Прикладная математика. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

многочленов степени, меньшей или равной

непосредственно следует из выражения для

погрешности формулы

непосредственно следует из выражения для

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

	Рис. 2.22. Графики первых четырех многочленов Лежандра
При	все интегралы		справа	в равенстве	(2.140) в силу
(2.138) обращаются в нуль и, следовательно, при					имеем
		справедливо также и при			(2.141)
Соотношение (2.141)		справедливо также и при			. Чтобы в
Соотношение (2.141)			d	0.
этом убедиться, достаточно поменять местами и					в (2.140). Таким

образом, многочлены Лежандра являются ортогональными в интервале (0, 1) функциями. Многочлены Лежандра в силу их ортогональности используются для аппроксимации функций при помощи мето-

да наименьших квадратов. Пусть	непрерывная на			функ-
ция. Представим ее приближенно в виде линейной		комбинации мно-
ция. Представим ее приближенно в виде линейной			0,1
гочленов Лежандра	,
∑ α	,			(2.142)
				101

где коэффициенты α найдем методом наименьших квадратов, т.е. из условия минимума функции

Это дает		α ,α ,… ,α			α		d .
	2	α			d	0,	0,1,… , ,
откуда в
	силу свойства∑		ортогональности (2.141) многочленов Лежан-
дра имеем		α	d			d
или
		α		,	0,1,… , .		(2.143)

Подставив эти коэффициенты в правую часть формулы (2.142), найдем многочлен n-й степени, приближающий в смысле метода

наименьших квадратов функцию										лучшим способом.
Пример. Пусть							. Аппроксимируем ее на отрезке										,
Пример. Пусть							. Аппроксимируем ее на отрезке										,
используя формулу (2.142)					при					. По формуле (2.143) имеем
используя формулу (2.142)					√				1		2					0,1
Следовательно,		α			2	3;α			1		2	5.
		приближенно можно положить
√	α	α					2	∙1				2	1 2	4	4	.
√	α	α					2	∙1				2	1 2	4	4	.
	2.25.2.					3						5		5	15
			Квадратурная формула Гаусса
Построим квадратурную формулу вида
				коэффициенты								и узлы			(2.144)
где n – фиксировано, а				коэффициенты								и узлы		найдем из усло-
где n – фиксировано, а					d			∑					,

вия, чтобы формула (2.144) была точной для 2n функций вида

,1,2,… ,2 .

Это дает следующие 2n уравнений

∑

1,2,…,2 .

(2.145)

102

Система (2.145) есть система						алгебраических уравнений отно-
тему и		2	неизвестных	,	,…, ; ,			,…, .	Решив эту сис-
сительно					2
	подставив найденные значения						и	в (2.144), получим

квадратурную формулу, которая называется квадратурной форму-

лой Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса (2.144) точна для многочленов сте-

пени,	меньшей или			равной		степени		Действительно, пусть
∑	β		– многочлен			2	1.	2	1
имеем	d		∑	β		d		∑	β ∑
		=			β
Уравнения			∑	∑				∑		.
			системы (2.145) нелинейны относительно . Поэтому

обычные методы решения систем линейных алгебраических уравнений здесь не применимы.

Для решения системы (2.145) применимы многочлены Лежандра.

С этой целью умножим первое и последующие								уравнений системы
(2.145) соответственно на			1		,	где		0,1,2,…,	и полу-
ченные	1 уравнений
∑	1	сложим. В результате будем иметь [8]
				∑	∑		1		,

что по определению многочлена Лежандра n-й степени можно записать так:

Далее проделаем то же		самое со вторым и последующими урав-
		d	∑	.
нениями системы (2.145). В результате получим
Поступаем далее	аналогично. Наконец, проделывая то же самое с
		d	∑	.

n-м и последующими	уравнениями системы (2.145), будем иметь
Таким образом, из	системы (2.145) получена система				уравнений:
	d	∑	,	.
	d			1,2,…, .

103

В силу (2.138) левые части этих уравнений равны нулю и, следовательно,

Очевидно,

∑

1,2… , .

(2.146)

уравнения (2.146) будут удовлетворены при любых

если

выбрать корнями уравнения

Поэтому в качестве

узлов

квадратурной формулы Гаусса (2.144)0.берем корней урав-

нения

Подставляя в первые

уравнений системы (2.145)

вместо

значения

этих корней и вычисляя определенные инте-

гралы, получаем

;

(2.147)

уже линейных

.алгебраических

Система (2.147) есть система

уравнений относительно

неизвестных

. Решив

эту

систему, например методом исключения

неизвестных, найдем коэф-

,…,

фициенты

квадратурной формулы Гаусса (2.144).

