Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2.6 Положительные ряды. Практические задачи.

∞ k 3k + k3 + 2

122.

√

k=1

∞ k5

5k + k5 + 1

123.

LN(k+2)

k=1

√

k + ln k

124.

∞ ln(k + 1)

√

k + 1

125. P∞

k=1

126. P∞

k=1

127. P∞

k=1

128. P∞

k=1

129. P∞

k=1

130. P∞

k=1

2k + k + 1 k + 2 k 5k + 3

7k + k + 2 k + 3 k 2k + 3

lnk(k + 1) 3k − 3k+1
		1	1	k
lnk(1 + 5k2 ) ek − ek+1
		1	1	k
kk	e2√k − e2√k+1		k
	1	1	k

k ln 1 + k1 k2

2 Числовые ряды.

131.

∞

k=1

k arctg k

!k2

132.

∞

1 +

− k

∞

133.

k arcsin

k=1

134.

k=1

k ek

− 1

∞

135.

k tg

k=1

136.

∞

3k (arctg(k + 1)! − arctg k!)

∞

5k + k + 1

137.

arctg

2k + k2 + 1

138.

∞

+ k3 + k!

2k + k + k!

∞

√

k+2

139.

2√LN k ·

√k+1

2.6 Положительные ряды. Практические задачи.

∞

ln(k + 1)

140.

√

ln(k+1)

141.

∞ k55log3 22k−log2 3k

k + 2

∞

142.

k + 1

· ln−3(k + 2)

∞

143.

k=1

ek − 1 ln−1(k + 1)

arctg(√

+ 1) − arctg √

∞

144.

k=1

ln−2(k + 3)

145.

k=1 sin 2√k + 1 − sin 2√k ln−2(k + 7)

∞

146. P∞

k=1

147. P∞

k=1

148. P∞

k=1

k ln(k + 1) ln ln(k + 3)

(k + 3) ln(k + 1) ln2 ln(k + 5)

ln kk+7+6

ln(k + 5) ln3 ln(k + 7)

2 Числовые ряды.

149.

∞ ln

ln(k + 5)

ln(k + 4)

ln(k + 7)

∞

150.

ln(k + 6)

· ln−2(k + 9)

151.

∞

3 + ln(k + 9)

k + 3 2 + ln(k + 7)

∞

1 5 + ln2(k + 9)

152.

=1 k + 5

2 + ln2(k + 7)

∞

153.

k=1 k 1 − k sin

− 1

154.

k=1 1 − √k sin e√k

∞

155.

k=1

1 − k sin ln 1 + k

∞

1 − k ln

k + 2

156.

k=1

k + 1

∞

157.

k=1

1 − k sin

k + 1

2.6 Положительные ряды. Практические задачи.

∞

158.

k=1

√k 1 − k sin k + 1

∞

159.

√k ln(k + 1)

k=1

1 − k sin k + 1

∞

160.

√

1 +

− 1

161.

∞

k + 2

− 1

√

k + 1

162.

k=1 1 − √k e√k+1 − 1

∞

163.

∞

1 − √k arctg

√

k=1

+ 1

1 − k arctg

164.

∞

k=1 ln(k + 1)

k + 1

1 − k sin

ln−2(k + 5)

165.

∞

k=1

k + 1

166.

k=1 1 − √k e√k+1 − 1 ln−1(k + 4)

∞

2 Числовые ряды.

167.

k=1 1

− √k e√k+1 − 1 ln−2(k + 4)

∞

− √k arctg

∞

168.

√

ln−

(k + 6)

k=1

− √k arctg

∞

169.

√

ln−

(k + 6)

k=1

∞

√k+2

ln(k + 7)

170.

− √k ln √

k=1

− √k ln

√k+2

∞

171.

√

ln−

(k + 7)

k=1

− √k arcsin

172.

∞

ln(k + 1)

√

k=1

− √k arcsin

∞

173.

√

ln−

(k + 9)

k=1

174.

∞

ln2(k + 5) − ln2(k + 4)

=1 ln

(k + 7)

175.

∞

ln2(k + 7) − ln2(k + 6)

=1 ln

(k + 8)

2.7Ряды с произвольными членами. Практические задачи.

176.P∞ pln(k + 5) − pln(k + 4)

k=1


	P p			p
177.	∞					ln−1(k + 6)
177.	k=1	ln(k + 5) −			ln(k + 4)	ln−1(k + 6)
178.	k=1 1 − cos		2√k + 1rcos √k + 1				ln−1(k + 5)
	P		1	1
	∞		1	1

179. P∞

k=1

180. P∞

k=1

1 − cos			1		cos	2	ln−2(k + 7)

		k + 1				k + 1
	√k −			√k + 1
	1			1		2
sin	4		sin	4		ln−3(k + 5)
	4			4

2.7 Ряды с произвольными членами.

