Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Отрезок касательной

Рис. 2.9. Применение метода Эйлера к колебательной кривой
Предположим, что функция							удовлетворяет условию Лип-
шица по y, т.е. существует такая постоянная,									L, что для любых и
выполнятся неравенство
Пусть в процессе\|			расчетов,			вкралась, \|					(2.59)
							\|ошибка\|., например, вместо yk
используется	.Тогда вместо							получим искаженные зна-
чения k+1,…,	. Исходя из			k	согласно методу Эйлера имеем
						,…,	,	.
Вычтем отсюда равенство (2.58)										.
Переходя к модулям и используя (2.59),,								получаем,			\|.
Аналогично\|	находим\| \|			\|		\|	\| = (1 + hL)\|
В\|общем случае\|		(1 + hL)					\|	(1 + hL)2		\|	.
		логично\|написать							\|
Это неравенство\|		можно\|		(1 + hL)n–k					\|.
				усилить так\|						\|.
\|	\|			\|		\|			\|

Из этого соотношения следует, что для фиксированных точек и

погрешность			в конечной точке xn, вызванная погрешно-
стью	в начальной точке				, при h		является величиной
того же порядка малости, что и					. В	частности, при изменении
						→ 0
на ε начального значения				, конечное значение			, найденное мето-
дом Эйлера, изменится на O(ε). Это означает, что метод Эйлера об-
ладает численной устойчивостью.						,	1,2,..,	,
В случае задачи Коши для системы
вместо уравнения,		(2.58), ,…,		,
		имеем			,	0,1,2,в…точке,
где ,	приближенное		,	,…,				(2.60)
								1,.
,	,

значение решения

2.12. Метод Рунге–Кутты

Метод Эйлера, как ранее отмечалось, является самым грубым численным методом решения задачи Коши. Этот метод является методом первого порядка точности. Он применяется в случаях, когда решения задачи Коши представляют собой сравнительно плавные кривые. В противном случаеприменяютсячисленныеметодыповышеннойточности.

Методом Рунге–Кутты логично строить решения задачи Коши

любого порядка точности. Возьмем ряд Тейлора в точке

(x – x ) +

– x )2 +

(2.61)

!уже(x

Пусть

y(x) =дляy(xзадачиk !

(2.50),k (2.51)

найденоk …. Формулу.

(2.61)

применять неудобно, так как неизвестны

(

), … . Чтобы

обойти эту трудность, будем искать

в виде

причем

пока неопределенные, ;

(2.62)

где

постоянные;

(2.63)

Надо,

выбрать, ,

эти постоянные так, чтобы решение (2.62) с точно-

стью до второго порядка совпадало с рядом Тейлора (2.61), т.е. в ряду Тейлора оставляем квадратичную часть. Тогда для нахождения

перепишем ряд (2.61) в виде

где

(2.64)

Решаемдифференциальное,

уравнениевида:

при

. Сравним ряд (2.62) с формулой (2.64) с точностью,

до трех чле-

этого воспользуемсяразложением выражения

;

нов. Дляв двойной ряд Тейлора, т.е. формулой типа

φ(x, y) = φ(x0, y0)+ (x – x0)+ (y – y0) + … ,

и, ограничиваясь лишь линейными членами с учетом, что

, получаем

f (xk + bh; yk + cp1) = f(xk, yk) + bh

+ cp1 .

(2.65)

В формулу (2.62) вместо

подставим выражения (2.63), а вместо

выражение (2.65). В результате находим

Запишем эту формулу в виде

(2.66)

Приравнивая в (2.64) и (2.66) коэффициенты при одинаковых.

сте-

пенях , имеем

(2.67)

Получили нелинейную

систему из трех уравнений с четырьмя не-

известными. Задача решается неоднозначно. Выберем коэффициенты

	так, чтобы выражение (2.62) было наиболее простым.
,	Выберем, ,	. Тогда из (2.67) получим				. Следова-
,	Выберем, ,	. Тогда из (2.67) получим				. Следова-
тельно, формулы (2.62) и (2.63) можно записать в виде						1
	,		;	;	,
				;
				;
	Можно эти формулы		0,1,2,…,	1.
			объединить, тогда имеем
						63

			,	,	(2.68)
		0,1,2,…,	,	,	(2.68)
Из выражения (2.68)		0,1,2,…,	1.
	следует, что локальная погрешность, вноси-

мая на каждом шаге при пользовании этой формулой, имеет порядок

. Поэтому окончательная погрешность в этом случае имеет порядок : , так как делаем п шагов.

