Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
1.5. -
41
например, часто в качестве таких условий принимают условие Борна − Кармана, обладающее свойствами цикличности.
Для использования таких граничных условий представим кристалл
в виде большого параллелепипеда с ребрами N
1
, N
2
, N
3
, причем
N1, N2, N3 представляют собой большие числа, определяющие границы ос-
новного кристалла, , ,
представляют собой базисные основные век-
торы трансляций.
При этом должно выполняться основное условие Борна − Кармана,
которое определяется к требованию, чтобы ВОТ на векторы N
i
(i = 1, 2, 3)
должны быть равны трансляционному оператору на нулевой вектор, т.е.:
. (1.82)
Это условие предполагает тот факт, что основной кристалл граничит
с бесконечным количеством таких же самых кристаллов и при этом трансляции любого элемента основного кристалла, согласно векторам N
1
,
N
2
, N
3
, будут переносить (транслировать) его проекцию в такую же
аналогичную эквивалентную точку другого элементарного кристалла.
В качестве примера можно привести граничные условия Борна −
Кармана применительно для линейно-расположенной цепочки атомов, которые в случае сворачивания её в кольцо обеспечит совпадения местоположения N1-атома с первым атомом.
Если считать, что основной кристалл имеет число N = N1 N2 N3 базовых элементарным ячеек, то объём такого кристалла V = Nv. Местоположе-
ние базовых ячеек в основном кристалле будет определяться при использо-
вании трансляционных векторов
решетки
, которая будет иметь N зна-
чений. Следовательно, получается N-мерная группа трансляций, состоящая
из N числа операторов.
Поскольку все элементы этой группа одномерны и имеют неприводимые представления (абелева группа), то можно говорить о том, что все
собственные значения ВОТ не вырождены.
Чтобы определить значения собственных функций ψ(и собствен-
ные значения соответствующих им операторов трансляций
, необходимо
решить обобщенное уравнение
ψ(
ψ((1.83)
42
Тогда трансляционный оператор
будет осуществлять преобразо-
вание в + . А собственные функции ψ( будут изменяться в соот-
ветствии с равенством
ψ( ψ(
ψ( (1.84)
Следовательно, обобщенное уравнение (1.83) может быть представ-
лено как
ψ(
ψ( (1.85)
После нормировки функции ψ( в объёме V кристалла и примене-
ния соотношения
ψ(
ψ(
, (1.86)
которое получаем из рассмотрения кристаллической трансляционной симметрии, получим
ψ
, (1.87)
где
– вещественный вектор, который имеет размерность обратно-пропор-
циональную длине.
Отсюда получаем, что собственные значения
, а также собствен-
ные функции ψ
трансляционного оператора могут зависеть от выше-
указанного вещественного вектора
:
ψ
ψ
(1.88)
Видно, что волновые векторы и
зависят друг от друга через –
произвольный вектор обратной решетки кристалла:
(1.89)
вследствие связи = 2 (n = ±1, ±2, ..). Векторы и
эквивалентны по
отношению к собственному значению
оператора трансляции.
Следовательно, неэквивалентные значения вектора
могут быть распо-
ложены только в одной из базовых элементарных ячеек обратной решетки.
Чаще всего в качестве такой элементарной ячейки выбирают центр
(первую зону Бриллюэна), где = 0. Выбор этой точки обусловлен тем, что
зона Бриллюэна определяет в кристалле свойства симметрии.
1.5. -
43
Следовательно, зона Бриллюэна k-пространства определяет собственные функции, значения самого оператора трансляции и значения са-
мого волнового вектора
. Эти волновые вектора ещё называются приве-
денными векторами.
