Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Подставляя разложение (3.42) в преобразование (3.41) и принимая во
внимание равенства (3.43), получим
(
=
=
)
.
=
После вычисления элементарных интегралов получаем формулу Ко-
тельникова
. (3.44)
(
=
)
Последняя формула показывает, что для восстановления сообщения,
описываемого функцией (), спектральная функция () которой от-
лична от нуля лишь в полосе частот
||
, достаточно передать по ка-
налу связи лишь значения () этой функции через равные промежутки
времени =
тельникова
. Это утверждение и составляет содержание теоремы Ко-
1
.
Замечание. Интерполяционная формула (3.44) была известна до рабо-
ты В. А. Котельникова. Но Котельников впервые указал фундаментальное
значение этой формулы для теории передачи непрерывных сигналов по
каналу связи.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте достаточные условия представимости функции ин-
тегралом Фурье.
2. Запишите интегральную формулу Фурье.
3. Запишите интегральную формулу Фурье для функции ().
4. Запишите интеграл Фурье в комплексной форме.
1
В. А. Котельников – советский и российский учёный в области радиофизики, радиотехни-
ки, электроники, информатики, радиоастрономии и криптографии (1908–2005).
191
5. Что такое преобразование Фурье функции (
() =
3,2 < < 3
2, = 2, = 3
0, > 3, < 2
() =
1,1 < < 1
0, ||1
() =
, ∞ < < 0
0, = 0
, 0 < < +
() =
, 0 < 3
0, > 3
() =
2,1 < < 1
0, |
|
> 1
() =
, 2 < < 2
0, |
|
> 2
)
?
6. Запишите формулу обращения для преобразования Фурье.
7. Что такое синус- и косинус-преобразования Фурье функции (
)
?
8. Дайте определение спектральным характеристикам сигнала: спек-
тральная функция, спектральная плотность, амплитудный спектр, фазовый
спектр.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Представьте интегралом Фурье функцию ():
№ 267.
№ 268.
.
№ 269.
.
∞.
№ 270.
.
Представьте интегралом Фурье в комплексной форме функцию (
№ 271.
.
№ 272.
.
№ 273. Найдите преобразование Фурье функции
1, 3 < < 3
() =
0,||3.
Найдите спектральные плотности и спектральные характеристики
следующих непериодических сигналов:
№ 274. Косинусоидальный импульс () =
№ 275. Экспоненциальный импульс () =
cos
,
0,
, > 0
||
||
<
>
0, < 0.
)
:
.
192
№ 276. Линейно-экспоненциальный импульс
()=
2, (, 0
)
2 , [0,
]
()=
3 + ,(, 0
)
3, [0,
]
.
()=
0, (, 0
)
3 2, [0,
]
.
()=
3 + 4,(, 0
)
0, [0,
]
.
()=
, (, 0
)
, [0,
]
.
()=
+ ,(, 0
)
, [0,
]
()=
0, (, 0
)
25, [0,
]
.
()=
1 2 , (, 0
)
0, [0,
]
.
()=
2, (, 0
)
2, [0,
]
.
()=
1 ,(, 0
)
1, [0,
]
.
()=
2, (, 0
)
4 , [0,
]
.
()=
1 + ,(, 0
)
1, [0,
]
.
()=
0, (, 0
)
, [0,
]
.
()=
2 + 5,(, 0
)
0, [0,
]
.
()=
, (, 0
)
, [0,
]
.
()=
,(, 0
)
2, [0,
]
.
()=
0, (, 0
)
45, [0,
]
.
()=
(,
)
0, [0,
]
.
, > 0;
() =
0, < 0.
sin , ||
№ 277. Волновой цуг () =
||
№ 278. () =
sin
,||<
0,
||
0,
.
>
.
№ 279. () =
0,
||
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. Разложите в ряд Фурье 2-периодическую функцию (),
заданную на промежутке (, ].
sin 2, ||< ,
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
.
1.2.
1.4.
1.6.
1.8.
.
1.9.
1.11.
1.13.
1.15.
1.17.
