§ 3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Перейдем к изучению рядов, члены которых являются действительными числами любого знака. Если ряд содержит конечное число отрицательных членов, то, отбросив достаточное количество начальных членов ряда, сведем дело к исследованию ряда с положительными членами (по свойству 1 рядов). Если ряд содержит конечное число положительных членов, то, поменяв знаки всех членов и воспользовавшись свойством 2 рядов, получим рассмотренный случай.

Таким образом, новым случаем будет тот, когда ряд содержит бесконечное количество положительных и бесконечное количество отрицательных членов.

3.1. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если знакопеременный ряд

n=1

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

Ряд (10) сходится по второму свойству сходящихся рядов. Следовательно, ряд (11) сходится по первому признаку сравнения. Ряд

29

(8) получен почленным вычитанием сходящихся рядов (11) и (9), поэтому он сходится по свойству 3 сходящихся рядов.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд, по-

ложительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно:

∞

± ∑(−1)n+1un = ±(u1 −u2 +u3 −u4 +...),

n=1

где un > 0, n =1,2,...

30

3.2. Признак Лейбница

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда

∞

∑(−1)n+1un , где un > 0, n =1,2,..., монотонно убывают:

n=1

un > un+1, n =1,2,...,

общий член ряда стремится к нулю:

lim un = 0 ,

n→∞

то ряд сходится.

При этом сумма ряда S удовлетворяет неравенству: 0<S ≤ u1.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа 2m первых членов ряда:

S2m = (u1 −u2 ) +(u3 −u4 ) +... +(u2m−1 −u2m ).

Выражение в каждой скобке положительно по условию. Следова-

0 < S ≤ u1.

Докажем теперь, что частичные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда также стремятся к пределу S. Очевидно, что S2m+1 = S2m +u2m+1. Найдем

при четном и нечетном n, ряд сходится.

Замечание. Рассмотрим знакочередующийся ряд вида

31

Этот ряд также можно исследовать по признаку Лейбница по свойству 2 рядов.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Следовательно, ряд (15) сходится по 1 признаку сравнения, ряд (14) сходится абсолютно.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Интеграл расходится, следовательно, ряд (17) расходится. Исследуем ряд (16) на сходимость по признаку Лейбница.

Члены ряда (16) монотонно убывают по модулю, так как y= f(x) монотонно убывает,

Следовательно, ряд (16) сходится. Так как ряд из абсолютных величин (17) расходится, ряд (16) сходится условно.

Следовательно, ряд из модулей расходится по второму признаку сравнения.

Исследуем исходный ряд на сходимость по признаку Лейбница. Чтобы проверить монотонное убывание модулей членов ряда

n2n+1 , исследуем функцию y = x2x+1 с помощью производной:

33