1

- общий член ряда Дирихле, p = 3 >1, сходится. Следова-

n3

∞

тельно, ряд ∑vn сходится по первому признаку сравнения.

n=1

∞

Если для ряда с положительными членами

∑un , un > 0,

n=1

lim

un+1

= ρ,

n→∞

un

то при ρ >1 ряд расходится, при ρ <1 ряд сходится, при ρ =1

ности

un+1

попадают в ε −окрестность точки ρ, т.е. выпол-

un

un+1

няется неравенство

ρ −ε <

< q. Тогда из правой части не-

un

•

при n=N

uN +1 < q uN ,

•

при n=N+1

uN+2 < q uN +1 < q2uN ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

•

при n=N+k-1

uN +k < q uN +k−1 < qkuN ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Следовательно,

uN +k < qkuN ,k =1,2,... ,

∞

т.е.

члены ряда

∑uN +k

меньше

соответствующих

членов

k=1

∞

ряда

∑qkuN ,

который сходится как ряд геометрической про-

k=1

∞

грессии со знаменателем q,

0<q<1. Тогда ряд ∑uN +k

сходит-

k=1

∞

ся по первому признаку сравнения, а исходный ряд

∑un

схо-

дится по первому свойству сходящихся рядов.

n=1

Пусть

ρ >1. Тогда

lim

un+1

= ρ >1. Отсюда следует,

что,

un

n→∞

n ≥ N

начиная с некоторого номера N,

т.е.

при

выполняется

неравенство

un+1

>1,

т.е.

un+1 > un ,

члены ряда возрастают с

un

увеличением номера n.

Поэтому

lim un ≠ 0,

ряд расходится на

n→∞

∞

n

Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n

n=1

3

Решение. Общий член ряда

un

=

n

,

un+1 =

n +1

.

3n

3n+1

Найдем

3n

3n

lim

u

n+1

= lim

n

+1

=

lim

n +1

=

lim

(1 +

1

)

1

=

1

<1,

n

n

n

3

3

n→∞

un

n→∞ 3n+1

n→∞

3n 3

n→∞

следовательно, ряд сходится.

∞

2n

Пример 14.

Исследовать сходимость ряда

∑

.

3

Решение. Общий член ряда

n=1 n

(2n)!

2n+1

2n

2n+1

un =

, un+1 =

=

.

n3

(n +1)3 (2(n +

(n +1)3 (2n +2)!

(2n)!

1))!

Найдем

2n+1

n3(2n)!

lim

u

n+1

=

lim

=

2n

n→∞

un

n→∞ (n +1)3(2n +2)!

=

lim

2n+1

n 3

(2n)!

=

2n

(2n)!(2n +1)(2n +2)

n→∞

n

+1

3

1

1

=

= 0 <1,

lim 2

1

(2n +1)(2n +

2)

n→∞

1 +

n

un

=

nn

, un+1

=

(n

+1)n+1

=

(n +1)n+1

=

(n +1)n

.

n!

(n +1)!

n!(n +1)

n!

Найдем

n +1 n

n

u

n+1

(n +1)n

n!

1

lim

= lim

=

lim

= lim 1

+

= e >1 ,

un

n!

nn

n

n→∞

n

→∞

n→∞

n

n→∞

n=1

существует предел lim n un

= q.

Тогда при

q<1

ряд сходит-

q>1

n→∞

q=1

ся, при

ряд расходится,

при

требуется провести

дополнительное исследование.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

∞

5n

2

−3n +1

n

∑

3n

2

+4n + 2

Решение. Найдем

n=1

1

n

5n2 −3n +1

n

5n2 −3n +1

lim

n

un =

= lim

=

lim

3n

2

+4n +2

3n

2

+4n +2

n→∞

n→∞

n→∞

3

1

5 −

+

=

5

= lim

n

n2

>1.

n→∞ 3 +

4

+

2

3

n

n2

Ряд расходится.

∞

1

Пример 17. Исследовать сходимость ряда

∑arcsin2n

.

Решение. Найдем

n=1

n

1

1

1

lim n un

2n

n

2

= lim arcsin

=

lim arcsin

=

n→∞

n→∞

n

n→∞

n