2.6. Интегральный признак Коши

∞

Пусть члены ряда ∑un положительны и не возрастают:

n=1

un ≥ un+1,n =1,2,...

Пусть существует непрерывная невозрастающая функция f(x) на интервале[1,+∞) такая, что f(n)=un , n =1,2,...

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок

числам f (1) =u1, f (2) = u2 ,..., f (n) =un (см. рис. 1).

Сумма площадей первых n прямоугольников равна n-й частичной сумме ряда:

u1 1+u2 1+... +un 1 = u1 +u2 +... +un = Sn.

Площадь ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками, больше площади криволинейной трапеции, следовательно, учитывая геометрический смысл определенного интеграла, получим:

n+1

Sn > ∫ f ( x)dx.

1

Несобственный интеграл

+∞ n+1

следовательно, lim Sn = +∞, т.е. ряд расходится.

n→∞

24

y

u1

y = f(x)

u2 u3

u n

Рис. 1

Случай 2. Пусть несобственный интеграл сходится, т.е.

+∞

∫ f ( x)dx = M.

1

Построим прямоугольники с теми же основаниями, но с другими высотами, равными соответственно числам f (2) = u2 , f (3) = u3,..., f (n +1) = un+1 (см. рис.2).

Сумма площадей первых n прямоугольников равна u2 +u3 +... +un+1 = Sn+1 −u1.

Площадь ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками, меньше площади криволинейной трапеции, следовательно, выполняется неравенство:

тичных сумм ряда ограничена сверху (числом u1 + M ).

25

y

Ряд сходится по необходимому и достаточному условию сходимости ряда с положительными членами.

Пример 20. Исследуем сходимость ряда Дирихле

∑∞ n1p , p > 0.

n=1

Решение. Применим интегральный признак Коши. Рассмотрим