Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

		,	,…,	0;
		,	,…,	0;
		,	,…,	0
совместна и (	,	1,2,3,…,		уже найденное приближенное ре-

шение этой системы, а ƺ – точное решение, причем

ƺ,

где – неизвестные числа.

Тогда для нахождения поправок вместо одного уравнения (2.21) имеем систему уравнений:

0	ƺ ,ƺ ,… ,ƺ ,… ,ƺ		,	,	,… ,
	,	… ,				1,2,3,… , ,(2.38)
где функции		и их все производные взяты в точке (				,… ,x .
	Систему (2.38) можно переписать в виде

(2.39)

Система (2.39) есть система п линейных алгебраических неод-

нородных уравнений с неизвестными							Решив её, на-
					поправки
пример методом Крамера, найдем неизвестные, ,…, .								Дейст-
и, следовательно, новое приближение								Дейст-
и, следовательно, новое приближение					системы (2.37), . ,…,
вительно, решая методом Крамера относительно поправок								, имеем
где	∆	∆ ∆		,		1,2,…, .
	∆	– как частные производные в точке			,	1,2,…, .
		– как частные производные в точке			,
Тогда для нового приближения запишем
		∆ ∆	,	1,2,… , .				(2.40)

2.8. Формулы Виетта и метод Лобачевского для решения алгебраических уравнений

Формулы Виетта

Рассмотрим теперь алгебраическое уравнение n-й степени

(2.41)

Уравнение (2.41) является частным случаем трансцендентного уравнения (2.1) и поэтому любой метод решения трансцендентных уравнений пригоден и для решения алгебраических уравнений. Согласно основной теореме высшей алгебры любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Обозначим корни уравнения (2.41) через , ,…, . Тогда уравнение (2.41) можно представить в виде

…0 . (2.42)

Перемножим эти скобки и приведем подобные члены. Приравнивая полученное выражение левой части равенства (2.41), имеем

… ,

откуда следуют формулы Виетта:

;

…1 .

Метод Лобачевского

Русский математик Н.И. Лобачевский в 1834 г., используя формулы Виетта, получил метод, позволяющий сразу находить все n корней уравнения (2.41) с любой степенью точности. При этом не требуется предварительное определение грубых значений корней. Заменив

в уравнении (2.41)	на –х, получим		1		0 .
		(2.43)					(2.43)
Так как корни	уравнения						то его
		есть		,		,
можно записать так:					,…,

…0 . (2.44)

Перемножая уравнения (2.42) и (2.44), получаем

… 0

или, если обозначить через ,

…

0 .

(2.45)

Это есть алгебраическое уравнение n-й степени. Его корни являются вторыми степенями корней уравнения (2.41). Для нахождения коэффициентов уравнения (2.45) перемножим левые части уравнений (2.41) и (2.43). В результате после приведения подобных членов, вве-

дения обозначения –	вместо	и сокращения на 1		имеем
2	2	2	2	0.	(2.46)
2		2	, т1.е.
Корни уравнения (2.46) есть				корнями урав-
нения (2.46) являются квадраты корней,			уравнения (2.41), взятые со
			,…,

знаком минус. Процесс перехода от уравнения (2.41) к уравнению

(2.46) называется квадрированием корней.

Правило квадрирования

При квадрировании корней каждый коэффициент преобразованного уравнения равен квадрату прежнего коэффициента минус удвоенное произведение окаймляющих его коэффициентов плюс удвоенное произведение следующих в порядке близости окаймляющих коэффициентов и т.д., причем если нужный коэффициент отсутствует, то он считается равным нулю.

Применяя к уравнению (2.41) процесс квадрирования корней k раз, получим уравнение

корнями которого служат числа							0 ,	(2.47)
Предположим, что корни	уравнения (2.41) действительны и раз-
Предположим, что корни			–	,		,…,	,где	2 .
личны по модулю, и пусть
Используя формулы\| Виетта\| \|			имеем:		\|	\|.		(2.48)
			имеем:
		,\|					;
							;

;

….

Вынося первый член левой части каждого из этих равенств за скобки, находим

1	;	;	(2.49)


1

….

