если x >1.

Так как производная отрицательная, функция убывает при

x >1, Следовательно, абсолютные величины членов ряда моно-

Следовательно, исходный ряд сходится по признаку Лейбница. Так как ряд из абсолютных величин расходится, исходный ряд сходится условно.

3.3.Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1.Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

2.Если ряд сходится условно, то, какое бы ни задать число A, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой число А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.

Пример 5. Рассмотрим ряд

Ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд ∑∞ 1

n=1 n

расходится (гармонический ряд). По признаку Лейбница исходный ряд сходится:

34

ряда так, чтобы после одного положительного члена следовали два отрицательных:

1 − 12 − 14 + 13 − 61 − 18 +... + 2k1−1 − 4k1−2 − 41k +...

Докажем, что ряд, полученный в результате перестановки, сходится и имеет сумму, вдвое меньшую, чем исходный ряд. Обозначим частичные суммы рядов через Sn и Sn′ соответственно.

Тогда

Таким образом, lim Sn′ = 1 S. Ряд, полученный в результате пе-

n→∞ 2

рестановки, сходится, и его сумма равна 12 S.

Следовательно, сумма условно сходящегося ряда изменилась после перестановки его членов.

35