Метод численного решения задачи Коши (2.50), (2.51) при помо-

щи формулы (2.68) называется методом Рунге–Кутты второго порядка точности или методом Эйлера с пересчетом. Из рассмотре-

ния формулы Эйлера (2.58) видно, что для продвижения в решении задачи на один шаг, требуется один раз просчитать правую часть


(2.58) из-	А в методе Рунге–Кутты для продвижения на
один шагзанадо просчитать, .		правую часть (2.68) дважды (из-за	и

). Шаг в методе Рунге–Кутты можно брать по сравнению с формулой Эйлера в 4–5 раз меньше и получить ту же точность. Без вывода

напишем формулу Рунге–Кутты порядка

, ;

где

;

Из-за необходимости

;

надо ,четырежды.

счета

считать

правую часть этой формулы. В этом,

недостаток, ,

метода Рунге–Кутты.

2.13. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями

Рассмотрим следующую задачу. Найти такую непрерывную в области a x b функцию , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

+ p(x)			(2.69)
с краевыми условиями		.
,	, a x	.	(2.70)
64


Предполагаем, что		являются достаточно гладкими. Гео-
метрически это соответствует,		нахождению	непрерывной		кривой
проходящей через заданные точки			и		и удов-
летворяющей,	при a x b уравнению (2.69)		(,рис.2.10).,	Эта задача
называется краевой задачей, так как условия для определения						и
заданы на краях.

Рис. 2.10. Геометрическая трактовка краевой задачи

В случае дифференциального уравнения 2n-го порядка вместо краевой задачи (2.69), (2.70) имеем краевую задачу

, ,	,…,	;	;	(2.71)
,	,…,		;	(2.72)
,	,…,		.

Заметим, что краевые задачи ставятся только для дифференциальных уравнений четного порядка. В данном случае в граничных точках и заданы уже 2n условий.

Краеваязадача(2.69), (2.70) существенноотличаетсяотзадачиКоши

, ,	;	(2.73)
, ,	;	(2.74)
,

для того же дифференциального уравнения. Это отличие состоит в том, что в случае задачи Коши дополнительные условия задаются в одной точке, а в случае краевой задачи – в двух точках. По этой причине задачу Коши иногда называют одноточечной задачей, а

краевую задачу – двуточечной. Задачи (2.73), (2.74) называют зада-

чей Коши или задачей с начальными условиями. В теории диф-

ференциальных уравнений доказывается, что одноточечная задача (2.73), (2.74) при любой непрерывной по x и дифференцируемой по , функции , , имеет и притом единственное решение, т.е. для этой задачи практически всегда существует единственное решение. Иначе обстоит дело в случае двуточечной задачи (2.69), (2.70). Здесь практически возможны следующие три случая, причем переменная x есть пространственная переменная.

1-й случай. Например, задача

имеет решение	1;.	Граничные условия удовлетворяются,
		0	0;	1
что подтверждается	1 cos
	их непосредственной подстановкой в уравнение.
Здесь решение существует и единственно.				2
2-й случай. Например, задача
имеет бесчисленное	множество решений
	1;	0	0; π
	sin		1 cos	,

где с – произвольная постоянная.

Граничные условия удовлетворяются при любой с, следовательно, решение существует, но не единственно. Задача от граничных условий принципиально изменилась.

3-й случай. Например, задача

1; 0 0; π 1

не имеет решения. Решения не существует. Эти три примера показывают, что даже для такого простого дифференциального уравнения, как 1 в зависимости от того, как заданы краевые условия, могут возникнуть все три случая. Далее приближенно решим только такие краевые задачи (2.69), (2.70), для которых решение существует и единственно, т.е. однозначно. При этом в силу принципиального отличия краевой задачи от задачи Коши приближенные методы решения задачи Коши, такие как метод степенных рядов, метод Эйлера, метод Рунге–Кутты, здесь непригодны. Методы решения задачи (2.69), (2.70) делят на два класса:

1.Приближенные аналитические методы (метод Галеркина, метод коллокации).

2.Численные методы решения, или разностные методы.

2.14. Приближенные аналитические методы

Будем искать приближенные решения краевой задачи (2.69), (2.70) в виде

	,	,…,		неизвестные коэффициенты,	(2.75)
где			– пока		, а функции
трем			вспомогательные функции, удовлетворяющие
	,	,…	0,1,2,…,
	условиям:
1)		,		дважды непрерывно дифференцируемы на

2)U0(a) = ya; U0(b) = yb; U1(a) = U2(a) = … = Um(a) = U1(b) =

=U2(b) = … = Um(b) = 0, т.е. на границах должны обращаться в нуль;

3) система функций		,	1,2,..,	должна образовывать пол-
ную систему линейно					.
	независимых функций в
Система функций		называется полной,			,если не существует