Но в силу (2.48) при достаточно большом m имеем

| | | | | |

и, следовательно, из (2.49) находим

, ,…, .

Отсюда непосредственно следуют формулы Лобачевского:

	\|	\|			,\|	\|				,…,\| \|					.


Знаки корней			определяются подстановкой в уравнение (2.41).
Пример. Пусть								1110			1000		0.
После первых двух111								1110			1000		0.
	111			квадрирований корней получим
	111	2 1110					1110				2 111 1000			1000
			1,01 10			10		1,45			10	10	10	0;
			1,01			10		2 1,45				10
	10		1,45 10					2 1,01 10					10	0.
По	10		9,91 10						2,10 10				10	0.
	формулам Лобачевского имеем											,
	\| \|						99; \|		\|			,
	\| \|		9,91 10				99; \|		\|			,		12;

| | 0,84.

Точные значения корней

100; 10; 1.

2.9. Приближенные решения дифференциальных уравнений с начальными условиями

Рассмотрим следующую задачу. Найти такую непрерывную в области функцию , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению:

и начальному условию	, ,	(2.50)
Решить уравнение (2.50) означает.нахождение кривой		(2.51)

после подстановки которой в это уравнение получается тождество. Геометрически это соответствует нахождению непрерывной кривой

проходящей через заданную точку		,
ряющую,при	уравнению (2.50) (рис. 2.6).		и удовлетво-

Рис. 2.6. Геометрический смысл задачи Коши

Рассматриваемая задача в математике обычно называется задачей

Коши. Считаем функцию	достаточно гладкой, т.е. сущест-
вует производных столько, сколько надо будет. Если			зависит
линейно от y, т.е.	,	то решение задачи,		Коши
выражается формулой ,				55

d .

В случае дифференциального уравнения n-го порядка вместо задачи (2.50), (2.51) имеем задачу Коши

			,	,	,…,			;	.	(2.52)
			,	,	,…,			;		(2.53)
			,	,…,
Здесь в начальной точке				заданы уже n условий. Если величины
, ,…,			входят в функцию			,	,	,…,	линейно
где	,	,…,	– постоянные, то			для решения задачи Коши (2.52),
(2.53)	,	,…,	– постоянные, то						φ .
(2.53)	,	,… ,
	можно применить преобразование Лапласа.

При численном решении дифференциальных уравнений n-го порядка (2.52) в общем случае их обычно сводят к системе n диффе-

ренциальных уравнений первого порядка
	z	z	;	;
			;		, .
где положено	,	,	,…,
При этом начальные,	условия для этой системы определяются сле-
	,…,	,…,			.
дующим образом:
,

Обычно точное аналитическое решение дифференциальных уравнений получить не удается. Поэтому на практике используют для их решения приближенные методы. Основные приближенные методы решения дифференциальных уравнений можно разбить на два класса:

1)приближенные аналитические методы;

2)численные методы.

В первом случае получается решение в виде приближенной формулы, во втором – в виде таблицы чисел. Из приближенных аналитических методов рассмотрим метод степенных рядов, а из численных – метод Эйлера и метод Рунге–Кутты. Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями численные методы применяются значительночаще, чемприближенныеаналитическиеметоды.

2.10. Метод степенных рядов

Представим искомое решение

задачи (2.52), (2.53) в виде ря-

да Тейлора

(2.54)

!– значения∙

где

соотвественно!

производных ,

,…

в на-

чальной,

,…

точке

Первые n коэффициентов.

Коэффициент

этого ряда задаются на-

чальными условиями (2.53).

,…,

подстановки начальных значений в дифференциальное уравнение

(2.52), т.е.

, ,… ,

Например,

Для нахождения

продиффе-

ренцируем уравнение (2.52) по,

правилу.

