Прикладная математика. Учебное пособие

Эту систему можно записать в виде одного уравнения

Если матрица A – невырожденная, т.е. ее определитель

det

отличен от нуля, то, как выше было показано, существует обратная матрица A–1, которую можно определить по формуле (1.1).

Решить уравнение (1.3) означает нахождение такого вектора ξ , который будучи подставленным в уравнение (1.3) дает справедливое числовое равенство, т.е.

В этом и состоит первая задача линейной алгебры. Для её решения существуют прямые (точные) методы, когда за конечное число шагов точно находим решение задачи, а также итерационные методы, когда точное решение заведомо найти нельзя.

Воспользуемся методом обратной матрицы. Предположим, что матрица A–1 существует. Умножая слева на матрицу A–1 обе части равенства (1.3), получим

̅

или

12

Таким образом, если известна обратная матрица, то для нахождения решения системы уравнений (1.2) достаточно умножить обратную матрицу на столбец из свободных членов.

Формулой (1.5) целесообразно пользоваться в тех случаях, когда нужно решать систему много раз с одной и той же матрицей A, но

разными правыми частями . Если же нужно решить систему (1.2) только для одного набора величин , …, , и тем более, если требу-

ется найти не все значения неизвестных, а только некоторые из них, то практичнее использовать формулы Крамера, формула (1.5) применима для матриц не выше третьего порядка.

Для получения формул Крамера подставим (1.1) в (1.5). В результате получим

. (1.6)

Таким образом, Di равно значению определителя, получающегося из определителя D путем замены его i-го столбца столбцом из свободных членов. Например, D2 получается из D заменой его второго столбца столбцом из свободных членов.

13

Формулы (1.7) называются формулами Крамера. Из них следует,

множество решений (ранг системы равен рангу расширенной матри-

членов матрицы равен n. В этом случае система называется несовместной или противоречивой.

Наиболее часто для решения системы (1.2) используется метод Гаусса (метод последовательных исключений неизвестных). Это чисто интуитивный метод, который за минимум операций дает результат. Рассмотрим его.

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1.2) на a11,

Исключим теперь переменную x1 из всех остальных уравнений системы (1.2). Для этого умножим уравнение (1.8) на a21 и вычтем результат из второго уравнения системы (1.2) (2-й шаг метода Гаусса). Затем умножим уравнение (1.8) на a31 и вычтем результат из третьего уравнения системы (1.2) (3-й шаг метода Гаусса). Продолжая этот процесс, умножим, наконец, уравнение (1.8) на an1 и вычтем результат из последнего уравнения системы (1.2). После этих преобразований система (1.2) принимает вид

;

; (1.9)

.

Далее этот процесс повторяем: второе уравнение системы (1.9)

ременную x2 из всех уравнений системы (1.9), начиная с третьего. После n подобных шагов данная система (1.2) преобразуется в эквивалентную систему

14

;

; (1.10)

.

Систему (1.10) уже решить легко, так как ее матрица – треугольник. Пример. Решим систему (1.2) при n = 3. Тогда исходная система

примет вид

;

;

.

После первого шага метода Гаусса к исходной системе находим

. (1.11)

После второго шага получим

. (1.12)

После третьего шага имеем

. (1.13)

С помощью метода Гаусса перейдем к подсистеме из уравнений (1.12) и (1.13), в которой на одно уравнение и на одно неизвестное меньше, чем в исходной системе. Теперь делим уравнение (1.12) на

.В результате получим

где .

Уравнение (1.14) умножим на первый коэффициент при первом неизвестном в уравнении (1.13) и вычтем результат из уравнения (1.13). В итоге имеем

. (1.15)

Получили одно уравнение и одно неизвестное. Из (1.15) находим x3, затемиз(1.14) находимx2. Подставимих значенияв(1.11) инайдемx1.

Рассмотренные методы решения системы (1.12) относятся к точным методам, таккакзаконечноечислошаговполучаемточныйрезультат.

15

Кроме них существуют итерационные методы решения системы (1.12). В итерации с любой точностью можем приблизиться к результату с наперед заданной точностью. Но в итерационных методах не можем получить точный результат. Они просты, носят циклический характер (одни и те же операции, но на уже чуть-чуть измененных числах). Это методы – самоисправляющиеся. Если вкралась ошибка, то к решению все равно придем, но за большее число шагов.

Приведем систему (1.2) к виду, удобному для итераций, а именно: ̅ . Для этого запишем первое уравнение системы (1.2) в виде:

Второе уравнение системы (1.2) решаем относительно x2, получим

Продолжая этот процесс, наконец, решаем последнее уравнение системы (1.2) относительно xn, находим:

Система (1.16) называется пригодной для итерации. Далее берем некоторый произвольный вектор ̅(начальное приближение) и вычисляем величину

16

В системе (1.20)

max |ε | ε .

i

Переходя в системе (1.20) к модулям, имеем

Каждую строчку просуммируем по j и из всех сумм возьмем максимум:

ни бесконечность при 1, умноженному на ε . Следовательно, погрешность стремится к нулю, так как → 0 при 1 и → ∞. Теорема доказана.

Можно суммировать столбцы, нормы можно вводить неоднозначно, тогда формула вида

‖ ‖ max∑ i

сильнее. Поэтому, если хотя бы одна из норм по модулю меньше единицы, итерационный процесс будет сходиться. Можно записать

ε∙ε

18

Если норма окажется больше единицы, то это не означает, что итерационный процесс обязательно должен расходиться, так как может быть найдется норма меньше 1.

Можно показать, что для сходящегося метода итераций (1.17) при

Причем величина

̅̅

должна быть меньше заданной точности, например, 10 . Поэтому из (1.22) можно установить: сколько нужно итераций, чтобы достигнуть необходимой точности. Понятно, что чем меньше норма матри-

Требуется решить эту систему. Поэтому вторая основная задача линейной алгебры заключается в решении системы однородных линейных алгебраических уравнений:

19

т.е. нулевое решение. Но ̅– собственный вектор и не может быть равным нулю. Поэтому система (1.26) решения не имеет, т.е. собственные векторы не находятся, но ищем их, а они получились равными нулю. Поэтому ненулевое решение существует только при выполнении условия det λ 0. Следовательно, все 0. Тогда система имеет бесчисленное множество решений, а собственные векторы находятся неоднозначно. Полное решение системы (1.26) осуществляется в три этапа.

1-й этап. Это метод Крылова. Раскрывают определитель

λ…

λ… 0

……………………………

…λ

и, приведя подобные члены, получают алгебраическое уравнение n-й степени

Алгебраическое уравнение n-й степени относительно называет-

ся вековым (характеристическим) уравнением.

2-й этап. Решив каким-либо способом уравнение (1.27), находят его корни λ ,λ ,…,λ . Эти корни и являются искомыми собствен-

20