Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
М. Д. Мышлявцева, М. Н. Соколовский,
В. Н. Степанов, Г. А. Троценко
ЧИСЛОВЫЕ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
Омск
Издательство ОмГТУ
2023
———————————————————————————–––—————
Сведения об издании: 1, 2
ISBN 978-5-8149-3690-5
© ОмГТУ, 2023
УДК 517.52(075)
ББК 22.16я73
М96
Рецензенты:
Т. Е. Болдовская, к.т.н., доцент, доцент кафедры информационной безопасности
ФГБОУ ВО «Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского»;
Е. А. Швед, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой высшей математики
ФГБОУ ВО «Омский государственный университет путей сообщения»
Мышлявцева, М. Д. Числовые и функциональные ряды : учеб. пособие /
М. Д. Мышлявцева, М. Н. Соколовский, В. Н. Степанов, Г. А. Троценко ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн. ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2023. – 1 CD-ROM (1,68 Мб). –
Систем. требования: процессор с частотой 800 МГц и выше ; 128 Мб RAM и более ;
свободное место на жестком диске 300 Мб и более ; Linux / Windows XP и выше ;
MacOS X 10.4 и выше ; CD/DVD-ROM-дисковод ; ПО для просмотра pdf- и mp4файлов. – Загл. с титул. экрана. – ISBN 978-5-8149-3690-5.
Учебное пособие посвящено числовым и функциональным рядам. Изложение
теоретического материала сопровождается подробным решением типичных примеров. Приведены контрольные вопросы, задачи для аудиторной работы с ответами
и индивидуальные задания для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов 1-го и 2-го курсов всех форм обучения по техническим направлениям.
Редактор Т. А. Москвитина
Компьютерная верстка Е. В. Макарениной
Для дизайна этикетки использованы материалы
из открытых интернет-источников
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Сводный темплан 2023 г. © ОмГТУ, 2023
Подписано к использованию 01.09.23.
Объем 1,68 Мб.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ ...........................................6
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................................7
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ..............................................................................................8
1.1. Сумма числового ряда ......................................................................................8
1.2. Ряд геометрической прогрессии .................................................................. 11
1.3. Свойства сходящихся рядов ......................................................................... 13
1.4. Необходимое условие сходимости ряда ..................................................... 17
Контрольные вопросы .......................................................................................... 20
Задачи для самостоятельного решения .............................................................. 21
1.5. Знакоположительные ряды ........................................................................... 22
1.5.1. Необходимое и достаточное условие сходимости
знакоположительных рядов ............................................................... 22
1.5.2. Признаки сравнения ............................................................................ 23
1.5.3. Признак Даламбера ............................................................................. 27
1.5.4. Признак Коши ..................................................................................... 31
1.5.5. Интегральный признак Коши ............................................................ 32
Контрольные вопросы .......................................................................................... 34
Задачи для самостоятельного решения .............................................................. 34
1.6. Знакочередующиеся ряды............................................................................. 35
Контрольные вопросы .......................................................................................... 43
Задачи для самостоятельного решения .............................................................. 43
1.7. Знакопеременные ряды ................................................................................. 44
1.7.1. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ....... 44
1.7.2. Основные свойства сходящихся рядов ............................................. 47
Контрольные вопросы .......................................................................................... 56
Задачи для самостоятельного решения .............................................................. 56
Индивидуальные домашние задания .................................................................. 57
Образцы решения типового варианта ................................................................ 61
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................................................ 69
2.1. Область сходимости функционального ряда .............................................. 69
2.2. Равномерная сходимость функционального ряда ...................................... 73
3
2.2.1. Равномерная сходимость ряда ............................................................ 73
2.2.2. Признак Вейерштрасса ........................................................................ 75
2.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов .......................................... 76
Контрольные вопросы .......................................................................................... 79
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 79
2.3. Степенные ряды .............................................................................................. 80
2.3.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости .................. 80
2.3.2. Способы нахождения радиуса сходимости степенного ряда .......... 83
2.3.3. Свойства степенных рядов .................................................................. 86
Контрольные вопросы .......................................................................................... 89
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 89
2.4. Разложение функций в степенные ряды ...................................................... 90