1.10.
1.12.
1.14.
1.16.
1.18.
193
1.19.
()=
2, (, 0
)
4, [0,
]
.
()=
2 ,(, 0
)
3, [0,
]
.
()=
3, (, 0
)
5 , [0,
]
.
()=
3,(, 0
)
5, [0,
]
.
()=
0, (, 0
)
5 3, [0,
]
.
()=
3 + 2,(, 0
)
0, [0,
]
.
()=
, (, 0
)
, [0,
]
.
()=
+ ,(, 0
)
, [0,
]
.
()=
0, (, 0
)
31, [0,
]
.
()=
(,
)
0, [0,
]
.
()=
4, (, 0
)
3, [0,
]
.
()=
3 ,(, 0
)
2, [0,
]
.
()=
,
(
0,1
)
1,
[
1,3
]
.
()=
,
(
0,2
)
2,
[
2,3
]
.
()=
2,
(
0,2
)
4 ,
[
2,4
]
.
()=
1,
(
0,1
)
2,
[
1,2
]
.
()=
2 ,
(
0,1
)
2,
[
1,4
]
.
()=
3 ,
(
0,1
)
3,
[
1,3
]
()=
2 1,
(
0,2
)
0,
[
2,5
]
()=
2 3,
(
0,1
)
0,
[
1,4
]
()=
1,
(
0,2
)
,
[
2,6
]
.
()=
,
(
0,3
)
1,
[
3,4
]
.
()=
,
(
0,2
)
2,
[
2,4
]
.
()=
,
(
0,3
)
3,
[
3,5
]
.
()=
3,
(
0,2
)
5 ,
[
2,5
]
.
()=
+ 1,
(
0,2
)
3,
[
2,4
]
.
()=
4 ,
(
0,1
)
4,
[
1,2
]
.
()=
5 ,
(
0,1
)
5,
[
1,4
]
.
()=
2 4,
(
0,2
)
0,
[
2,6
]
.
()=
6 2,
(
0,3
)
0,
[
3,5
]
.
1.20.
1.21.
1.23.
1.25.
1.27.
1.29.
1.22.
1.24.
1.26.
1.28.
1.30.
Задание 2. Разложите в ряд Фурье функцию (), заданную на ука-
занном промежутке, продолжив ее четным и нечетным образом. Построй-
те графики для каждого продолжения.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
1.9.
1.11.
1.13.
1.15.
1.2.
1.4.
1.6.
. 1.8.
1.10.
1.12.
1.14.
1.16.
.
.
1.17.
1.18.
194
1.19.
()=
2,
(
0,3
)
,
[
3,6
]
()=
,
(
0,2
)
1,
[
2,4
]
()=
+ 1,
(
0,1
)
2,
[
2,3
]
.
()=
+ 1,
(
0,2
)
1,
[
2,4
]
()=
4,
(
0,1
)
5 ,
[
1,4
]
()=
1,
(
0,4
)
3,
[
4,5
]
()=
3 ,
(
0,2
)
6,
[
2,4
]
()=
2 ,
(
0,2
)
4,
[
2,4
]
()=
3 4,
(
0,2
)
0,
[
2,6
]
()=
4 3,
(
0,3
)
0,
[
3,5
]
()=
1,
(
0,4
)
,
[
4,8
]
()=
,
(
0,5
)
2,
[
5,6
]
.
. 1.20.
.
1.21.
1.23.
1.25.
1.27.
1.29.
1.22.
. 1.24.
. 1.26.
. 1.28.
.
1.30.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Разложите в ряд Фурье 2-периодическую функцию
.
.
.
.
()=
3, (, 0
3 2, [0,
заданную на промежутке (, ].
Решение. График функции (
)
,
]
)
приведен на рис. 3.15.
Рис. 3.15. График 2-периодической функции
(
3, (, 0
)
=
3 2, [0,
195
)
]
Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может
быть разложена в ряд Фурье:
(
=
)
+
∞
(
cos + sin
)
.