отличного от нуля элемента , ортогонального ко всем элементам

системы		. Если функции						линейно зависимы, то
это означает, что одну из этих				функций, например					, можно вы-
						,…,
разить в виде линейной комбинации остальных, т.е.
где	i – некоторые		числа.			α			,
			α
Вαэтом случае равенство (2.75) принимает вид

что…равносильно использованию не								, а только вспомогатель,		-
ных функций. Функция				,	определяемая равенством (2.75), при
							1
любых		удовлетворяет краевым условиям (2.70) в силу условия 2 и

дважды дифференцируема в силу условия 1. Действительно, по-

скольку	,		0,то	.	По ана-
логии имеем, что	,		0,то	.
Перепишем уравнение (2.69).			в виде
		+	0,

а можно и в таком виде

, ,

что то же самое.

Подставляя в левую часть, например первого из этих уравнений. функцию , равную правой части равенства (2.75), получаем

	+	=		,
		функцию
то есть получили справа не нуль, анекоторую;			,…,
зависящую от и неизвестных коэффициентов				называ-
			. Эта функция; ,…,		,
ется невязкой для	. Очевидно, дляточногорешениязадачи (2.69),

(2.70) невязка равна нулю. Но у нас неточное решение и получили невязку, отличную от нуля. Чем меньше невязка, тем точнее решение. Поэтому нужно невязку минимизировать, т.е. сводить ее как можно ближе к нулю. Основная идея приближенного аналитического решения краевой задачи (2.69), (2.70) заключается в выборе таких коэффициентов , входящих в формулу для приближенного решения

, для которых невязка

нахождения

была бы в том или ином

смысле малой. При этом для

;

,…,

1,2,…, .

Система

,…,

(2.76)

(2.76) есть система

конечных уравнений с

неизвест-

ными

,…,

. Если эта система совместна, то, решив ее и под-

ставив

найденные значения в (2.75), получим приближенное ана-

литическое решение задачи (2.69), (2.70) в виде формулы

При этом естественно ожидать, что

→

.при m

, так

что чем больше , тем меньше погрешность

.→ ∞

Существуют следующие три метода получения|

системы|(2.76) для

нахождения коэффициентов

условия.

1. Коэффициенты

находим,…из,

минимума интеграла от

квадрата невязки

,…,

приводит, ,…к,

Условие минимума функции

системе

для определения

0,.

1,2,…,

Этот метод приближенного решения

задачи (2.69), (2.70)

называется методом наименьших квадратов.

,…,

2. Коэффициенты				находим из условия ортогональности на					не-
вязки	;	,…,	, ,	кфункциям	,	0,	,…,	, т.е. изусловия,
				,…,					(2.77)
Здесь имеем					d		1,2,…, .
			уравнений и неизвестных. Система (2.77) после

взятия большого числа интегралов приводится к системе линейных алгебраических уравнений с неизвестными , ,…, :

Решив	ее, получим		, а далее приближенное решение
из (2.75), где		заданные функции. Можно показать, что
		,…,		, а
при m	невязка будет ортогональной ко всем функциям
→ ∞

следовательно, она будет равна нулю вследствие полноты системы

функций			. Этот метод приближенного решения задачи (2.69),
(2.70) называется методом Галёркина.
3. Выберем произвольным образом m точек										в интер-
вале	,	a	x1	x2		xm	b и потребуем,,		чтобы только в
									,…,
этих точках,		невязка		,				равнялась нулю:
Этот метод			,		, ,…,		0,	1,2,…, .		(2.78)
				,	,…,
			приближенного решения задачи (2.69), (2.70) называ-

ется методом коллокации. В этом методе, как правило, используют

информацию о полосах, где у функции	имеются максимумы и
минимумы. И в этих полосах выбирают точки	(рис. 2.11).

Рис. 2.11. К выбору точек на интервале , в методе коллокации

2.15. Метод конечных разностей

Он относится к разностным методам решения. Разделим область

,на достаточно большое число n равных частей точками

1,2,…,

/ (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Выбор дискретных точек при методе конечных разностей

Решением задачи (2.69), (2.70) интересуемся только в выбранных дискретных точках . Применяя в этих точках разложение в ряд Тейлора, можно записать для и :

! ! !

…; (2.79)

. (2.80)

Вычитая из (2.79) выражение (2.80), напишем					в виде следую-
щего равенства:
						(2.81)
Складывая выражения (2.79) и (2.80), найдем.
				формулу для			:
Подставляя (2.81) и	(2.82) в формулу (2.69),.получим					(2.82)
					;
Система (2.83) есть система;						(2.83)

		линейных алгебраических.				уравнений
с п – 1 неизвестными	,	,…,	, таккак		1,2,…,		п– 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]