2.4.1. Формулы Тейлора и Маклорена ......................................................... 90
2.4.2. Разложение функции в ряд Тейлора .................................................. 91
2.4.3. Условия разложимости функции в ряд Тейлора .............................. 92
2.4.4. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций .................... 97
Контрольные вопросы ........................................................................................ 107
Задачи для самостоятельного решения ............................................................. 107
2.5. Использование степенных рядов при приближенных вычислениях ...... 108
2.5.1. Приближенное вычисление значений функции ............................. 108
2.5.2. Приближенное вычисление определенных интегралов ................ 117
Контрольные вопросы ........................................................................................ 118
Задачи для самостоятельного решения ............................................................. 119
Индивидуальные домашние задания ................................................................. 120
Образцы решения типового варианта ............................................................... 121
3. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ......................................................................... 126
3.1. Периодические функции, их свойства ....................................................... 126
3.1.1. Периодические функции ................................................................... 126
3.1.2. Основные свойства периодических функций ................................. 127
3.1.3. Простая гармоника. Сложное гармоническое колебание .............. 128
3.2. Ортогональная система функций. Разложение функции
в ряд Фурье по ортогональной системе функций .................................... 130
3.3. Разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 2 ......... 136
3.4. Разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 2l .......... 143
3.5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ............................ 148
3.5.1. Свойства четных и нечетных функций............................................ 148
4
3.5.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
с периодом 2.................................................................................... 149
3.5.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
с периодом 2 ..................................................................................... 152
Контрольные вопросы ........................................................................................ 156
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 157
3.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на конечном промежутке........................................................... 157
3.6.1. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на отрезке [, ] ............................................................. 157
3.6.2. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на отрезке [0,2π] ............................................................... 161
3.6.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на отрезке [, ] ................................................................ 162
3.6.4. Разложение в ряд Фурье функций на отрезке [0, ] ....................... 165
3.7. Ряд Фурье в комплексной форме ............................................................... 169
Контрольные вопросы ........................................................................................ 173
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 173
3.8. Интеграл Фурье............................................................................................ 174
3.9. Интеграл Фурье в комплексной форме ..................................................... 183
3.10. Преобразование Фурье .............................................................................. 185
3.11. Теорема Котельникова .............................................................................. 189
Контрольные вопросы ........................................................................................ 191
Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 192
Индивидуальные домашние задания ................................................................ 193
Образцы решения типового варианта .............................................................. 195
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ....... 202
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 213
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................................. 214
5
=
{
1,2, …
}
– множество всех натуральных чисел.
– множество всех действительных чисел.
– множество всех упорядоченных наборов из n действительных
чисел.
1, ={1,2, … ,
}={
N: 1 }, .
= 1,
1,
– квантор всеобщности.
– для любого (для каждого) из .
– существует (найдется) из .
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
– каждое число из
– квантор существования.
– конец доказательства.
.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие написано на основе материалов авторского курса
лекций и практических занятий по высшей математике для студентов Ом-
ского государственного технического университета. В нем рассматрива-
ются числовые и функциональные ряды, которые являются инструментом,
используемым не только в математических дисциплинах, но и в различных областях науки и техники.
Предполагается, что читатель знаком с линейной алгеброй, диффе-
ренциальным и интегральным исчислением функций одной и нескольких
переменных, обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Пособие состоит из трех глав, каждая из которых содержит теорети-
ческую и практическую части, контрольные вопросы, задачи для самосто-
ятельного решения и ответы к ним, индивидуальные домашние задания
для самостоятельной работы студентов. Изложение теоретического мате-
риала сопровождается подробным решением примеров.
Первая глава посвящена числовым рядам.
Вторая глава посвящена функциональным рядам.
Третья глава посвящена рядам Фурье.