Расчёт допустимых величин таких векторов
можно выполнить при
учёте граничных условий, имеющих цикличный вид, и операторы трансляций должны иметь собственные значения согласно соотношениям:
ψ
ψ
ψ
. (1.90)
В справедливости этого соотношения можно убедиться в предполо-
жении
= 2πij, тогда удовлетворяются соотношения (1.90) при условии
. (1.91)
В этих выражениях
представляет собой базовые векторы обрат-
ной решетки, а ni = {0, ±1, ±2} – абсолютные значения множества целых
чисел. При этом данные параметры должны обеспечивать условия рас-
положения всех значений
внутри первой зоны Бриллюэна, когда
– π < ≤ , i = {1, 2, 3}.
Cоотношение (1.91) будет определять количество N всех значений
.
Причем, каждое из них будет соответствовать определенной группе транс-
ляций. Между соседними значениями
вдоль векторной оси элементарных
векторов
будет иметься участок с расстоянием ∆
= ∆
/
. С ростом
.
наблюдается уменьшение ∆
.
В единице объема
-пространства будет находиться Nv/(2π)3 различ-
ных волновых векторов и значению волнового вектора соответствует ми-
нимальный объём ∆
[∆
, ∆
] = (2π)3/Nv. Поэтому при больших значе-
ниях N можно полагать квазинепрерывным вид спектра величин базового
волнового вектора. Это даёт возможность заменить сумму по векторам
,
находящимся в первой зоне Бриллюэна, интегральным выражением по объёму первой зоны Бриллюэна:
(1.92)
44
Таким образом, приведенный волновой вектор
определяет вели-
чины действия оператора трансляции
на вектор решетки. В свободном
пространстве, в отличии от кристаллической структуры, имеется множество
вариантов для изменения свободного пространства на бесконечно малый
вектор . Оператор бесконечно малого смещения можно записать как
ψ( ψ(
ψ(.
Аналогично, оператор смещения на некий конечный вектор =
может быть получен за счёт использования бесконечно малых
смещений:
.
В случаях, когда состояние функции ψ
(определяется конкрет-
ным значением импульса , будет иметь место соответствие выполнения
равенства
ψ(
ψ
=
ψ
=
).
Таким образом, получено, что оператор трансляции в свободном
пространстве имеет собственное значение, определяемое в соответствии со
связанным импульсом волнового вектора
. Поэтому важным параметром
в кристалле, наряду с волновым вектором , является квазиимпульс . Его
отличие от обычного классического определения импульса заключается в
следующих особенностях:
− квазиимпульс может иметь множество дискретных величин в объ-
ёме кристалла, имеющего конечный размер, поэтому его действия нельзя
описать в операторной форме как дифференциальный оператор импульса;
− поскольку вектора и = + в кристалле эквивалентны, то ква-
зиимпульс определяется с точностью до следующего значения: = +
, где представляет собой вектор обратной решетки;
− к квазиимпульсу в кристалле применим закон сохранения:
∆p =
, (1.93)
(параметр иногда представляют как общий импульс, воздействующий
на всю решётку):
1.5. -
45
− для сколь угодно больших величин квазиимпульса будет выпол-
няться соотношение = 2π/ ||= 2π /|| (для случая свободного простран-
ства). В случае кристаллической структуры данное соотношение имеет место только для >2a.
Ранее было показано, что кристаллическая структура в стационар-
ном состоянии обладает собственной энергией и имеет состояние, описы-
ваемое в операторном виде как оператора Гамильтона
. Вследствие транс-
ляционной симметрии оператор
коммутирует с оператором трансля-
ции
, т.е. [,
]= 0. Следовательно, собственные функции оператора
трансляции могут иметь конкретное значения одновременно с собственными функциями оператора Гамильтониана [1, 3, 10].
Отсюда можно сделать вывод, что эти операторные функции могут
быть разделены по каким-либо представлениям группы трансляций, зави-
сящих от величины приведенного волнового вектора
, когда выполняются
равенства
ψ
ψ
ψ
ψ
. (1.94)
Параметр n (номер квантового числа), определяет энергию стационар-
ного состояния. Когда этот параметр имеет конкретную величину, энергия
принимает N значений, имеющих квазинепрерывную природу. Мно-
жество N этих значений называется энергетической зоной или полосой.