Практические задачи.

В этом разделе разбираются и предлагаются для самостоятельного решения, в основном, задачи на исследование на сходимость знакопеременных (то есть содержащих бесконечное число как отрицательных так и положительных членов) числовых рядов. Простым примером является знакочередующийся ряд

X∞

(−1)k−1ak = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)k−1ak + . . . ,

k=1

bk sin αk,

2 Числовые ряды.

ak > 0, k = 1, 2, . . . .

Если последовательность {ak} не возрастает и lim ak = 0, он схо-

k→∞

дится (признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда см.

2.10).

P∞

Отметим, что при исследовании на сходимость рядов вида

k=1

P∞

bk cos αk оказываются полезными оценки

k=1

n			1			n	cos αk		1
	sin αk	6	1		,			6	1

			sin	α					sin	α
k=1				2		k=1				2
X						X

α =6 2kπ, k = 0, ±1, . . . .

Часто используется следующее простое утверждение: если один

	P	P	P
	∞	∞	∞
из рядов	ak,	bk сходится, а другой расходится, то ряд	(ak +
bk)).	k=1	k=1	k=1
bk)).			kP
			∞
bk) расходящийся (если оба они сходятся, то сходится и ряд			(ak +
			=1

В приводимых ниже примерах требуется исследовать ряд на сходимость, в случае сходимости предлагается (кроме примера 2.23) дополнительно выяснить является сходимость абсолютной или услов-

ной.

Пример 2.15

k=1

−√k− 1 + (−√k− .

1)k 1

∞ (

Решение.

1)k

(

Представим

−√

−

1 +

−√

−

в виде суммы

−√

−

. Так

2.7 Ряды с произвольными членами. Практические задачи.

1				kP	∞k 1		∞ 1
как знакочередующийся ряд					√	сходится по признаку Лейб-
				∞ (−1)k−1
				=1	P		P
ница (поскольку	√		↓ 0), а ряд			расходится (ряд вида
					k=1 k		k=1 kp
		k

при p = 1), то исследуемый ряд расходится. При этом очевидное соотношение

−√k−

1 +

(−√k−

−√k−

, k → ∞,

(

1)k

(

1)k

показывает, что на знакопеременные ряды теорема сравнения не распространяется.

Пример 2.16

∞

(−1)k−1 .

k=1 k ln(k + 3)

Решение.

∞

Ряд имеет вид k=1(−1)k−1ak, где ak =

и поскольку, оче-

k ln(k + 3)

видно, ak

то он сходится по признаку Лейбница.

↓

Для выяснения характера сходимости исследуем ряд

∞

|(−1)k−1ak| =

ak.

k=1

Очевидно

k → ∞ .

ak (k + 3) ln(k + 3) = bk, k → ∞ так как k k + 3,

∞

Ряд k=1 bk имеет вид k=1 f(k), где f(x) =

(x + 3) ln(x + 3)

− неот-

рицательная и неубывающая в промежутке [1, +

∞

) функция. Зна-

∞

чит, по интегральному признаку Коши-Маклорена ряд

bk схо-

дится или расходится одновременно с интегралом

2 Числовые ряды.		Z1
Z1	(x + 3) ln(x + 3) =	Z1	ln(x + 3) ,
+∞	dx	+∞	d ln(x + 3)

который заменой t = ln(x + 3) приводится к расходящемуся

интегралу

+∞

lnZ4

Следовательно, ряд

∞

bk, а значит и ряд ak (так как ak

bk, k

k=1

→ ∞

) расходится.P

Исследуемый ряд сходится условно.

Пример 2.17

∞

− arctg k .

(−1)k−1

k=1

Решение.

∞

Ряд имеет вид

(−1)k−1ak,

− arctg k > 0, k = 1, 2, . . . .

kPπ

Так как arctg k

↑

, то ak =

− arctg k ↓ 0, следовательно, по

признаку Лейбница он сходится. Выясним характер сходимости, для чего рассмотрим ряд

		∞		∞
		X		X
		\|(−1)k−1ak\| =				ak.
		k=1		k=1
Для натуральных “k” справедливы неравенства 0 < ak <								π	(так

								2
	π		−	π		π
как 0 < arctg k <		). Значит, ak			,		и, поскольку
как 0 < arctg k <	2	). Значит, ak		2	,	2	и, поскольку

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]