Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика. Решение задач с применением табличного процессора Excel. Учебное пособие
.pdf
2. Составить оптимальный план перевозок грузов от поставщиков к
потребителям, так чтобы суммарные транспортные затраты были минимальными, если запасы поставщиков составляют
,
ma
2
1
5150
,
mb
380
= 180 единиц груза, а заявки потребителей равны
a
3
,
mb
2
3120
3
,
mb
4200
4
1
единиц груза.
mb
530
ma
10100
Затраты на перевозку единицы груза от каждого поставщика к каждому
потребителю приведены в нижеследующей таблице:
2 3 4 1
3 3 6 2
3 2 4 5
3. Пусть имеется 4 грузоотправителя и 4 автомобиля, каждый из них
может обслужить любого грузоотправителя. Любому грузоотправителю
достаточно одного автомобиля. Известны также затраты на обслуживание
каждым автомобилем любого грузоотправителя. Требуется так распределить автомобили по грузоотправителям, чтобы суммарные транспортные
расходы перевозок были минимальными. Решить задачу венгерским методом и с помощью процедуры Поиск решения, если задана матрица затрат
на обслуживание
.1
c
ij
5598
3388
2736
3647
.2
8665
3576
2867
17118
.3
96510
1453
2865
57116
.4
9128
1639
27510
62811
,
.5
.9
96610
1559
3848
5737
.6
88410
1243
2365
54116
.7
8228
1635
4746
6884
.8
9678
1576
3864
57115
94710
1573
3765
58116
.10
9241
3847
2655
5494
.11
911128
1389
62610
86511
.12
6531
4746
2655
5984
81
3. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ОТКОСОВ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА
Земляное полотно относится к числу наиболее объемных, сложных и
разнообразных по своей конструкции элементов автомобильных дорог. К
одному из основных требований, предъявляемых к земляному полотну, относят обеспечение его прочности в целом и устойчивости отдельных его
элементов под многократным воздействием нагрузок от подвижного состава и природных факторов.
Основными элементами земляного полотна являются (рис.1): рабочий слой 1 – зона, ограниченная по высоте снизу глубиной, равной 2/3 глубины промерзания, но не менее 1,5 м, считая от верха покрытия; откосная
часть 2 – зоны, ограниченные с боков поверхностями откосов и вертикалями, проходящими через бровки насыпи, а снизу – основанием насыпи; основание насыпи 3 – зона, расположенная под насыпью в пределах естественной грунтовой толщи не менее ширины насыпи понизу. Мощность основания, учитываемая при проектировании, устанавливают в зависимости
от инженерно-геологических особенностей грунтового массива; ядро насыпи 4 – зона, расположенная ниже рабочего слоя и ограниченная снизу
основанием насыпи, а с боков – вертикалями, проходящими через бровки
насыпи.
Рис.1. Элементы земляного полотна: До–дорожная одежда; Об–
обочина; 1 – рабочий слой; 2 – откосная часть; 3 – основание
насыпи; 4 – ядро насыпи
3.1. Понятие устойчивости откосов насыпи и постановка задачи
Потеря общей устойчивости насыпей и выемок является одним из
наиболее распространенных видов деформаций земляного полотна автомобильных дорог.
Различают две схемы обрушения:
– если грунт земляного полотна однороден или отдельные его слои
мало отличаются по прочностным показателям, смещение оползающего
массива происходит по образующейся в грунте криволинейной поверхности скольжения;
– если грунт земляного полотна имеет неоднородные напластования,
резко различающиеся по прочностным показателям, смещение грунтового
массива может происходить по фиксированной поверхности между слоями.
82
Как показывают многочисленные наблюдения, откосы насыпей об-
рушиваются по поверхностям скольжения, близким по форме круглоцилиндрическим (рис.2). Обрушению откосов всегда предшествует появление вертикальной трещины обрушения (трещины Терцаги). В зависимости от свойства грунтового основания насыпи возможны два вида обрушения:
– при достаточно устойчивых грунтах основания поверхность обрушения обычно происходит через подошву откоса насыпи (рис.2a);
– в случае слабого грунтового основания поверхность обрушения
может заходить в пределы слабого слоя и распространяться за пределы подошвы откоса насыпи (рис.2б).
