Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

	п(х)
где	п(х)			!				производной функции
где				!				производной функции
	– максимум модуля				1		-й	…	,
на отрезке		можно.			1
Эту формулу,		можно.		переписать в виде
			п(х)		!	\|ω		\|.

2.19. Интерполяционный многочлен Ньютона

Функции , из которых составляется интерполяционный многочлен Лагранжа, зависят от числа узлов интерполяции. Например, пусть нам по какой-то причине узлов не хватило. Хотели провести

интерполяцию при			, а придется брать		, т.е. нужно перехо-
дить к новому	количеству узлов интерполяции. На практике это не-
дить к новому		5		6

удобно, так как при введении дополнительных узлов все эти функ-

ции	необходимо заново пересчитывать.					,
Этим недостатком не обладает многочлен
			,	, ,… ,	,
			,	, ,… ,	,			(2.110)
где			…		,
	,	,	,	,	,		,	,… .
	,	,	,	,	,		,	,… .

Последние формулы называются разделенными разностями. Тогда разделенную разность 1-го порядка можно записать в виде

аразделенная разность 2-го порядка определяется через разделенную разность 1-го порядка

Для разделенной разности n-го порядка справедлива формула

,… ,

,…,

Разделенная разность n-го порядка – это аналог n-й производной. Эта формула (2.110) записана для неравноотстоящих узлов.

Многочлен (2.110) называется интерполяционным многочленом Ньютона. Если узлы интерполяции – равноотстоящие, т.е.

, где – шаг интерполяции, то формула (2.110) упрощается и принимает вид:

∆

(2.111)

где

∆

порядкафункции

вточке ;

– конечнаяразностьk-го

…

∆

–

∆

; ∆

∆ ∆

,…

, ∆

причем

∆

Из

(2.111)

следуют очевидные частные случаи:

при

∆

;

при

∆

ит.д.

Всилу единственности решения задачи интерполяции при помощи многочленов интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные по одним и тем же точкам, по существу являются

одним и тем же многочленом, но записанным в разных формах.

2.20. Метод наименьших квадратов

Выше было показано, что по заданным		узлам необходимо
найти кривую, проходящую в точности через	эти заданные точки.
найти кривую, проходящую в точности через	1

Уже при п = 5 технически трудно строить интерполяционный много-

член Лагранжа. Часто значения узлов				известны, а значе-
ния		известны приближенно,,	поскольку получены в ре-
			,…,
зультате, ,…,
	измерений и, следовательно, содержат случайные ошибки.

Сразу возникает сомнение: а надо ли добиваться, чтобы кривая в

точности бы проходила через узлы? Ведь		заданы по сути
с погрешностью, неизвестной нам. Поэтому,	естественно искать ана-
с погрешностью, неизвестной нам. Поэтому,	,…,

литическую зависимость в виде функции, график которой сглажива-

ет экспериментальные точки		Такие анали-
эмпирическими формулами.
тические зависимости называются , ,	0,1,2,…, .

Построение эмпирических формул осуществляется следующим образом. Исходя из геометрического положения экспериментальных

точек	, а иногда и из физических соображений выбирают тот
или иной	,общий вид	,
	φ , , ,… ,	,	(2.112)

эмпирической формулы, содержащей неопределенные параметры

,,…, .

Эмпирические формулы (2.112) могут иметь самый разнообразный характер. Например,

;	ln	;	;
	ln		.
	ln		.

Однако наиболее часто эмпирические формулы ищут в виде аппроксимирующего многочлена

					искомого многочлена;		(2.113)
где	или		; – степень		искомого многочлена;
где	или		; – степень			,
	– число	узлов.
	– число
Составляют функцию
где	– значения, ,…искомого,			многочлена в точках ;			– значе-
где	– значения, ,…искомого,			∑		,

нияфункции, заданныеэкспериментально илиприближенновузлах .

Неизвестные коэффициенты

,т….е.,

определяют из условия

минимума функции

сумма квадратов отклоне-

ний должна быть наименьшей, ,….

, ,…,

имеетвид

Необходимоеусловиеминимумафункции

2∑

;

2∑

;

(2.114)

2∑

Система (2.114) есть система			линейных алгебраических
уравнений с		неизвестными		Она обязательно
должна иметь	решение, причем единственное, так как функция по-
	1		, ,… , .

ложительна по построению, а следовательно, она ограничена снизу нулем, значит, производная всегда существует. Следовательно,

функция		имеет минимум. Для решения системы
(2.114) можно,	использовать формулы Крамера или метод исключе-
(2.114) можно,	,…,

ния неизвестных. Данный способ определения неизвестных парамет-

ров	, ,… ,	называется методом наименьших квадратов.
Подставив решение							системы (2.114) в (2.112) или
				эмпирическую формулу
(2.113), получим искомую ,					,…,				(2.115)
									(2.115)
График функции			(2.115) сглаживает данные экспериментальные
График функции				φ	,	, ,…,		.
точки		0,1,…,		,	что можно проиллюстрировать рис. 2.15.
Рассмотрим, ,		0,1,…,		,
		применение метода наименьших квадратов для слу-
чая, когда эмпирическая формула представлена в виде									. Сно-
ва составим сумму			,	:				.
			,					.

Рис. 2.15. Графическая иллюстрация сглаживания экспериментальных точек

Находим параметры	, из условия минимума функции		, :
0	2∑	∙ ;
0	2∑	.

