если решение

вет, то его надо округлить. Оптимальное решение получить нельзя.

задачи (1.30), (1.35), (1.36). Допустимое решение, доставляющее минимум целевой функции (1.35), называется оптимальным допустимым решением. Задача линейного программирования – отыскание оптимального допустимого решения:

1)может существовать решение и притом единственное;

2)решений может существовать бесчисленное множество;

3)решений может не существовать вовсе.

Множество допустимых решений задачи (1.30), (1.35), (1.36) в общей постановке образует выпуклое множество. Если оптимальное допустимое решение существует, то оно достигается в одной из вершин выпуклого множества, порождаемого системой ограничений.

В задачах линейного программирования обычно система ограничений записывается в виде системы неравенств

Если ограничения заданы в виде неравенств (1.37) или (1.39), то уже необязательно выполнение условия m < n. При переходе к равенствам (1.38) или (1.40) оно будет выполнено, так как всегда m < n + m.

25

Основная задача линейного программирования есть задача на условный экстремум линейной функции (1.35) при ограничениях (1.37) и (1.36). Однако классические методы анализа здесь неприменимы. Эти методы хороши, когда экстремальные точки находятся внутри выпуклого множества, а у нас уже сами оптимальные решения находятся в граничных точках (вершинах) множества или на границе изменения переменных, т.е. там, где производные в (1.32) не равны нулю. Действительно, условия (1.32) приводят к абсурду

0 , 1,2,…, ,

т.е. функция (1.35) не имеет точек безусловного экстремума.

1.5. Симплекс-метод Данцига

Эквивалентная математическая формулировка предыдущей задачи может быть представлена в виде

Поскольку система (1.41) содержит m уравнений, то первые m неизвестных можно выразить через остальные. Тогда систему (1.41) можно записать в виде

В базисном решении

свободные переменные (независимые переменные) всегда равны нулю. Потребовав выполнения условий

говорят о допустимом базисном решении.

Исключая базисные переменные из целевой функции (1.42) при помощи равенств (1.44), получаем функцию, в которой остались лишь свободные переменные:

26

Здесь возможны три взаимоисключающих случая.

Случай 1. Все коэффициенты при переменных в выражении (1.47) положительные, т.е.

В этом случае допустимое базисное решение (1.45) дает минимум функции (1.47) и, следовательно, является оптимальным решением. При этом γ при 0 ,… , 0 . Действительно, в (1.47) только свободные переменные. В силу (1.49) любое увеличение равных нулю в базисном решении свободных переменных

,,… , приводит к увеличению, а не уменьшению целе-

решима, т.е. решения нет.

Случай 3. Примем допущение, что, по крайней мере, один из коэффициентов, например γ , при переменных в функции (1.47) отрица-

телен. Если имеется несколько таких отрицательных коэффициентов, то обычно выбирают среди них «наиболее отрицательный». В то же время пусть, по крайнеймере, одноизm неравенств(1.50) невыполняется.

Пусть, например,

27

В этом случае минимум функции F будет существовать и можно найти новое допустимое базисное решение с меньшим значением целевой функции.

Убедимся в этом. Можно ввести новые базисные решения

функции (1.51) найдется. Так же, как и в случае 2, в силу условия при увеличении целевая функция (1.51) монотонно

этой перестановке целевая функция уменьшится, так как базисное решением примем другим. В этом суть случая 3.

Таким образом, в отличие от случая 2 в случае 3 уже нельзя неог-

можно увеличивать до тех пор, пока какая-нибудь из этих базисных переменных не обратится в нуль.

Пусть при увеличен в системе (1.52) первой обратилась в нуль переменная . Это означает, что наименьшей из величин

где i относится только к тем переменным, у которых отрицательные значения α , .

28

Построим теперь новое допустимое базисное решение. Выбор ведущего коэффициента означает перевод обратившейся в нуль базис-

Исключим с помощью формулы (1.56) независимую переменную из остальных уравнений системы (1.44) и функции (1.47). Для

этого подставим выражение (1.56) в (1.44) и (1.47). Получим

Вместо (1.44) имеем (1.57), а вместо (1.47) получаем (1.58). Это в новых базисных переменных. Поскольку все зависимые переменные есть числовые величины, а все независимые переменные равны нулю, то базисное решение новой системы (1.56), (1.57) имеет вид:

0 , 0 .

29