Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
то, интегрируя почленно правую часть ряда (2.31а), получим разложение
ln( 1 + ) =
+
. . . +(1)
+. . . , 1 < < 1.
При = 1 ряд сходится.
Окончательно имеем разложение функции () = ln( 1 + ):
ln( 1 + ) =
+
. . . +(1)
+. . ., 1 < 1. (2.32)
6. Разложение в ряд Маклорена функции () = arctg
Для разложения функции () = arctg в ряд Маклорена заменим
в формуле (2.31а) на
= 1 + +. . . +(1)+. . . , 1 < < 1.
Интегрируя обе части в пределах от 0 до и считая, что |
arctg =
. Тогда получим
+
+. . . +(1)
|
+. . . , 1 < < 1.
На концах интервала сходимости = ±1 ряд сходится.
Окончательно имеем разложение функции () = arctg :
arctg =
+
+. . . +(1)
+. . . , 1 1. (2.33)
При = 1 получим выражение для числа в виде числового ряда:
< 1, имеем
arctg 1 =
= 1
4
1
3
+
1
5
1
+ ... .
7
Рассмотрим приемы разложения функций в степенные ряды, при ко-
торых используются формулы (2.28) – (2.33).
Пример 2.19. Разложите в ряд по степеням функцию () = 2
Решение. Представим функцию () = 2
101
в виде 2
=
.
.
Воспользуемся разложением (2.28), в котором вместо , подставив
ln 2, получим
= 1 +
!
+
!
+
!
+ ... +
!
+ ..., .
Пример 2.20. Разложите в ряд по степеням функцию
() = ln( 3 + ).
Решение. Представим функцию () = ln( 3 + ) в следующем виде:
ln( 3 + ) = ln 3 1 +
= ln 3 + ln 1 +
.
В формуле
ln( 1 + ) =
заменив на
, получим
+
+ ... + (1)
+ ..., 1 < 1,
ln 1 +
=
1 <
+
1, т. е. 3 < 3.
+ ... + (1)
+ ...,
Ответ.
+ ..., 3 < 3.
ln( 3 + ) = ln 3 +
+ ... + (1)
Пример 2.21. Разложите в ряд Маклорена (в ряд по степеням х) гипер-
болические функции () = ch , () = sh .
Решение. Для разложения функций ch =
, sh =
Маклорена воспользуемся формулой (2.28).
В данном разложении заменив x на –x, получим
= 1 +
2!
+ ... + (1)
3!
+ ....
!
в ряд
102
По правилу сложения и вычитания рядов находим искомые разложения:
ch = 1 +
sh = +
!
!
+
+
!
+ ... +
!
+ ... +
()!
()!
+ ..., , (2.34)
+ ..., . (2.35)
Пример 2.22. Разложите в ряд Маклорена функцию () =
Решение. Представим функцию () =
=
=
в следующем виде:
.
В формуле (2.31а)
= 1 + + ... + (1)+ ..., 1 < < 1,
.
заменив x на
= 1
Умножив полученное равенство на число
, получим
+
=
... + (1)
+
... + (1)
+ ..., 1 <
< 1, т. е. 4 < < 4.
, окончательно получим
+ ...,4 < < 4.
Пример 2.23. Разложите в ряд по степеням х функцию () =
Решение. Запишем данную дробь в виде
(
)
=
=
=
.
.
В формуле (2.31а)
= 1 + + ... + (1)+ ..., 1 < < 1,
103
заменив x на
, получим
1 <
= 1
< 1, т. е. 3 < < 3.
+
В формуле (2.31б)
= 1 + + + ... + + ...,1 < < 1,
заменив x на
1 <
< 1, т. е. 2 < < 2.