В случае когда N будет стремиться к бесконечности, то значение
функции будет принимать непрерывные величины. Множество энергетических зон в своей совокупности представляют собой при раз-
ных величинах n-зонную структуру кристалла.
Из равенства векторов и (+ ) следует уравнение
. (1.95)
Благодаря этому соотношению можно распространить действие
функции , найденное для значений
в первой зоне Бриллюэна на всё
k-пространство. Полученная функция является периодической функ-
цией, у которой периоды совпадают с векторами
, которые совпадают с
векторами основных трансляций в обратной решетке.
46
2. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ ФОНОННОГО ТИПА
В ОБЪЁМЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
2.1. Фононные колебания в кристаллических решетках
молекулярного и ковалентного видов
Основной причиной колебаний элементов (ионов) кристаллических
решеток является их тепловое движение относительно равновесных положений. Эти колебания компенсируются силами химической связи, которые
являются определяющими для твёрдых тел и которые определяют их упругость, распространение акустических волн и сжимаемость кристаллических структур.
Природа возникновения квазичастиц − фононов, которые являются
квантами поля колебательных движений и возбуждений кристаллической
структуры, лежит в передаче тепловой энергии одному из ионов решётки,
которая быстро распространяется на весь её объем за счёт ионного взаимодействия. Следовательно, единственное локальное колебание одного иона
вызовет совокупное коллективное колебание всех ионов решетки с выделением фононов [3, 7−9].
В случае рассмотрения ковалентных и молекулярных кристаллов ко-
лебания будут распространятся на базовые элементы кристаллических
структур − молекулы и атомы. В случае рассмотрения ионных кристаллов
очевидно, что такие колебания будут осуществляться для базовых составляющих частиц – ионов, что будет порождать появление электромагнитного поля внутри такой кристаллической структуры. Следовательно, теория квантово-механического движения внутри ионного кристалла имеет
более громоздкий вид и требует тщательного рассмотрения.
Рассмотрим первый вид кристаллических структур – ковалентных и
молекулярных кристаллов.
В качестве основного примера рассмотрим одномерный кристалл,
который состоит из атомов с массой m, положение равновесия этих атомов
в одномерном представлении будет характеризоваться согласно соответ-
ствующих векторов решетки = n
, n = 1 … N.
Рассмотрение будем вести в предположении независимости продольных и поперечных колебательных смещений атомов в ячейке. Если ввести
47
параметр n, как одно из смещений для атома, находящегося в узле n, то кинетическая энергия такого смещения определяется соотношением
, (2.1)
где
n
– скорость смещения.
На рис. 2.1 приведена одномерная структура такой упругой цепочки
атомов (а), что может характеризовать n как параметр, относящийся к эквивалентной упругой струне (б).
m
n
n+1
x
xn
xn+1
n+1
n
(x,t)
Рис. 2.1. Линейная цепочка атомов (); эквивалентная упругая струна ()
Если рассматривать потенциальную энергию U =n), то для смещений нейтральных атомов из равновесного состояния необходимо брать
в расчёт взаимодействия рядом стоящих атомов.
В случае гармонического приближения колебаний малой величины,
можно получить соотношение
U =
, (2.2)
где [кГс2] представляет собой постоянное число (константу), характеризующее упругое взаимодействие.
Если ввести условия цикличности в виде соотношения =
, то
можно заключить, что рассматриваемая одномерная кристаллическая решетка будет эквивалентна объёму зоны Бриллюэна, которая имеет границы
48
− < ≤ π в соответствующем
-пространстве. При этом в объёме дан-
ной зоны Бриллюэна имеются N неравных (неэквивалентных) волновых
векторов
=
α =
α, где = 0, ±1, ... ± N/2.