Частные случаи

В этом случае единственный узел

находится из урав-

нения

1 2

, а система (2.147) вырождается в равенст-

во

имеет

вид

Таким образом, квадратурная формула Гаусса при

Это квадратурная формула точна для многочленов степени,

меньшей или равной 1			.		и	находятся из уравнения
2)	2.	В этом случае1узлы
			1 6		6	0.
Подставляя корни
				√		√


этого уравнения в систему				(2.147),,
					получим

104

√

1 ,

откуда

. Таким образом, квадратурная формула Гаусса

при

2 имеет вид

dформула

√

Эта

квадратурная

точна

для многочленов.

степени,

меньшей или равной

. Заметим, что формула трапеций (2.130)

при том же числе

узлов точна только для многочленов степени,

меньшей или равной 1

1 .

3)3. В этом случае имеем

d		0,1127017						0,8872983 .

Эта квадратурная формула точна для многочленов степени, меньшей или равной 5 5 . Заметим, что формула Симпсона (2.132)

при том же числе узлов при

Симпсона.

Общие замечания

Квадратурная формула Гаусса является самой точной квадратурной формулой среди формул, использующих то же число узлов. Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса являются иррациональными числами. Это есть основной недостаток квадратурной формулы Гаусса. Существуют таблицы с большим числом десятичных знаков для коэффициентов и узлов квадратурной формулы Гаусса.

Контрольные вопросы

1.Как осуществляется решение трансцендентных уравнений графическим методом?

2.Назовите два этапа приближенного нахождения корней уравне-

ния (2.1).

105

3.Что лежит в основе оценки погрешности корня через невязку?

4.Что понимается под плохо обусловленным уравнением?

5. Опишите метод итераций для уравнения

6.Какое соотношение должно выполняться для сходимости метода итераций?

7.Выведите формулу (2.11).

8.В каких случаях метод итераций оказывается непрактичным?

9. Опишите метод приведения уравнения	0	к виду	φ	,
удобному для итераций.	0		φ

10.Как оценивается погрешность метода итераций?

11.ОхарактеризуйтеиприведитеосновныеформулыметодаНьютона.

12.ПочемучастометодНьютонаназываетсяметодомкасательных?

13.Как производится оценка погрешности метода Ньютона?

14.Какой из методов: итераций или Ньютона – сходится быстрее? Поясните это.

15.Метод хорд, его идея и геометрическая интерпретация.

16.Проанализируйте погрешность метода хорд.

17.Как формулируется теорема о двухсторонней оценке погрешности корня? Придумайте примеры оценок на основе методов хорд и касательных.

18.Опишите применение метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

19.Формулы Виетта для решения алгебраических уравнений.

20.Метод Лобачевского для решения алгебраических уравнений.

21.Правило квадрирования корней в методе Лобачевского. Приведите пример.

22.Задача Коши и ее геометрический смысл.

23.Почему для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями применяются приближенные методы?

24.Опишите метод степенных рядов для решения задачи Коши.

25.Как применяется метод Эйлера для решения задачи Коши? Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

26.Охарактеризуйте методы Рунге–Кутты второго и четвертого порядков.

27.Дайте сравнительный анализ методов степенных рядов, Эйлера и Рунге–Кутты.

28.Почему метод Рунге–Кутты имеет второйпорядок точности, хотя

при разложении в двойной ряд Тейлора функции
мы пренебрегли членами второго порядка малости относительно,	?

106


29.		Найдите методом Эйлера решение задачи Коши ′′										′
ное	,	0	2,	′	0	1	для	0,1	и	0,2	и сравните получен-
	решение с решением, найденным методом степенных рядов.

30.Приведите постановку краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Дайте геометрическую трактовку краевой задачи.

31.Проанализируйте три случая краевой задачи (2.69), (2.70) на конкретном примере.

32.Дайте общую характеристику приближенных аналитических методов решения краевой задачи.

33.Опишите метод Галеркина. Приведите пример решения краевой задачи этим методом.

34.В чем состоит основная идея метода коллокаций?

35.Охарактеризуйте метод конечных разностей как численный метод решения краевой задачи.

	36. В каком случае системы уравнений (2.77), (2.78) и

=		будут линейными и, следовательно, для					нахождения ко-
	1,2,…,							0,
			,… ,	можно	использовать например			формулы
эффициентов
Крамера?
	37. Проделайте то же самое, что и в примерах на методы Галерки-
на и конечных разностей, но для					2и	3 соответственно.

