Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
4.7.
161
При дальнейшем росте температуры до выполнения условия нера-
венства
, (4.103)
подкоренная сумма (4.101) может быть разложена в ряд Тейлора, что в первом приближении даст
(4.104)
После проведения операции натурального логарифмирования над
обеими частями (4.103) и подстановки результата в (4.104), можно убедиться в справедливости неравенства
(4.105)
Это неравенство подтверждает ранее сделанный вывод о том, что с
ростом температуры уровень химического потенциала будет опускаться до
донорных уровней и все донорные атомы будут ионизированы.
Дальнейшее увеличение температуры будет приводить к тому, что
будет возрастать количество электронов, перешедших из валентной зоны в
зону проводимости и значение химического потенциала нужно определять
из равенства (4.98). В какой-то момент число этих электронов будет значительно превышать число электронов, попавших в зону проводимости с примесных уровней. Тогда вклад последних в проводимость при таких температурах становится незначительным. При этом уровень химического потенциала будет приближаться к середине запрещённой зоны (как в чистом
беспримесном полупроводнике):
(4.106)
На рис. 4.11 приведена зонная диаграмма, иллюстрирующая каче-
ственное изменение уровня химического потенциала с ростом температуры
в n-полупроводниках.
Можно провести аналогичные выводы для акцепторных полупро-
водников p- типа. При определении уровня химического потенциала для
этих структур и зависимости его от температуры, необходимо учитывать,
что в этом случае нужно по методу, изложенному выше, применять коли-
чество
акцепторных уровней в области − g + a, т.е. в зоне, располо-
162
женной на энергетическом расстоянии a << g от верхней границы (потолка) валентной зоны.
0
0
−∆
−∆/2
Рис. 4.11. Эскиз зонной энергетической диаграммы в полупроводниках n-типа,
показывающий температурную изменчивость положения уровня химического
потенциала
При низких температурах ( 0 К) будет иметь место зависимость об-
разования электронной проводимости только за счёт образования новых дырок в валентной зоне, химический потенциал которых определяется как [3]:
(4.107)
При 0 область расположения уровня химического потенциала бу-
дет находиться посередине между нижней границей (потолком) валентной
зоны и областью расположения валентных зон. При возрастании температуры, как и в ранее рассмотренном случае n- полупроводников, для структур
p- типа вклад электронов на акцепторные энергетические уровни будет становиться всё менее значимыми, поскольку они уже являются почти полностью заполненными. В данном случае только процессы перехода электронов
при температурах, когда акцепторные уровни будут почти полностью заполнены электронами на акцепторных уровнях и при переходе электронов из валентной зоны в зону проводимости, её пополнение будет происходить
именно за счёт только этого механизма. В этом случае имеет место полное
совпадение уровня химического потенциала p-полупроводника и уровня химического потенциала чистого нелегированного полупроводника [6].
Рассмотрим роль вклада электронной компоненты в общую теплоёмкость металлов. Начало этих рассмотрений нужно проводить при температурах, которые гораздо ниже температуры Дебая. Кроме того, при
4.7.
163
температурах, соответствующих уровням Ферми, теплоёмкость металлов
будет складываться из двух слагаемых:
(4.108)
где первое слагаемое представляет собой вклад электронов проводимости
в общую теплоёмкость, а второе слагаемое – вклад в неё колебаний решётки ( и − константы, применимые для конкретных металлов). В случае идеального электронного газа, теплоёмкость, определяемая согласно
(4.81), эти параметры могут быть найдены как =
и, согласно при-
ближению Дебая, второй параметр как
=
.
Приближение идеального электронного газа, которое предполагает
выполнение равенства (4.81), =
, и которое предполагает в Дебаев-
ском приближении (2.81) равенство =
. Ранее было показано, что
электронная часть теплоёмкости (первое слагаемое в (4.108)) линейно зависит от температуры и этот член вносит наибольший вклад при низких
температурах вблизи абсолютного нуля.
Из экспериментальных зависимостей CV(T) получено аппроксимаци-
онное соотношение CV/T = f (T 2):
(4.109)
Видно, что прикладное удобство этого линейного соотношения за-
ключается в том, что экспериментальные точки расположены на прямой
линии с крутизной относительно оси температур при их малом значении
(квазилинейное приближение). Точка пересечения продолжения этой
прямой с осью ординат даст возможность найти величину параметра ,
откуда вычисляется реальное значение CV. Пример такого экспериментально выявленного линейного графика CV/T = f (T 2) для калия (К) приведён на рис. 4.12 [3, 4].
По такому методу были определены параметры для одного моля
вещества некоторых металлов, что отражено в табл. 4.1. В табл. 4.1 приве-
164
дены дебаевские температуры TD, найденные по экспериментально измеренным параметрам .