а б
Рис.2. Положение опасных кривых скольжения: a – при устойчи-
вых грунтах основания; б – при слабых грунтах основания;
L –
ck
расчетная длина скольжения
Общая устойчивость откоса насыпи оказывается обеспеченной лишь
в том случае, если сумма всех сил, сдвигающих массив обрушения, оказывается меньше суммы сил или их моментов, его удерживающих, т.е. при
расчетном коэффициенте устойчивости 1
K , который определяется как
p
отношение суммы сил удерживающих к сумме сил сдвигающих.
Однако учитывая некоторую погрешность методов расчета, исходных данных, неучет некоторых фактических условий работы и т.д., с инженерной точки зрения общая устойчивость откоса насыпи считается
обеспеченной, если расчетный коэффициент устойчивости оказывается
равным или больше нормативного коэффициента устойчивости. Расчетный
коэффициент устойчивости определяется по формуле:
n
i
1 1
n
/ ,
i
KTTK
Hciyip
где
K – нормативный коэффициент устойчивости,
H
ni
T
и
T
yi
ni
1
– сумма
ci
1
проекций сдвигающих и удерживающих сил на оси координат, n – количество расчетных отсеков, на которые делится массив обрушающегося
грунта земляного полотна.
Для сухих насыпей появление сдвигающих сил обусловлено собственным весом обрушающегося массива и временной нагрузкой от подвижного состава. Для периодически подтопляемых насыпей, например, на
подходах к мостам, возникает дополнительное гидродинамическое давле-
83
ние в результате давления и трения о поверхность грунтовых частиц воды,
tg
N
просачивающейся из водонасыщенной насыпи после падения уровней высоких вод на спаде паводка.
Сопротивление грунта сдвигу обусловливается силами трения и сцепления (связности). Прочностными (сдвиговыми) характеристиками грунта
являются удельное сцепление c (Па, Н/м2) и угол внутреннего трения
(градус). Сдвиговые характеристики c и определяются экспериментальным путем.
Физическая природа сил, удерживающих массив обрушения, заключается в наличии сил внутреннего трения грунта
и сцепления c,
где N – нормальная к отрезку скольжения сила. В общем случае земляное
полотно может быть представлено многослойной системой, характеризуемой наличием нескольких геологических слоев с различными физикомеханическими свойствами, например, объемным весом, силами внутреннего трения и сцепления. Для водонасыщенной насыпи один и тот же
грунт будет обладать различными физико-механическими показателями
выше и ниже кривой депрессии. Так, для грунта ниже уровня грунтовых
вод объемный вес определяют с учетом сил взвешивания, а сцепление
принимают меньшим, чем для грунта сухой части насыпи.
Оползающий массив разбивают на вертикальные отсеки. При автоматизированных расчетах обычно достаточно 10–20 отсеков. По горизонтали
проверяемый массив делят на несколько слоев, в соответствии с положением границ раздела геологических напластований. Для подтопляемых насыпей обязательно выделяют сухую и водонасыщенную части насыпи.
При этом отметку уровня грунтовых вод по оси насыпи принимают равной
расчетному уровню высокой воды,а угол наклона кривой депрессии (понижения) уровня грунтовых вод принимают в соответствии с табл.1.
Таблица 1
Гидравлические градиенты и углы депрессии
Наименование грунта Гидравлический градиент J Угол депрессии
Крупнообломочные
0,003 – 0,006 0,0015 – 0,003
грунты
Песчаные грунты 0,006 – 0,020 0,003 – 0,010
Супесчаные грунты 0,020 – 0,050 0,010 – 0,026
Суглинки 0,050 – 0,100 0,026 – 0,053
Глинистые грунты 0,100 – 0,150 0,053 – 0,081
Тяжелые глины 0,150 – 0,200 0,081 – 0,111
Торфяные грунты 0,020 –0,120 0,010 – 0,064
Следует иметь в виду, что пойменную насыпь, сложенную из практически водонепроницаемых грунтов, рассчитывают как обычную сухую
насыпь. С другой стороны, насыпи, возведенные из грунтов с высоким коэффициентом фильтрации, рассчитывают также без учета сил гидравличе-
84
ского давления, поскольку уровень грунтовых вод вследствие хорошей
/MkH
d
фильтрации успевает следовать понижающемуся уровню высокой воды в
реке. Однако расчеты общей устойчивости откосов в этом случае выполняют с учетом сил взвешивания для подтопленной части грунтового массива.