Перейдём к замене вышеуказанных атомных смещений
некото-
рыми обобщенными координатами
, определяющими обобщенные сов-
местные колебания атомов, которые будут определяться значениями вол-
новых векторов
.
Чтобы смещение
являлось вещественным числом необходимо вы-
полнение условия [3]
. (2.3)
Кроме того, необходимо, чтобы выполнялись равенства:
=
или
=
.
Соотношение (2.3) предусматривает выполнение операций суммирования для всех значений волновых векторов, которые будут соответствовать данному приближению.
При этом применяют следующие равенства:
(2.4)
Параметры
и
– приращения волнового вектора и его узлового
положения.
Эти соотношения могут быть записаны относительно дельта-функций в обобщённом интегральном виде:
.
Вышеуказанное преобразование для обобщённых координат
( →
) в (2.3) дают выполнение следующих уравнений:
,
(2.5)
Что касается соотношения (2.1) и (2.5), то эти собственные кинетические и потенциальные энергии самого кристалла могут быть записаны
49
через обобщенные координаты
и их производные по времени в виде
уравнений:
. (2.6)
При этом = (
) = 4
sin
2
(
/2).
Разница между этими энергиями записывается в виде функции Ла-
гранжа:
. (2.7)
Для таких коллективных координат
вводится параметр
=
= ∂L/∂
– совокупность обобщенных импульсов. Для таких пара-
метров
и
существует функция Гамильтона:
, (2.8)
которая позволяет выполнить формальный переход для квантования всей
структуры за счёт замены этих параметров (
) операторами (
),
что будет соответствовать следующим перестановкам:
. (2.9)
Для такого операторного представления можно получить оператор
Гамильтона (вместо функции Гамильтона):
. (2.10)
Гамильтониан (2.10) является недиагональным и не представляет
всю структуру в виде множества гармонических квантовых осцилляторов,
поскольку в нем имеются разные члены, зависящие от и
. Поэтому,
чтобы операторное соотношение (2.10) являлось бы диагональным относи-
тельно операторов
и
, используют соотношения
, (2.11)
что характеризует переход к новым операторам
.
Эти операторы должны обладать свойствами перестановочности со-
гласно соотношений:
. (2.12)
50
Эти новые операторы (2.11) называются операторами Бозе, кото-
рые могут быть записаны через операторы
в составе оператора Га-
мильтона:
. (2.13)
Очевидно, что полученный оператор Гамильтона (2.13),
обладает диагональной структуризацией, т.е. содержит элементы
диагональной матрицы, описывающие энергии квантовых состояний всей
структуры. Эти энергии найдены для различных значений для множества
волновых векторов
.
Для физического понимания этих новых операторов нужно знать, что
они работают в функциональном пространстве |
…
> (здесь вводятся
обозначения: «|» − «бре» и «>» − «кет» (от слова «брекет» − «скобка»); так
обозначается квантово-волновой функциональный вектор состояния [16],
который будет введен ниже), параметры которых зависят от числовых вели-
чин заполнения
(
= 0, 1, 2, 3...) соответствующих квантовых состояний,
определяемых в зависимости от значений волновых векторов
.
Введем обозначение |
>= |0, ...,
, .0 >, отображающее функцио-
нальную зависимость для заданного квантового k-го состояния с количеством соответствующих квазичастиц n.
В этом случае для воздействия на функции |
> операторов
и
должны выполняться условия
,
. (2.14)
При этом условие нормировки для функции |
> записывается в
виде равенства <
|
> =
. Из этого условия видно, что оператор
будет увеличивать количество квазичастиц
на одну, а оператор
уменьшает это количество также на одну, что происходит только для со-
стояний системы, в которых действуют эти операторы |
>.
Отсюда следует, что можно записать:
,
(2.15)
Следовательно, оператор
будет определяться как опера-
тор количества бозонов, имеющих состояние
, а базовое стационарное
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]