сложной функции

Так как правая часть этого

равенства есть некоторая функция

∙

,… ,

от , ,… ,

, то можно написать

(2.55)

Подставляя

сюда начальные, ,…значения,

получаем

′,.…,

Например,

Следовательно,

∙

Чтобы получить следующий коэффициент,

, дифференциру-

ем уже не уравнение (2.52), а уравнение (2.55), и подставляем начальные значения. Далее поступаем аналогично. Таким путем можно найти сколь угодно членов ряда (2.54). Если степенной ряд (2.54) сходится, то, взяв достаточно большое число его первых членов, получаем решение задачи Коши (2.52), (2.53) с любой точностью. Этот

приближенный метод решения задачи (2.52), (2.53) называется мето-

дом степенных рядов.

Метод степенных рядов применяют в тех случаях, когда требуется

найти	решение			лишь в	небольшой			окрестности		начальной точки
	(вблизи точки ), так как в этом случае ряд (2.54) из-за мало-
сти			сходится быстро и,				следовательно, приходится вычис-
лять мало его членов. В противном случае, если											велико, то
метод неэффективен.						;	0	1, 0	0.
Тогда						;	0	1, 0	0.
Пример. Пусть						;				1;
				,		;				1;
				1		,… .
и, следовательно,					0	1	1	0;	0	0.
0		0	0	1;	0	1	1	0;	0	0.
Поэтому согласно (2.54)
		1		0			0		0		.
или для			!		!			!			.
или для			!		!			!
		решения этой задачи Коши можно написать

Тогда	Пусть					; 0		2;		0		1;		0 0.
Пример.	2	2		,				2		,…
	2			,								.
и, следовательно,			1,		2∙1∙1							2 2		4,
1	2∙0		1,		2∙1∙1			0∙1		2		2 2	.	4,
Поэтому	2 1∙4		1		0∙1		2∙1	10		2		12,…
	для решения этой задачи Коши согласно (2.54) имеем
	2			!		!	∙4	!	12		.

2.11. Метод Эйлера

Ищем решение задачи Коши (2.50), (2.51) в виде ряда Тейлора

					.
Пусть	!	!	!		.
Пусть	!	!	!	Тейлора только
		уже найдено. Оставляя в ряде
линейную часть, получим			.
			.		(2.56)


Заменяем кривую			ломаными (рис. 2.7). Для этого проводим
вертикаль из точки			, получим	Проведя касательную к		в
точке	,	до этой вертикали, найдем.			приближение . Разобьем
отрезок		на	промежутков с шагом :

Рис. 2.7. Замена кривой

ломаными

Интересуемся

решениями

лишь

узлах,

т.е. в

точках

, ,

, , ,…,

. Все узлы выражаются формулой

(2.57)

0,1,2,,

… , .

С помощью (2.57) находим

подставляя которое в равенство

(2.56), находим

В силу (2.50) эту формулу можно записать.

в виде

(2.58)

соответствует замене на отрезке

Геометрически формула (2.58), ,

0,1,…,

резком[ ,

интегральной кривой, проходящей через точку

, от-

касательной]

к этой кривой в точке

(рис. 2.8).

Рис. 2.8. Геометрическая иллюстрация формулы (2.58)

Метод численного решения задачи Коши при помощи формулы типа (2.58) называется методом Эйлера, или методом ломаных, так как осуществляется замена плавной кривой отрезками касательных.

Формула (2.58)			позволяет по значению		найти последовательно
значения	,	,, .		Например,
при	0	,, .		, ;
при	0			, ;
Первый	1			, .
	отброшенный член в формуле (2.58) является величиной

порядка . Поэтому локальная погрешность, вносимая на каждом

порядка	. А так как число таких	0,1,…,	1	есть величина
шаге (локальная ошибка), т.е. при				есть величина
		шагов равно		,

то итоговая погрешность решения задачи (2.50), (2.51) при помощи формулы (2.58) имеет порядок :

Таким образом, логично сказать, что погрешность метода Эйлера того же порядка малости, что и шаг интегрирования h. Отсюда метод Эйлера самый грубый, но и самый простой. Метод Эйлера надо применять с очень малым шагом. Если кривая гладкая, то и касательные хорошо ее аппроксимируют. Следовательно, метод Эйлера хорош. Если кривая носит явно колебательный характер, метод неприменим (рис. 2.9). Действительно, значения (по Эйлеру) и сильно различаются. Надо применять метод Рунге–Кутты.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]