, получим
= 1 +
+
Вычитая ряды (2.36) и (2.37), получим
... + (1)
+ ... +
+ ... , (2.36)
+ ..., (2.37)
()
+ (2.38)
=
+
+
+
Найдем пересечение множеств тех х, для которых справедливы фор-
мулы (2.36) и (2.37), и получаем (2; 2
Таким образом, формула (2.38) справедлива для (2; 2
Умножив обе части (2.38) на число
()
Ответ.
() =
=
()
)
.
, получим
, (2; 2
, (2; 2
)
)
.
)
.
.
Пример 2.24. Разложите в ряд Тейлора в окрестности точки
степеням (1)) функцию () =
.
= 1 (по
Решение. Заменим 1 = и перейдем к новой функции от пере-
менной :
() = (1 + ) =
104
.
Разложим функцию () по степеням , для чего применим формулу
(2.31а):
= 1 + + (1)+ , –1< y <1.
В полученной формуле, заменив = 1, получим искомое разло-
жение
() = 1 (1) + (1)+(1
)
(1)+ ,
1 < 1 < 1, т. е. 0 < < 2.
Ответ.
= 1 (1) + (1)+(1
)
(1)+ , 0 < < 2.
Пример 2.25. Разложите в ряд Тейлора в окрестности точки = 2
(по степеням (х+2)) функцию () =
Решение. Запишем функцию в виде
.
=
(
)
.
В формуле (2.31а), заменив на + 2, получим
= 1 (+ 2) + (+ 2)+(1
)
(+ 2)+ ,
1 < + 2 < 1, т. е. 3 < < 1.
Пример 2.26. Разложите в ряд по степеням () функцию
() = cos .
Решение. Заменим = и перейдем к новой функции от пере-
менной :
()= (+
)
= cos
(
+ )= cos .
Разложим функцию () по степеням , для чего применим формулу
(2.30):
cos = 1
!
+
... + (1)
!
105
+ ... , ,
()!
и получим
()= cos = 1 +
!
+. . . +(1)
!
+. . . , . (2.39)
()
!
В полученной формуле, заменив = , получим искомое разло-
жение
() = 1 +
()
Ответ. cos =
!
()
(1)
+. . . +(1)
!
()
()
, .
!
()
()
+. . . , . (2.40)
!
Завершая, в справочных целях приведем разложение в ряд Маклорена
некоторых элементарных функций:
= 1 +
!
+
!
+
+. . . +
!
+. . . , ,
!
sin =
cos = 1
(1 + )= 1 + +
= 1 + +. . . +(1)+. . . ,1 < < 1,
= 1 + + +. . . ++. . . ,1 < < 1,
ln( 1 + ) =
arctg =
!
()
!
+
+
. . . +(1)
!
!
+
+
. . . +(1)
!
()...(())
+. . . +
. . . +(1)
+. . . +(1)
()!
()!
!
+. . . , ,
+. . ., ,
+. .., ,|
+. . . , 1 < 1,
+. . . , 1 1,
|
< 1.
ch = 1 +
sh = +
!
!
+
+
!
+. . . +
!
+. . . +
()!
()!
+. . . , ,
+. . . , .
106
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
№ 161. () = ln( 21),
= 1.
() =
= 3
() = sin,
=
() =
= 2
(
)
=
() = ln
№ 167. () = ln(4+ 3
)
.
(
)
=
.
№ 169. (
)=(
+ 1)cos 2.
(
)
=
.
№ 171. (
)=(
2)sin 5.
№ 172. () = (1 + )
.
№ 173. () = cos(4).
№ 174. () = arcsin 2.
№ 175. () = 1
.
№ 176. () = arctg 3.
№ 177. () = (2) ln(2 +
)
.
№ 178. () = sin(3).
№ 179. () = ln(+ 4+ 5
)
.
№ 180. () =(
+ 1)5
.
1. Разложение функции в степенной ряд.
2. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
3. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
4. Разложение функции в ряд Тейлора.
5. Необходимое условие разложимости функции в ряд Тейлора.
6. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд
Тейлора.
7. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
8. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
9. Разложение функции в ряд Маклорена элементарных функций.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Выпишите формально ряд Тейлора функции () в точке
те область его сходимости:
№ 162.
№ 163.
Разложите функцию () в ряд Тейлора по степеням х:
№ 165.
. № 166.
.
№ 164.
№ 168.
№ 170.
и найди-
,
,
.
.
.
107
Разложите функцию () в ряд Тейлора по степеням
№ 181. () = ,
= 2
.
() = sin ,
=
№ 183. () = ln , = .
№ 184. () =
,
= 4.
№ 185. () = cos , =
.
№ 186. () =,
= 9.
№ 187. () =3+ 2,
= 2.
№ 188. () =,
= 1.
() =91
= 1
() =
= 1
№ 191. ()= ln( 21),
=1.
() =
=
() =
= 1
() =
= 2
№ 195. () =2+ 1,
= 4.
() =
=
:
№ 189.
№ 193.
№ 182.
,
.
№ 190.
№ 192.
,
.
№ 194.
№ 196.
2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
.
,
,
,
,
.
1.
.
.
ПРИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
2.5.1. Приближенное вычисление значений функции
Для приближенного вычисления значения функции () в точке
1) функцию () разлагают в ряд Маклорена:
()
()
+ ();
!
() = (0) +
2) полагают =
′()
+. . . +
!
, сохраняют первые n членов, а остальные отбра-
сывают:
()
()
!
(
)
;
() (0) +
′()
!
+. . . +
3) для оценки погрешности найденного приближенного значения оце-
:
нивают сумму отброшенных членов;
4) если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отбро-
шенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической
108
прогрессией; если данный ряд знакочередующий (ряд Лейбница), то ис-
пользуют оценку
|
()|<
, где
– первый из отброшенных чле-
нов ряда.
1. Вычисление значений показательной функции
При вычислении степеней числа е пользуются приближенной формулой
1 + +
+ +
!
. (2.41)
!
При 0 < < + 1 погрешность этого приближенного равенства
определяется неравенством
() <
!()
. (2.42)
Действительно,
=
!
+ 1
()
+
=
(
+ 1
+
)
!
+ <
(+ 1)(+ 2)
=
!
+ 1
1
+ 1
=
+ =
(
+ 2
)
!
!
+ 1
!+ 1
+
(+ 1)
.
+ =
При 0 ряд будет знакочередующимся рядом Лейбница и имеем
|()| <
Пример 2.27. Вычислите число
1 +
Решение. Так как =
Подставим =
в формулу (2.42) и получим
, то
||
()!
с точностью до = 0,0001.
. (2.43)
!
+
!
+ +
!
.
<
!
109
=
!()
.
Определим число n так, чтобы
< 0,0001.
Достаточно подобрать n, чтобы выполнялось неравенство
!()
< 0,0001.
Данное неравенство выполняется, начиная с = 5.
Действительно, при = 5 имеем
!()
=
<
= 0,0001.
Итак, принимаем = 5. Тогда имеем
1 +
Так как число слагаемых меньше
обыкновенные дроби с точностью
1 +
1! 2
1
!
+
+
!
2
до 7 знаков после запятой:
1
+
2! 2
+
1
10 и = 4, значит, надо вычислять
!
+
!
1
+
3! 2
3! 2
1
+
+
!
4! 2
.
1
1,0000000 + 0,5000000 + 0,1250000 + 0,0208333 +
+0,0026042 + 0,0002604 = 1,6486979 1,6487.
Ответ. 1,6487.
Пример 2.28. Вычислите число
Решение. Так как =
1
Подставим =
1
Смотри пример 1.27. Поскольку = 0,0001, то = 4.
2
С точностью до + 3 = 4 + 3 = 7 знаков после запятой.
в формулу (2.43) и получим
, то
!
|
+
| <
с точностью до =
+ (1)
!
()!
.
.
!
.
110