Пусть насыпь высотой H метров отсыпана из грунта со следующими
характеристиками:
– удельный вес грунта
,
g
3
;
– сцепление грунта c, кПа (Н/м2);
– угол внутреннего трения , градус.
В табл.2 приводятся физико-механические свойства некоторых типов грунтов.
Таблица 2
Физико-механические свойства грунтов
№ Тип грунта
1 Пески крупные и средней крупности 19,5 1 40,0
2 Супесь мягкопластичная 19,5 13 42,0
3 Суглинок полутвердый 19,2 28 23,5
4 Глина тугопластичная 18,5 43 16,0
,кН/м
g
3
С, кПа
, градус
В соответствии с [1] при расчете устойчивости откосов насыпи земляного полотна в качестве временной подвижной нагрузки принимают
нормативную нагрузку НК. Она представлена в виде одиночной четырехосной тележки с нагрузкой на каждую ось 18К (кН), где K– класс нагрузки, которая для расчетов земляного полотна автомобильных дорог всех категорий принимается равной 8,3 кН. Ширина колеи нормативной нагрузки
принимается равной 2,7 м, база нормативной нагрузки D равна 3,6 м.
При расчетах устойчивости откоса временная нагрузка от транспортного средства приводится к эквивалентному слою грунта земляного полотна толщиной
h м. Ее вычисляют по формуле:
p
K
h
p
184
dD
)8,0)(2,0(
3,8184
)8,07,2()2,06,3(
93,44
. (1)
ggg
Эквивалентный слой грунта располагается по всей ширине земляного
полотна. Вдоль земляного полотна эквивалентный слой грунта располагается на неограниченную длину.
Рассмотрим конструкцию поперечного профиля насыпи. Она может
иметь откос переменной крутизны, меняющейся через каждые 6 метров по
высоте, или постоянной крутизны, но с устройством берм через каждые 6
метров. Натурные наблюдения показали, что откосы насыпей обрушиваются по поверхностям, которые без существенных искажений могут быть
приняты как круглоцилиндрические. Для проверки устойчивости откосов
задаются положением ряда поверхностей скольжения и определяют коэф-
85
фициенты устойчивости сползающих частей откосов насыпи. Поверхность
)(AB
H5,
4
скольжения проводят через подошву откоса, не заглубляя ее в подстилающий грунт, если насыпь возведена на плотном основании. Если основание
под насыпью мягкое водонасыщенное и маловязкое )8(
0
, то должны
быть исследованы также кривые, захватывающие основание и выходящие
за подошву насыпи.
Задача оценки общей устойчивости откосов земляного полотна
сводится к отысканию центра критической кривой скольжения, характеризуемой наименьшим коэффициентом устойчивости. Ни один из
известных методов расчета общей устойчивости откосов не дает сразу
точного положения центра наиболее опасной кривой скольжения, который
может быть найден лишь методом последовательных приближений.
3.2. Алгоритм расчета коэффициента устойчивости
Наибольшим распространением в практике дорожных организаций
пользуется метод Терцаги-Феллениуса, в котором принято, что центры
кривых скольжения, соответствующих наименьшему коэффициенту устойчивости, располагаются вблизи от прямой линии
, называемой
прямой Феллениуса (рис.3).
Рис.3. Расчетная схема к определению центра окружности
для кривой обрушения
Для определения положения точки B (рис.3) откладываем вниз от
кромки откоса, устойчивость которого необходимо проверить, расстояние,
равное высоте насыпи H, затем по горизонтали, в сторону насыпи, расстояние
.
Для определения точки A (рис.3) ломаный откос насыпи заменяем
постоянным, соединяя бровку насыпи с кромкой ее подошвы. Из нижнего
конца спрямленного откоса проводим линию под углом
земляного полотна с учетом высоты
h от временной нагрузки – под углом
p
86
, а из бровки
к горизонту. Величины этих углов в зависимости от угла наклона откоса
h
2, h
3
nbh
/
AB
CD
E
AB
i
насыпи определяются из табл. 3. На пересечении этих линий получаем
точку A.