Авторы выражают признательность канд. техн. наук, доценту Т. Е. Болдовской; канд. физ.-мат. наук, доценту Е. А. Швед; канд. физ.-мат. наук,
доценту И. А. Латыпову; канд. физ.-мат. наук, доценту А. В. Рогозину;
канд. пед. наук, доценту И. В. Сечкиной, а также коллективу кафедры
«Высшая математика» за полезные советы и ценные замечания при подго-
товке издания.
7
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1.
СУММА ЧИСЛОВОГО РЯДА
Определение 1.1. Пусть дана некоторая бесконечная последователь-
ность действительных чисел , , , . . . ,
, … . Составленное из этих чи-
сел выражение
+ +. . . +
+. . . =
(1.1)
называется бесконечным числовым рядом (или рядом), а числа
, , , . . . , , . .. называются членами ряда. Член ряда
называется
общим членом (или n-м членом) ряда.
Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для лю-
бого номера n можно записать соответствующий член ряда.
Чаще всего общий член ряда задаётся формулой = (), пользуясь
которой, можно сразу определить любой член ряда.
Например:
1) если
2) если
=
, то ряд имеет вид:
=
, то ряд имеет вид: 1 +
!
+
+ ... +
+
!
+ ... +
!
+ ... ;
+ ... .
!
Ряд может задаваться при помощи рекуррентного соотношения, свя-
зывающего последующий член ряда с предыдущим или несколькими
предыдущими. При этом задаются несколько первых членов ряда и фор-
мула, по которой находятся следующие члены ряда.
Например, = 1,
=
,
=
+
.
Последовательно находим
=
+
1 =
В итоге получим ряд 1 +
+
,
+
=
+ ... .
+
=
и т. д.
Пример 1.1. Найдите одну из возможных формул для n-го члена ряда
по указанным его первым членам: 1 +
+
+
+ ... .
8
Решение. Числители образуют последовательность факториалов на-
туральных чисел 1!, 2!, 3!, 4!, и в качестве их общего выражения
возьмем n!.
Знаменатели образуют последовательность квадратов натуральных
чисел 1, 4, 9, 16,…, следовательно, в качестве общего выражения для зна-
менателя возьмем
Общий член ряда будет иметь вид
.
!
=
.
По нескольким первым членам ряда нельзя однозначно восстановить
формулу общего члена. Например, для рядов
(
+ 1)
и
(
611+ 7
)
первые три члена будут одни и те же:
2+9+28+… .
Рассмотрим последовательность
= ,= + , … , = + +. . . +
, … . (1.2)
Определение 1.2. Сумма n первых членов ряда (1.1)
= + +. . . +
называется n-й частичной суммой этого ряда, .
Последовательность (1.2) называется последовательностью частич-
ных сумм ряда (1.1).
Определение 1.3. Если существует конечный или бесконечный пре-
дел последовательности частичных сумм (1.2) при ,
=
то его называют суммой ряда
.
, (1.3)
9
Обозначение: = +. . . +
+. . . =
Если предел (1.3) конечный, то ряд
.
называется сходящимся.
Если предел (1.3) бесконечный или не существует, то ряд
называется расходящимся.
Пример 1.2. Ряд
не существует.
(
Действительно, = 1 при n нечетном,
Пример 1.3. Ряд
)
1
= 1 + 1 1 +
= 0 при n четном.
расходится, поскольку
расходится, поскольку
= +.
Действительно,
= 1 + 2+. . . +,
= + (+ 1)+. . . +2 + 1,
складывая в этих равенствах первое слагаемое с первым, второе со вторым
и т. д., получим
2 = (+ 1) и
=
()
= +.
Пример 1.4. Найдите сумму ряда, предварительно упростив выраже-
ние для его n-й частичной суммы:
Решение. Общий член ряда
()
=
()
.
разложим на простейшие
дроби:
=
()
=
.
Тогда
=
= + + +. . . +
+
+
+. . . +
+
+
=
= 1
.
10