3,0
2,5
2,0
0,1 0,2 0,3
C/T, /-
C/T=2,08+2,57
,()
Рис. 4.12. График CV/T = f (T 2), построенный на экспериментальных данных для
калия (данные получены в результате адиабатического размагничивания [3])
Некоторые экспериментально определённые значения параметров
относительно-нормированной эффективной массы m*/m в уравнении
для электронной теплоёмкости некоторых металлов Сel = T
Металл РЬ
Na K Ag
Cu
Fe
α
m/m
2,98
1,97
1,38
1,26
2,08
1,25
0,646
1,00
0,695
1,38
4,98
Металл Вe
Mg
Zn
Au
Al
Sn
α
m/m
0,17
0,34
1,3
1,3
0,64
0,85
0,729
1,14
1,35
1,48
1,78
1,26
В этой таблице также приведены отношения для относительнонормированной эффективной массы некоторых металлов. Это определяет
отношение эффективной массы электрона m* к величине его табличного
значения, соответствующего электронной массе m на дне зоны проводимости при нулевой абсолютной температуре. Это отношение определяют
из соотношения
(4.110)
где
teor
и
exp
– теоретическое и экспериментальное значения параметра
в аппроксимации (4.109).
Экспериментальный параметр
exp
, найденный для определения теп-
лоёмкости CV, даёт отличительные данные от значения теплоёмкости, рассчитываемой по (4.81) для свободных электронов с допустимой погреш-
4.7.
165
ностью [3]. Соотношение (4.110) должно быть равно единице, но это равен-
ство не выполняется, поскольку для расчётного параметра
teor
использу-
ется величина энергии Ферми:
F
1/m, откуда следует, что
teor
m. По-
этому в табл. 4.1 приведены также экспериментальные значения (4.110) для
разных материалов [4].
Можно перечислить эффекты, согласно которым (4.110) не равно 1:
1) взаимодействие электронов зоны проводимости с потенциалами
узловых решёточных ионов, имеющими периодическое распределение;
2) перенормировка электронной эффективной массы за счёт поляри-
тонных эффектов электрон-фононного взаимодействия (этот механизм рассматривается во второй части настоящего пособия);
3) межэлектронное остаточное взаимодействие электронов зоны про-
водимости, которое не было учтено при рассмотрении одноэлектронных
состояний [4−6].
Соотношение (4.110) будет использовано далее для моделирования
термодинамических процессов с учётом электронного газа.
166
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной первой части учебного пособия, на основе геометрических
и кинетических особенностей кристаллических структур различных твердотельных кристаллов и их энергетических параметров, рассмотрены базовые квантово-механические положения, лежащие в основе основных процессов взаимодействия квазичастиц разных типов друг с другом в объёмах
кристаллических структур.
Дальнейшее рассмотрение определения параметров проводимости
твердотельных кристаллов и её частотной зависимости основано на поведении эффективной массы электронов, дрейфовых скоростей и квазиимпульсов, с точки зрения их состояний, учтенных при помощи вышеизложенных методов, при помощи методов с различными приближениями.
Все эти понятия будут использованы в выводах и конечных соотношениях, которые будут получены и проанализированы во второй части
учебного пособия.
167
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1
1. Записать основные соотношения неопределённости Гейзенберга.
2. В чем заключается эффект корпускулярно-волнового дуализма?
3. Дать определение и записать уравнения для основных оператор-
ных функций.
4. Дать определение понятию волновой функции.
5. Дать определение постоянной решётки, фазовой и групповой ско-
ростей.
6. Дать определение и объяснить смысл функциональных свойств
оператора Гамильтона (Гамильтониана).
7. Что такое одноэлектронное приближение?
8. Как применяется метод трансляционной симметрии в представле-
нии зон Бриллюэна?
9. Какие свойства имеют самосопряженные операторы?
10. Что такое вырожденный кристалл?
11. Дать определения основным типам связей атомов в твердых телах.
12. Что представляет собой ячейка Вигнера − Зейтца?
13. Объяснить природу сил Ван-дер-Ваальса в молекулярных кри-
сталлах.
14. Определить и охарактеризовать собственные значения и функции
оператора трансляции.
15. Дать определение понятию квазиимпульса и его свойств, исполь-
зуемых в энергетических соотношениях.
16. Какие следствия будут иметь место при применении метода транс-
ляционной симметрии в кристаллах?
17. Перечислить свойства стационарных энергетических состояний
кристалла, которые будут иметь место при трансляционной симметрии.
2
1. Объяснить дисперсионную зависимость акустических фононов в
рамках длинноволнового приближения.
2. Объяснить функциональную зависимость от волнового вектора ча-
стот акустического фонона.
