Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и степенные ряды. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

541 Кб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Т.Н. Т и т о в а

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Учебное пособие

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по направлению 270100 «Строительство»

М о с к в а 2010

УДК 517.5

Титова Т.Н. Числовые и степенные ряды. Учебное пособие

/ Моск. гос. строит. ун-т. - М.: МГСУ, 2010.- 72 с.

Пособие содержит основы теории числовых и степенных рядов, в том числе рядов Тейлора и Маклорена. Материал излагается подробно, разобрано много примеров.

Пособие предназначено для студентов 2 курса, обучающихся по направлению 270100 «Строительство».

Научный редактор:

канд. физ.-мат. наук, проф. М.А. Беляева

Р е ц е н з е н т ы:

ведущий научный сотрудник Математического института им. В.А.Стеклова РАН, докт. физ.-мат. наук О.К. Шейнман,

научный сотрудник лаборатории «Разностные методы» фак-та ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова,

канд. физ.-мат. наук Т.Я. Ершова

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

Еще в курсе средней школы приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых ( например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии). Такого рода суммы, называемые рядами, изучаются в настоящем пособии. Ряды имеют разнообразные практические применения.

1.1. Основные определения

Определение 1. Пусть задана бесконечная последователь-

ность чисел	u1, u2, ... , un, .... Составленное из этих чисел
выражение	∞
	∞
	u1 +u2 +... +un +... = ∑un
	n=1

называется числовым рядом. Числа u1 ,u2 ,..., un ,... называются

членами ряда, n-й член ряда un называется общим членом ря-

да.

Определение 2. Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Sn = u1 +u2 +... +un.

Рассмотрим частичные суммы

S1 = u1, S2 = u1 +u2 ,..., Sn = u1 +u2 +... +un ,...

Они образуют последовательность.

Определение 3. Если существует конечный предел последова-

тельности частичных сумм ряда при n → ∞:	lim Sn = S,
	n→∞

то его называют суммой ряда, а ряд называют сходящимся. Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называют расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии:

∞

∑aqn−1 = a +aq +aq2 +... +aqn−1 +...,

n=1

a − первый член ряда

(a ≠ 0),

q - знаменатель прогрессии,

n-я частичная сумма находится по формуле при

q ≠1:

Sn =

a(1 − qn )

1 − q

Если

| q |<1,

то

lim qn

= 0,

n→∞

lim Sn = lim

a(1 − qn )

= S,

ряд сходится.

1 − q

− q

n→∞

Если

| q |>1,

то

lim

= ∞,

lim Sn = ∞,

ряд расходится.

n→∞

Если

q =1,

то

Sn = na,

lim Sn = ∞,

ряд расходится.

q = −1,

n→∞

Если

то ряд имеет вид:

a − a + a − a + a −...,

Sn = 0

при четном

Sn = a

при нечетном

lim Sn не

существует, ряд расходится.

n→∞

| q |<1

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при

и расходится при

| q |≥1.

∞

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

∑

n(n +1)

n=1

Решение. Рассмотрим n −ю частичную сумму

+... +

2 3

3 4

n(n +1)

2 −1

3 −2

4 −3

... +

(n +1) − n

2 3

3 4

n(n +1)

1 2

1 −

−

... +

−

n +1

Найдем предел последовательности частичных сумм ряда:

lim Sn = lim 1 − n1+1 =1.

n→∞ n→∞

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1. Пример 3. Докажем расходимость ряда

∞	1		1		1		1
∑		=1 +		+		+... +		+...
	n		2		3		n
n=1

Так как члены ряда убывают, его n − я частичная сумма удовлетворяет неравенству:

Sn =1 +

+... +

= n

n ≥ 2.

Поэтому lim Sn = ∞, так как lim

n = ∞,

ряд расходится.

n→∞

Пример 4. Рассмотрим ряд

∞

∑

=1 +

+... +

+... ,

n=1

который называется гармоническим рядом. Докажем, что этот ряд расходится. Предположим , что ряд сходится, S − его сумма. Рассмотрим частичные суммы ряда:

Sn =1 +	1 +... +	1	,	S2n
	2	n
Найдем	lim(S2n −Sn )=
	n→∞

=1 + 12 +... + 1n + n1+1 + n +1 2 +... + 21n .

lim S2n −lim Sn = S −S = 0.

n→∞ n→∞

С другой стороны

S2n − Sn = n1+1 + n 1+2 +... + 21n > 21n + 21n +... + 21n = n 21n = 12 .

Следовательно, равенство lim (S2n − Sn )= 0 невозможно. Полу-

n→∞

ченное противоречие доказывает расходимость гармонического ряда.

Заметим, что бесконечная десятичная дробь

a = a0 ,a1a2a3...an... представляет собой сумму ряда:

a = a0 +10a1 +10a22 + 10a33 +... +10ann +...

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о сходимости. Нахождение предела n − ой частичной суммы является непростой задачей, поэтому рассматриваются признаки сходимости рядов.

1.2. Необходимый признак сходимости ряда

∞

Если ряд ∑un сходится, то его общий член стремится к нулю

n=1

при n → ∞ :

lim un =0.

Доказательство.

n→∞

∞

lim Sn−1 = S,

Пусть ряд ∑un сходится, lim Sn = S. Тогда

n=1

n→∞

где Sn = u1 +u2 +... +un , Sn−1 = u1 +u2 +... +un−1.

Учитывая, что

un = Sn − Sn−1 при n>1, получаем:

lim un

= lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.

n→∞

Следствие. Достаточное условие расходимости ряда

lim un ≠ 0 ,

∞

Если

то ряд ∑un расходится.

n→∞

n=1

∞

2n2 −1

Пример 5.

Исследовать сходимость ряда ∑

Решение. Найдем

n=1 3n

+n +2

2n2 −1

2 −

lim u

= lim

≠ 0 .

1 2

n→∞

n→∞ 3n2 + n +2

n→∞

Ряд расходится по достаточному условию расходимости.

∞

5n +

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

∑ln

3n +

n=1

Решение. Найдем

5n +

lim u

= lim ln

= ln

≠ 0.

n→∞

3n +2

n→∞

Ряд расходится по достаточному условию расходимости.

∞

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

∑cos

n=1

Решение. Найдем

lim un = lim cos

= cos0 =1 ≠ 0.

n→∞

Ряд расходится по достаточному условию расходимости.

∞

+2n

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

∑

n=1

+ n

Решение. Найдем

lim un

lim

+2n

lim

3x +2x

3x + x3

n→∞

n→∞ 3n +n3

x→+∞

Вычислим по правилу Лопиталя

lim

3x +2x

lim

(3x +2x)′

= lim

3x ln 3 +2

′

x→+∞

+ x

x→+∞

+ x

x→+∞

ln 3 +3x

)

′

lim

ln 3 +2)

lim

ln 3

)

+6x

6x)

x→+∞

′

x→+∞

′

lim

=1.

′

x→+∞

→+∞

x→+∞

+6)

Следовательно,

lim un =1 ≠ 0.

n→∞

Ряд расходится по достаточному условию расходимости.

Таким образом, необходимый признак сходимости помогает

установить, что ряд расходится, если lim un ≠ 0. Из условия

n→∞

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]