Таблица 3
Определение положения прямой Феллениуса
Угол наклона откоса
1 : 0,6 60
1 : 1 45
1 : 1,5 33040
1 : 2 26034
1 : 3 18026
1 : 4 14003
0
0
!
!
!
!
1 : 5 11019! 25 37
Углы, град. Коэффициент заложения откоса
29 40
28 37
26 35
25 35
25 35
25 36
Чтобы найти положение наиболее опасной кривой скольжения, намечают несколько возможных положений кривых скольжения. Например,
может быть намечено семейство кривых, проходящих через подошву откоса и выходящих на поверхность земляного полотна, на расстоянии h,
и т.д. от бровки насыпи, где
. Центром намеченной кривой
скольжения можно выбрать точку, расположенную на пересечении перпендикуляра, восстановленного из середины хорды, стягивающей концы
намеченной кривой скольжения, с прямой линией Феллениуса
.
Для определения положения центра кривой скольжения на поверхности земляного полотна отметим точку D (рис.3). Проведем хорду
стягивающую концы кривой скольжения, и отметим ее середину – точку
. Из точки E восстановим перпендикуляр, пересечение которого с пря-
мой Феллениуса
даст центр окружности O.
Для выбранной кривой скольжения определим коэффициент устойчивости. Разобьем отсеченный кривой скольжения участок земляного полотна вертикальными сечениями на ряд отсеков (рис.4) и для удобства
проведения расчетов составим табл. 4. В этой таблице введем следующие
обозначения:
по горизонтальной оси, начиная от точки C;
x – координаты точек, определяющих расположение отсеков
i
x – расстояние от середины
oi
отрезка кривой скольжения i-го отсека до вертикального радиуса.
Таблица 4
Расчетная таблица
Номер
отсека
1
x
x
i
sin
oi
cos
i
i
2
,м
i
l ,м iQ ,кН
i
N ,кН
i
T ,кН
yi
T ,кН
ci
,
87
– угол наклона отрезка кривой скольжения;
i
длина отрезка кривой скольжения;
резку скольжения сила;
T и
yi
Q – вес отсека; iN – нормальная к от-
i
T – удерживающие и сдвигающие отсек
ci
– площадь отсека;
i
l –
i
грунта касательные силы соответственно (рис.5).
Рис.4. Расчетная схема к определению параметров i-го отсека
Откос разобьем на отсеки шириной
та насыпи, угол – угол наклона откоса,
N/)(tg/Hhx
, где H – высо-
11
N – количество отсеков откос-
1
ной части. Тогда местоположение отсеков откосной части можно определить узлами
лами
N – количество отсеков насыпи. Тогда угол наклона
2
ii
ii
0 N,i,hxxx
. Насыпь также разобьем на отсеки уз-
111
NN,Ni,hxxx
, где
21121
N/bhx
, b – ширина насыпи,
22
отрезка кривой
i
скольжения к горизонтали в пределах i-го отсека определяется из соответствующего прямоугольного треугольника по формуле:
R/xsin
где 2
iiii
/)xx(xoxx
10
, R – радиус кривой скольжения, xo и yo –
, (2)
ioi
координаты центра кривой скольжения (точки O).
Рис.5. Действующие на отсек грунта силы
Внося значения
расстояний
x , отмеряемых влево от вертикального радиуса, и со знаком
oi
sin в таблицу, принимаем их со знаком минус для
i
плюс – вправо. Площадь живого сечения
определяется как площадь
i
трапеции, т.к. участки кривых в пределах каждого отсека заменяем прямыми отрезками. Для отсеков, на которые действует временная нагрузка, добавляется еще и площадь соответствующего участка эквивалентного слоя
грунта.
88
Определяем вес каждого отсека, умножая площадь сечения на удель-
ный вес грунта:
Q
. (3)
igii
Длина отрезка скольжения в пределах i-го отсека вычисляется по
формуле:
xxl
cos)(
1
. (4)
iiii
Вычисляем нормальную к отрезку скольжения силу:
QN
(5)
cos
iii
и касательную силу, сдвигающую отсек грунта:
QT
sin
. (6)
iici
Удерживающая отсек грунта сила определяется по закону Кулона.
