Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

Решение.

∞

sin k

Исследуемый ряд имеет вид

=1 akbk, где ak =

√

, bk = arctg k·

k2 + 1

arctg3 2k.

1

kP

kP

∞

Ряд

ak сходится по признаку Дирихле (см. решение примера

=1

2.23, учитываем

√

↓ 0, k → ∞). Последовательность {bk},

k2 + 1

очевидно монотонна (так как монотонна функция y

= arctg x)

ограничена (0 < bk <

π

4

поскольку 0 < arctg x <

π

для x > 0).

2

2

По признаку Абеля исследуемый

ряд сходится.

|ck sin k| > ck sin2 k = ck

2

− 2 cos 2k

=

1

1

Сходимость ряда

ck cos 2k и расходимость ряда

ck (дока-

k=1

k=1

ниже) дают расходимость ряда

P

зательство приводимP

2ck −

2ck cos 2k

k=1

∞

1

1

X

k 1 + k12

·

k 2

→ ∞

1

arctg3 2k

1

π

4

ck =

q

π

π

arctg k

, k

(использовано arctg k →

,

arctg2k →

,

k → ∞).

2

2

Ряд

∞

∞

cos 2k

X

X

√

arctg k · arctg3 2k

ck cos 2k =

k=1

1 + k2

k=1

сходится по признаку Абеля. Так как ряд

∞

∞

cos 2k

X

X

√

ck cos 2k =

1 + k2

k=1

k=1

X

(−1)k

∞

ek LN2(k+3)

cos k.

k=1

ln2(k + 4)

eαk

cos k

αk + o¯(αk)

cos k =

+

cos k.

ln2(k + 4)

ln2(k + 4)

ln2(k + 4)

сти рядов

∞

cos k

∞

αk + o¯(αk)

X

и

X

cos k,

ln2

k=1

ln2(k + 4)

k=1

(k + 4)

первый из которых сходится по признаку Дирихле

cos k

6

sin 1 , n = 1, 2 . . . ;

ln2(k + 4)

↓ 0, k → ∞! ,

n

X

1

1

2

k=1

а сходимость

(абсолютная) второго следует из соотношений

ln2(k + 4)

ln2(k + 4)

ln2(k + 4)

αk + o¯(αk) cos k

6 |αk + o¯(αk)|

|αk|

=

=

1

1

.

k ln2(k + 3) ln2(k + 4)

(k + 3) ln4(k + 3)

1

1

1

1

(использовано:

и

, k → ∞)

k

k + 3

ln(k + 4)

ln(k + 3)

ln2(k + 4)

|cos k| > ln2(k + 4) cos2 k = ln2(k + 4)

2

+ 2 cos 2k

=

eαk

eαk

eαk

1

1

1 eαk

1 eαk

=

+

cos 2k.

2 ln2(k + 4)

2

ln2(k + 4)

Отсюда, поскольку ряд

∞

eαk

X

k=1

2 ln2(k + 4)

+

2 ln2(k + 4) cos 2k

∞

1

eαk

1

eαk

X

и, по теореме сравнения, расходимость ряда, составленного из

модулей членов исходного.

Исследуемый ряд сходится условно.

∞

eαk

Использованная в доказательстве расходимость ряда

=1 ln2(k + 4)

становится очевидной, если заметить, что

kP

eαk

1

1

1

>

, k → ∞.

ln2(k + 4)

ln2(k + 4)

k + 4

k

номеров и верна оценка

1

1

>

.

ln2(k + 4)

k + 4

Исследовать на сходимость ряд.

181.

kP

k

∞

(−1)k

=1

√

∞

k

k2 + 1

182.

kP

(−1) k3

+ k2

−

3k + 2

=1

183.

∞

(−1)

k

arcsin

k4

=1

k5 + 7k3 k2

k + 5

−

−

kP

184.

∞

(−1)k2

=1

k2 + k

kP

kP

πk

π

185.

∞ cos

sin

arctg (1 + (2k + 1)!!)

=1

3

3k

∞

2k sin k + k2

186.

kP

=1

k!

187.

kP

(k +

k) ln(k + 1)

∞

(−1)k−1

=1

√

188.

∞

(−1)k+1

kP

=1 (k + 3) ln(k + 4) ln ln(k + 10) ln ln ln(k + 100)

kP

sin k

189.

∞

=2 (k + 2) ln2 k

∞

cos k7

190.

kP

=1 (k + 5) ln(k + 6) ln ln(k + 99) ln2 ln ln(k + 999)

191.

∞

(−1)k−1

kP

=1 (k + 1) ln(k + 2) ln(k + 3)

∞

k cos

2π

k

192.

3

=1

k2 + 1

kP

∞

(−1)k√

193.

k

=1

k2 + cos k

kP

194.

∞

sin π6 k

=1 ln3(k + 2)

kP

k(k+1)

∞

(−1)kk + √k + (−1)

195.

2

=1

k2 + k

−

1

kP

196.

∞

cos πk2

3

=1 √k3 + sin k

kP

∞ √

197.

4k + k

(−1)

k

(k − 1)!

=1

(2k)!!

kP

198.

k=1

√k9

3

∞

(−1)kk + 1

P

P

8

1

∞

199.

k=1 cos k ln 1 +

k2

∞

(

1)k

P

200.

k=1 ln 1 +

−k

kP

(−1)k

201.

∞ sin

=1

kk

P

π

∞

202.

k=4 sin πk + arcsin

k

P

πk2 + arccos

π

∞

203.

k=1 cos

√

k

kP

k ln (k

+ 1)

204.

∞ tg

√

(−1)k−1

=1

2

2

∞

k

2k + k

205.

kP

(−1)

arctg

2kk

=1

kP

(−1)k

206.

∞

=1 ln5(k + 1)

k √

∞

k2 + 1

207.

kP

( 1)

3

=1 −

√k6 + 1

P

1

∞

208.

k=1(−1)k 1 − cos

k

P

1

3π

∞

209.

k=1

ek

− 1 sin

4

k

s

−

k=1

k

P

√k + 1

π

210.

∞

√

e

2√

sin

4

k

k

3

P

1

5π

∞

211.

k=1

2

√

k

− 1 cos

4

k

∞

k4 + k2 + 1

P

212.

k=1 r

k8 + k4 + 1

cos k2

P

k(k+1)

r

k + 2

213.

∞

k=1(−1)

2

k4 + 1

∞

k2 + k + 1

214.

kP

(−1)k−1 ln

k2

=1

kP

k(k−1)

1

215.

∞

(−1)

tg

=1

2

k ln(k + 1)

∞

√

1

kP

k

216.

sin

k · sin

√

=1

P p

− k2

∞

217.

k=1

k4 + (−1)k

218.

k=1 rk + sin 4 k − √k

P

π

∞

kP

cos √

∞

− cos √

223.

=1

k3 + 1

k3 − 1

kP

224.

∞

3

3

=1

arctg sin √k2

+ 1 − sin √k2 − 1

225.

∞

(−1)kk + 1

=1

k2

kP

kP

226.

∞ sin π√

k2 + 1

=1

P

r

∞

π

− √arctg k

227.

k=1(−1)k−1

2