168
3. Объяснить влияние количества атомов в элементарной ячейке и
размерности системы от энергетического спектра фононов.
4. Обосновать понятие «оптических ветвей колебаний решетки».
5. Перечислить базовые принципы фононного взаимодействия в
твердых телах и объяснить, какие свойства твердотельных кристаллов
сильно зависимы от такого взаимодействия.
6. В чём заключаются особенности фононного спектра в кристаллах,
состоящих из ионов, и объяснить его отличие от кристаллов ковалентного
и молекулярного типов?
7. В чем заключается понятие поляритона?
8. Записать соотношение диэлектрической проницаемости ионного
кристалла как частотную зависимость от атомных оптических колебаний.
9. В каком диапазоне частот возможно отрицательное значение ди-
электрической проницаемости ионного кристалла?
3
1. Объяснить суть понятия плазмонов и указать каким твердотель-
ным структурам свойственна возможность возникновения плазменных колебаний?
2. В чём заключается основной закон дисперсии для плазмонов?
3. Дать характеристику области возникновения и существования
плазмонов.
4. Привести пример типичных значений энергий плазмонов.
5. Дать объяснение образованию газа Ферми в описании электрон-
ных свойств структур металлов и полупроводников.
6. В чём заключается длинноволновое приближение при описании
плазменных колебаний?
4
1. Перечислить базовые приближения одноэлектронной кристалли-
ческой ячейки.
2. Пояснить функциональные преимущества функций Блоха при за-
дании волновых функций электронов в кристаллах.
3. Дать определение эффективной массы квазичастицы и охарактери-
зовать этот параметр с точки зрения применимости в кинетической теории
твёрдых тел.
169
4. Дать определения основным базовым видам изоэнергетических
поверхностей для электронов.
5. Дать определение понятию принципа приближения почти свобод-
ных электронов.
6. Изобразить структуру зонной диаграммы электронного спектра в
приближении почти свободных электронов.
7. В каких случаях при описании электронных свойств можно приме-
нять приближение почти свободных электронов и приближение сильной
связи? Применимы ли эти приближения для металлов?
8. В чём заключаются основополагающие принципы теории вторич-
ного квантования в электронных подсистемах твердых телах? Перечислить
преимущества этой теории перед координатным представлением.
9. В чём заключаются базовые понятия о дырочной проводимости,
используемой в энергетическом представлении твердых телах?
10. Изобразить энергетические связи для различных типов твердых
тел в сопоставлении с их зонными структурами.
11. Дать определение полуметаллов. Их основные зонные характери-
стики.
12. Дать определение плотности электронных состояний. Показать функ-
циональную зависимость этого параметра от энергии в следующих приближениях: сильной связи, почти свободных электронов и эффективной массы.
13. Перечислить и дать определения функциям распределения, кото-
рые определяют основные энергетические и статистические свойства квазичастиц в электронах в различных твердотельных структурах.
14. В чём заключается зависимость в объёмах структуры металла его
теплоемкости от температуры?
15. Какие температуры являются определяющими при рассмотрении
роли электронов в теплоемкость кристалла и чем отличается этот вклад от
вклада фононных колебаний?
170
ПРИЛОЖЕНИЕ
(справочные данные)
Квантовые операторы − символические изображения математиче-
ских операций преобразования величин в квантовой теории [16].
Согласно основным постулатам квантовой механики, каждой физической величине, описываемой в классической механике функцией координат и импульсов F(x,y,z,px,py,pz), ставится в соответствие линейный опе-
ратор ), действующий на волновую функцию (x,y,z,t). Под опе-
ратором
понимается правило, по которому одной функции (x,y,z,t) пе-
ременных x, y, z, t сопоставляется другая функция (x,y,z,t) тех же переменных [1, 2, 10]:
(x,y,z,t) = (x,y,z,t).
При этом оператор может означать дифференцирование по какой-
либо переменной: = = , т.е.
= ∂/∂x.
При построении операторов используется принцип − между опера-
торами, описывающими частицы в квантовой механике, имеют место те же
соотношения, что и между их аналогами в классической механике [1].
В качестве примера можно рассмотреть связь оператора полной
энергии с операторами кинетической и потенциальной энергии
:
+
.
Рассмотрим основные операторы, применяемые в квантовой меха-
нике [16].
− Оператор координаты равен самой координате x, т.е. сводится
к умножению на эту переменную: = x.
− Операторами проекций импульсов являются операторы:
= (/i)(x), = (/i)(y), = (/i)(z).
Остальные операторы могут быть построены, используя операторы
координат и импульсов и простое правило, которое выполняется в большинстве случаев: в квантовой механике операторы физических величин
выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике [2, 10, 16].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]