Сопротивление связных грунтов сдвигу есть функция первой степени от
нормального давления, состоит из двух слагаемых: сопротивления трению, прямопропорциональное давлению и сцепления, не зависящего от
нормального давления:
lctgNT
. (7)
iiyi
Далее вычисляется коэффициент устойчивости по формуле:
где
устойчивости
NNn
– количество всех отсеков грунта. Расчетный коэффициент
21
K сравниваем с нормативным значением коэффициента
p
n
i
1 1
n
, (8)
TTK
/
ciyip
i
устойчивости.
Нормативный коэффициент устойчивости
где
K – коэффициент, учитывающий степень достоверности данных о ха-
1
рактеристиках грунтов;
роги;
K – коэффициент, учитывающий степень ущерба для народного хо-
3
зяйства в случае аварии сооружения;
K – коэффициент, учитывающий категорию до-
2
K – коэффициент, учитывающий
4
K определяется так:
H
KKKKKKK
,
MH
54321
соответствие расчетной схемы естественным инженерно-геологическим
условиям;
оружении;
та. Нормативный коэффициент может меняться в пределах от 1 до 1,5.
K – коэффициент, учитывающий вид грунта и его работу в со-
5
K – коэффициент, учитывающий особенности метода расче-
M
Таблица 5
Значения коэффициентов, определяющих нормативный коэффициент
Коэф.
K
K
Значение Условия
1 при большом количестве испытаний грунта
1
2
1,05 при испытании не менее 5 образцов грунта
1,1 при испытании не менее 3 образцов грунта
1,03 для дорог I и II категорий
1 для дорог III – V категорий
89
если разрушение представляет опасность для движения либо вызы-
H
b
c
0433
26
X
O
B
)(CA
)(FA
вает перерыв движения более чем на сутки
если нарушение устойчивости вызывает снижение скорости движения или нарушает работу водоотводных устройств
плоскость ослабления грунтового массива ясно выражена и грунт
однороден
K
K
K
K
1,2
3
1
1,05 если расчет ведется методом попыток
4
5
M
1
1,03 для песчаных грунтов
1,05 для глинистых грунтов
1 при расчетах устойчивости откосов методом Терцаги и Шахунянца
0,8 при расчетах устойчивости откосов методом Маслова-Берера
3.3. Пример расчета устойчивости откосов насыпи с применением
Пример. Насыпь высотой
крупного песка с удельным весом
электронных таблиц Excel
6 м и шириной
19,5 кН/м3. Удельное сцепление
g
10 м отсыпана из
грунта
1 кПа, угол внутреннего трения
40,0 градус (табл.2). Опре-
делить устойчивость откосов насыпи, если угол наклона откоса составля-
0
ет
. В расчетах следует учесть временную нагрузку от машин.
Приведем порядок расчетов:
1) При расчетах устойчивости откоса временная нагрузка от транспортного средства приводится к эквивалентному слою грунта земляного
полотна толщиной
h м. Далее для определения координат прямой Феллениуса, зная
3,2
p
угол наклона откоса 0433
и . Значения этих углов равны:
h м. Согласно ГОСТу [1] по формуле (1) значение
p
0
, по справочной табл. 3 определяем углы
0
,
0
35
. Определяются входные
параметры, используемые углы переводятся в радианы, и вся входная ин-
формация вводится в электронную таблицу Excel (рис.6), которая составляется для расчета устойчивости откосов земляного полотна.
2) Чтобы вычислить расчетное значение коэффициента устойчивости
K , необходимо определить центр кривой скольжения. Для опреде-
p
ления центра кривой скольжения рассмотрим расчетную схему на рис.3.
Вначале определим положение прямой линии Феллениуса. Рассмотрим
прямоугольную систему координат, начало которой совместим с кромкой
левого откоса, на рис.3 точка C, ось
отложим по горизонтали в сторону насыпи. Прямая линия Феллениуса проходит через точку A и точку B.
Определим координаты этих точек. Точка
Hx
b
5,4 ; Hy
b
, где H – высота насыпи. Координаты точки A оп-
имеет координаты
ределяются из решения системы как координаты точки пересечения двух
прямых
и
:
,)(
xtgy
aa
90
,)()(
yxxtgy
ffaa
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]