Вычислим коэффициенты Фурье:
1
=
()
1
=
1
=
(
3
|
(
=
1
=
()cos
0 (3)()+ 30
1
=
(3)cos
(3)
(
+
3
+ (3 2)
)
)
|
=
)
=
= .
+ (3 2)cos
=
=
= 3 2= 2
=
sin
=
= cos =
=
1
3
sin
3 2
+
sin
|
(2
sin
)
=
3
=
(
sin 0 sin ()
2
+
1
=
sin
()sin
=
=
2
=
1
(3)sin
1
)
+
cos
((1)
(3 2)sin 3 sin 0+
|
=
+ 1
2
)
.
(
cos cos 0
)
+ (3 2)sin
=
=
= 3 2= 2
=
= sin =
cos
=
196
=
1
3
cos
3 2
cos
|
(2)
cos
=
=
=
=
3
(
3
(
1 (1
(
cos 0 cos())
2
1
))
(3 2)(1
)
()(
)
1
(3 2)cos 3 cos 0
cos
(
sin 0
=
)
3
2
()(
)
=
sin |
)
После подстановки этих коэффициентов получим искомый ряд
Фурье:
()=
+
∞
()
cos +
()(
∞
)
sin
=
.
.
По теореме Дирихле сумма этого ряда (
)
(
в точках непрерывности:
4
cos
()= ()=
+
+
В точке = 0 сумма ряда (
)
(
В точках = ± сумма ряда (
()= (
2
=
)
+
1
+
. . . +
)
(0)
()(
=
()(
=
равна
)
cos 3
+
3
)
равна
)
=
=
)
равна значению функции
cos 5
+
5
+
= 0.
+ +
+
= .
+. . . .
График функции (
)
показан на рис. 3.16.
197
(
)
3
3
3
3
Рис. 3.16. График функции (
)
Ответ.
() =
\{,
+
∞
()
cos +
()(
∞
}
.
)
sin
,
(
42,
0,1
)
Задание 2. Разложите в ряд Фурье функцию ()=
2,
[
1,4],
заданную на указанном промежутке, продолжив ее четным и нечетным
образом. Постройте графики для каждого продолжения.
Решение. Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирих-
ле на интервале (0,4). Доопределим функцию () на интервале (4,0
четным образом и продолжим периодически на всю числовую ось с пери-
одом = 2= 8 (рис. 3.17).
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье
имеет вид
=
)
cos
)
(
2
=
(
+
∞
, = 0,1,2, … ,
cos
,
= 0, = 1,2,....
)
198
Найдем коэффициенты Фурье при = 4:
(
)
4
4
2
2
1
1
=
2
=
4
Рис. 3.17. График функции (
()
2
+ 2
2
=
(42)
4
|
=
+ 2
2 2 + 2(4 1)= 3.
42,
)
=
2,
(
[
0,1
1,4
=
)
]
=
=
2
1
4
2
2sin
2
=
4
(
42
4
2
=
(42
)
cos
= 42= 4
=
= cos
4
)
sin
(2)sin 0
(
4
=
4
16
sin
8
sin
)
cos
+ 2 cos
4
4
=
4
sin
+ 2
+
=
4
=
4
4
sin
4
sin sin
4
=
=
4
4
199
4
sin
4
=
32
cos
1.
4
=
4
sin
4
+
32
cos
После подстановки коэффициентов получим искомый ряд Фурье:
(
)
2
2
4
4
1
1
cos
, (0,4).
(
)
=
+
∞
Доопределим функцию () на интервале (4,0
)
нечетным образом
и продолжим периодически на всю числовую ось с периодом = 2= 8
(рис. 3.18).
Для нечетной функции произвольного периода разложение в ряд
Фурье имеет вид
(
=
∞
)
sin
,
= 0, = 0,1,2, … ,
=
(
)
sin
, = 1,2, . ...
Рис. 3.18. График функции (
Найдем коэффициенты Фурье при = 4:
2
=
(
)
sin
2
=
4
(42
= 42= 4
=
= sin
=
4
200
)
+ 2sin
=
4
=
)
sin
4
4
cos
4