38.Приведите постановку общей задачи интерполяции. Покажите её геометрическую интерпретацию.

39.В каких случаях применяется интерполяционная формула Лагранжа?

40.Дайте оценку погрешности многочлена Лагранжа.

41.Приведите основные формулы, определяющие интерполяционный многочлен Ньютона.

42.Объясните идею и дайте основные формулы точечного метода наименьших квадратов.

43.В чем состоит различие интегрального метода наименьших квадратов и метода наименьших квадратов с обобщенными многочленами?

44.По табл. 2.1 примера из разд. 2.20 постройте интерполяционные

многочлены

иубедитесь, что

, причем

45. Покажите, что

107

;		4	3	.

46. Выведите формулу

при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа.

47. Покажите, что погрешность локальной формулы трапеций определяется формулой

1		∙	η .

48.Выведите формулу (2.130), известную как квадратурная формула трапеций.

49.Выведите формулу Симпсона (2.132)

50.Как использовать квадратурную формулу Гаусса, если требу-

вычислить интеграл в пределах					,	,	а не		0,1	?
ется51. Решите интегральное уравнение					,	,			0,1
				3			1	при		1		1
				2			3			3		2
52. Представьте приближенноdфункции								и		на;		отрезке.
53. Проделайте то же самое, что и в задаче 52, для												,	0,1,2.
						Лежандра							0,1
ввиделинейнойкомбинациимногочленов sin									cos				0,1
		sec		0,1							приближения
функций	и		на отрезке			с помощью многочленов Ле-
жандра. tan

108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ совокупности научно-технических проблем, возникающих в процессе научных исследований и разработок, позволяет заметить, что большинство из них связано с постановкой и решением ряда сложных задач. В данном учебном пособии подробно рассмотрен целый ряд типовых задач, которые выдвинула практика научных исследований. Процедуры постановки и решения этих задач затрагивают целый ряд областей прикладного знания, в каждой из которых ведутся достаточно интенсивные исследования. Поскольку эти исследования немыслимы без применения математических методов и расчетов, без формализации моделей развития тех или иных систем и постановки оптимизационных задач при их разработке, в них, по существу, концентрируются и отражаются результаты изучения отдельных сторон исследуемых технических процессов, например, горнотехнологических, металлургических, военно-технических.

Учебное пособие отражает основное содержание учебной дисциплины «Прикладная математика». Основными задачами изучаемой дисциплины являются понимание студентами области применения методов прикладной математики; усвоение основных подходов к задачам прикладной математики; способность решать стандартные задачи, к которым могут быть применены методы прикладной математики. А в итоге студент должен уметь применять изученные методы для соответствующих задач и решать их практически с использованием современных программных продуктов.

На мой взгляд, предметом данной учебной дисциплины является область знаний о закономерностях преобразования исходной информации о состоянии и развитии технических объектов в информацию управления. Это позволит бакалаврам правильно ориентироваться в различных технических вопросах. Дисциплина «Прикладная математика» занимает одно из ключевых мест в системе профессиональных знаний бакалавров техники и технологии по направлению 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» и очень важна при изучении на старших курсах таких дисциплин, как «Системный анализ и исследование операций», «Теория принятий решений», «Моделирование систем», «Аналих рисков в управлении и проектировании», «Методы оптимизации».

109

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бахвалов Н.С. Численные методы : учеб. пособие для физ.-мат. специальностей вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков ; под общ. ред. Н.И. Тихонова. – 2-е изд. – М. : Физматлит : Лаб. базовых знаний; СПб. : Нев. диалект, 2002. – 630 с.

2.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М. : Физматлит, 2009. – 586 с.

3.Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – М. : Физматлит, 2007. – 494 с.

4.Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. –

М.: Физматлит, 1996. – 632 с.

5.Дьяконов В.С. Mathcad 2000 / В.С. Дьяконов. – СПб. : Питер, 2000. – 586 с.

6.Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных Уравнений / Л. Коллатц. – М. : ИИЛ, 1993. – 397 с.

7.Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений / А.М. Островский. – М. : ИИЛ, 1995. – 410 с.

8.Саульев В.К. Конспект лекций по вычислительной математике /

В.К. Саульев. – М. : МАИ, 1972. – 89 с.

9.Сборник задач по методам вычислений / Под ред. П.И. Монастырского. – М. : Наука, 1994. – 319 с.

10.Тыртышников Е.Е. Краткий курс численного анализа / Е.Е. Тыртышников. – М. : Наука, 1994. – 220 с.

11.Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики: Справ. / П.Ф. Фильчаков. – Киев : Наук. думка, 1987. – 794 с.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]