§6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

∞

∑un =u1 +u2 +... +un +...

n=1

Рассмотрим n-ю

частичную сумму

Sn = u1 +u2 +... +un ,

сумму остатка ряда

rn = un+1 +un+2 +... .

Тогда сумма ряда

∞

∑(−1)n+1un = u1 −u2 +u3 −... +(−1)n+1un +...,

n=1

где

un > un+1 > 0, n =1,2,..., lim

un = 0.

n→∞

Тогда остаток ряда имеет вид:

±(un+1 −un+2 +un+3 −...) .

По

признаку Лейбница сумма остатка ряда не превосходит по

модулю первого члена:

| rn |< un+1.

(39)

∞

(−1)n+1

Пример 1. Вычислить сумму ряда ∑

4

n=1 n (n +1)

с точностью 0,001.

1

Решение. Подберем n так, чтобы un =

< 0,001,

n4

(n +1)

58

т.е. n4 (n +1) >1000.

Получим:

n4 (n +1) = 34 4 = 324 <1000,

•

при

n=3

•

при

n=4

n4 (n +1) = 44 5 =1280 >1000.

Тогда погрешность

| r3 |≤ u4 < 0,001.

Таким образом,

сумма ряда

S ≈ S3 =

1

−

1

+

1

≈ 0,482

48

324

с точностью 0,001.

2

2

случай.

Рассмотрим

ряд

с положительными членами

∞

∑un ,

un > un+1

при n=1,2,… Пусть существует непрерывная

n=1

y=f(x),

f (n) = un

при n=1,2,… . Если ряд

убывающая функция

+∞

сходится, то несобственный интеграл

∫ f ( x)dx также сходится

1

+∞

n

∞

1

Пример 2. Вычислить сумму ряда ∑

с точностью

(4n +1)

3

0,001.

n=1

1

Решение. Рассмотрим функцию f ( x) =

, которая яв-

(4x +1)3

ляется

непрерывной,

монотонно

убывающей

при

x [0,+∞), f (n) = un.

Тогда

погрешность, полученная при замене суммы ряда на час-

тичную сумму, оценивается следующим образом:

59

+∞

+∞

dx

1

1

rn < ∫ f (x)dx = ∫

+∞

= − 8

n

=

(4x +1)3

(4x +1)2

n

n

1

1

1

=

lim −

+

=

≤ 0,001.

8(4n +1)2

8(4n +1)2

x→+∞

8(4x +1)2

Следовательно,

8(4n +1)2 ≥1000. Получим:

Таким образом, сумма ряда

S ≈ S3 =

1

+

1

+

1

≈ 0,01

93

133

53

с точностью до 0,001.

∞

3 случай. Рассмотрим сходящийся ряд ∑un

с положительными членами.

n=1

Рассмотрим остаток ряда

∞

∑bn такой, что

n=1

un+1 ≤ b1,un+2 ≤ b2 ,...,un+k ≤ bk ,... .

∞

rn = ∑un+k ≤ S *.

k=1

Пример 3. Вычислить число

e с точностью до 0,01.

Решение. Подставив

x = 1

в формулу (30) раздела 5,

∞

Пусть S * - сумма ряда

∑bn.

Тогда погрешность

1

1

1

1

2

1

1 3

1

1 n

e = e2

=1 +

2

+

+

+... +

+...

2!

2

3!

2

n!

2

n

1 1

k

частичной суммой

Sn

= ∑

:

k=0

k! 2

n+1

1 n+2

rn =

1

1

1

+

+... <

(n +1)!

(n

2

+2)!

2

n+1

n+2

1 n+1

1

1

1

1

1

2

<

+

+... =

=

(n +1)!

(n +

1)!

1

(n +1)! 2n

2

2

1 −

2

rn <

1

≤ 0,01.

(n +1)!2n

Получим:

1

1

•

при n=2

r

<

=

> 0,01,

2

3!22

24

•

при n=3

r

<

1

=

1

< 0,01.

3

4!23

192

Поэтому имеем:

1

1

1

1 2

1

1 3

e2

≈ S3 =1 +

+

+

≈1,65

2

2!

3!

2

2