Получили систему уравнений относительно и , но эта система значительно сложнее системы (2.114), так как эта система является

нелинейной относительно неизвестных параметров												,	.
	Пример. Пусть известны значения функции											,		в	узлах
(табл. 2.1).
														Таблица 2.1
					Экспериментальные данные

					1			2			3				4
					0			2			3				5
	Построим эмпирическую формулу вида (2.113) при													1,	3.
Имеем														1,	3.
	Следуя параболическому правилу, составим.										функцию
			,		∙1	3	0		∙4	∙2			2
	Воспользуемся∙3					3			∙4		5 .			функции
		,		необходимым				условием			минимума			функции
			0	0	2 2	2	2	3	3 3	4	5;		4 4
			0		2 2				3 3				4 4
					1				3
			0		2				3				4
			0		2				3				4
	Получили два			уравнения с двумя неизвестными. После приведе-
	Получили два			1	0	1	2	1	3	1	5.

ния подобных членов последняя система уравнений принимает вид

			30	10	33;
Подставив решение			10	4	10.	в (2.113) при	, по-
лучим искомую	эмпирическую формулу						1
лучим искомую				1,6;	1,5		1
Если бы нашли				1,6	1,5.
		эмпирическую формулу в виде многочлена т-го

порядка, то она совпала бы с интерполяционным многочленом Лагранжа в силу однозначности последнего. Кратко рассмотрим инте-

гральный метод наименьших квадратов. На отрезке , задана

непрерывная функция	Требуется аппроксимировать ее
приближенной функцией	(рис.	. 2.16).

Рис. 2.16. Аппроксимация непрерывной функции

на отрезке

Если функция

на отрезке

задана непрерывным образом,

то применим интегральный метод наименьших,

квадратов. Ищем ап-

проксимацию функции

в виде многочлена

Строим функцию

,…

виде

Величины

,… ,

определяем по методуdнаименьших.

квад-

ратов, т.е. из условия, ,…минимума,

функции

(2.116)

(2.116) есть система линейных алгебраи-

В нашем случае система0,

0,1,…, .

ческих уравнений

0,1,…, .

Решив 2её, найдем

Геомет-

аппроксимирующую функцию

рически это соответствует замене волнообразной функции

бо-

лее плавной функцией

Пример. Пусть

. Ищем на отрезке [0,1] аппроксимацию

√

в виде

Составим функцию				,	:	.
Тогда	,					√	d .

		0		2		√	d ;


			0	2		√	1d .

Взяв интегралы, получим систему линейных алгебраических уравнений

;

Решив ее, находим		,		. Отсюда имеем аппроксими-

рующую функцию (рис. 2.17)

Рис. 2.17. Иллюстрация аппроксимации функции	√

В данном методе требуется решать системы линейных алгебраических уравнений. Это неудобно, особенно, если m – велико, так как эти системы уравнений становятся очень трудноразрешимыми. Развитием интегрального метода является метод наименьших квадра-

тов с обобщенными многочленами. Согласно этому методу ищется аппроксимирующая функция в виде

Причем системаφфункций			φ		система		ортогональных
					есть	φ	.
функций на отрезке		, , т.е.	φ	d	0
при	, а при	φ
		интеграл не равен нулю.

Следуя методу наименьших квадратов, составляют квадратичную

функцию

,… ,

Значения коэффициентов

находят из

условия мини-

d .

мума функции

,…,

(2.117)

В силу

0,1,…,

все интегралы

ортогональности системы функций

в (2.117) равны нулю, кроме интеграла с

коэффициентом, совпадаю-

щим с

. В результате имеем

d .

Отсюда

Таким образом,

находим выражение,

для0,1,коэффициентов…, .

точном виде.

Коэффициенты

называют коэффициентами

обобщенного ряда Фурье, а функцию

– обобщенным рядом

Фурье. Подставив величины

в правую часть выражения для

, получим алгебраический многочлен, аппроксимирующий

функцию

в интервале ,

наилучшим образом.

2.21. Численное дифференцирование

Пусть в точках

функции

заданы значения

, ,…,

некоторой,

причем

Для

,…,


нахождения по этой информации производной			строят по точ-
кам	интерполяционный многочлен любого типа			,
а затем,	его дифференцируют	. Для этой цели будет
использоваться интерполяционный многочлен Лагранжа				. Оче-

видно, такое дифференцирование является приближенным. Чтобы оценить возникающую при этом погрешность, будем считать функ-

цию

заданной во всей области

и имеющей

-ю

производную в этой области. Тогда согласно,

(2.109) можно

записать

следующее точное равенство

.! ω

(2.118)

где

зависит неизвестным образом от

Формулуƺ

(2.118) можно расписать в виде

…

∑

…

получаем

Дифференцируя равенство (2.118),

…

ω .

Отсюдапри

имеем

сучетом, чтоω

…

где

(2.119)

…

(2.120)

Отбрасывая в (2.119) при

численном задании функции

ма-

…

лую величину

приходим к следующей приближенной формуле

численного дифференцированияп ,

(2.121)

определяется из равенства (2.120).

Погрешность этой формулы0,1,… , .

Пример. Требуется, используя соотношение (2.121), найти

точке при

1. Известно

соотношение

для которого справедлива оценка погрешности

ω .

Тогда можно записать

Отсюда

(2.120) равна.

Погрешность в точке

согласно

случай|

Рассмотрим подробнее1

|. Так как .

при остаточном члене, равном

2	!ƺ	,а
+			(2.122),
+
то из (2.121) и (2.122) в случае равноотстоящих узлов,
например для	, имеем
90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]