Прикладная математика. Учебное пособие

428;

324,

для которых функция

принимает наименьшее значение.

Для возможности применения симплекс-метода необходимо выразить первые т неизвестных через остальные. Здесь выгоднее последние неизвестные выразить через первые переменные , . Перепишем систему (1.62) в виде

ентов функции (1.63) выбираем наиболее отрицательный, т.е. наибольший по модулю. У нас это коэффициент при ; его берем в ка-

нужно при этом сделать свободной, определим ведущий коэффициент системы (1.64). Так как

min | | ,| | ,| | | | ,

то ведущим коэффициентом является коэффициент –3 в последнем уравнении системы (1.64) и, следовательно, базисную переменную

надо сделать свободной.

Разрешая последнее уравнение системы (1.64) относительно и исключая затем эту переменную из остальных уравнений системы (1.64) и целевой функции (1.63), находим:

31

то решение (1.71) является оптимальным для задачи (1.62), (1.63). Таким образом, допустимое оптимальное решение исходной задачи – это 7, 3, аmax 27.

1.6. Выбор допустимого базисного решения

Мы решили систему уравнений (1.41) относительно т неизвестных с помощью симплекс-метода при выполнении условий (1.46). В результате получили решение в виде (1.44). Теперь предположим,

нение этой системы уравнений со знаком плюс, и так далее и, нако-

то сразу находим неотрицательное базисное решение. Именно этот случай имел место в предыдущем примере.

Один или несколько коэффициентов «b» в системе уравнений

(1.41) могут быть отрицательными, например 0. Тогда надо умножить все соответствующее уравнение в (1.41) на (–1), а рассуждения повторить. Для выбора допустимого базисного решения посту-

Применяя шаг за шагом симплекс-метод Данцига, можно получить оптимальное допустимое решение. Минимальное значение функции (1.73) в точности равно нулю, когда каждая из ƺ в точности равна нулю, т.е.

33

равными нулю. Поэтому оптимальное допустимое решение имеет вид

Рассмотрим такой случай: минимум функции (1.73) может быть больше нуля. Покажем, что при этом допустимого базисного решения не существует. Доказательство проведем от противного. Пусть у системы (1.41) существует допустимое базисное решение, полученное с помощью минимизации функции (1.73). Сличим между собой системы уравнений (1.41) и (1.72). Смысл формулы (1.72): вычитание

зисное решение системы (1.41) будет допустимым базисным реше-

Контрольные вопросы

1.Как исходя из неравенства (1.22) определить необходимое число итераций для получения решения с заданной точностью?

2.Сколько допустимых решений получается при решении задачи линейного программирования в типичных случаях?

3.Найдите неотрицательные значения переменных x1 и x2, удовлетворяющие неравенствам

венствам

34

,0 .

6.Симплекс-методом решите задачу

2→ min

при ограничениях

3 2 12;

28 ;

2 3 6 ; , 0 .

7. Решите симплекс-методом задачу

4→ max

при ограничениях

4 8 0;

22 0 ;

8.Приведите примеры действий над матрицами.

9.Как находится обратная матрица?

10.Сформулируйте постановки двух основных задач линейной алгебры.

11.Каковы недостатки и преимущества известных Вам методов решения основных задач линейной алгебры? Сравните эти методы.

12.В чем состоит идея решения системы алгебраических уравнений методом обратной матрицы?

13.Охарактеризуйте и приведите формулы Крамера.

14.Опишите и объясните метод Гаусса.

15.В чем заключается метод простой итерации для линейных алгебраических систем?

16.Приведите достаточное условие сходимости метода простой итерации.

35

17.Что такое норма матрицы? Как она вычисляется?

18.Приведите решение второй основной задачи линейной алгебры.

19.Сформулируйте постановку основной задачи линейного программирования.

20.Как осуществляется сведение простых задач линейного программирования к каноническому виду?

21.Первый случай симплекс-метода Данцига, его смысл и основные формулы.

22.Идея и основные формулы второго случая симплекс-метода Данцига.

23.Третий случай симплекс-метода Данцига, его смысл и вывод основных формул.

24.Придумайте и решите конкретную задачу линейного программирования.

25.Дайте обоснование выбора допустимого базисного решения при b2 < 0 в системе уравнений (1.41).

26.Может ли целевая функция (1.73) иметь минимальное значение, большее нуля?

27.Почему минимум функции (1.73) должен быть равен нулю? Докажите это.

36

2. ЧИСЛЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

2.1. Решение трансцендентных уравнений

Уравнение вида

дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Чтобы найти решение уравнения (2.1), надо найти такую постоянную ƺ, которая будучи подставлена в (2.1), обратит его в равенство ƺ 0. Другими словами, это значит найти корни уравнения (2.1). Так как точные значения корней уравнения (2.1) в общем случае найти невозможно, то их находят приближенно, т.е. будут погрешности. Приближенное нахождение корней уравнения (2.1) обычно осу-

ществляется в два этапа.

1-й этап. Нахождение грубых значений корней.

корней уравнения (2.1) можно найти графически. С этой целью стро-

тать не будет, т.е. корни должны быть однократными.

37

Рис. 2.2. Иллюстрация графического метода

ƺ1 точный корень. Запишем уравнение в виде

2.2. Теорема об оценке погрешности корня через невязку

39

непрактичная, т.е. корень будет ближе к истинному, чем дает оценка (2.4). Это связано с тем обстоятельством, что при оценке погрешности в (2.4) делим на минимум производной функции . Для этого случая введено понятие плохо обусловленных уравнений. Если

сходимость решения плохая, а раз так, то и метод ведет себя плохо. А это означает, что ошибка велика, так как делим невязку на малую величину.

2.3. Метод итераций для уравнения

Возьмем приближенное значение корня

,, .

Организуем процесс решения в виде цепочки итераций:

Если этот процесс сходится, то он сходится к точному решению задачи (2.1). Действительно, если процесс (2.7) сходится, то

40