Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
коэффициенты которого определяются формулами (3.20), называется ря-
дом Фурье функции () в комплексной форме, коэффициенты , ,
называются комплексными коэффициентами Фурье.
Утверждение 3.3. Если функция () задана на отрезке [, ], > 0,
2-периодическая и удовлетворяет условиям Дирихле на [,
]
, то имеет
место разложение функции () в ряд Фурье в комплексной форме
∞
() =
=
()
∞
Замечание. В электротехнике, радиотехнике выражения
ваются гармониками, числа
ми функции () =
тром, коэффициенты
, определяемые формулами (3.22), – комплексны-
=
, = 0, ±1, ±2, …, – волновыми числа-
, совокупность волновых чисел – спек-
, (3.21)
, . (3.22)
ми амплитудами гармоник.
назы-
Пример 3.18. Постройте ряд Фурье в комплексной форме для функ-
0, 1 < 0,
ции () =
с периодом = 2.
1, 0 1
Решение. Для построения ряда Фурье такой функции разлагаем в ряд
Фурье периодическую функцию () с периодом = 2, полученную пе-
риодическим продолжением на всю числовую вспомогательной функции
()
Так как = 2= 2, то = 1. Найдем коэффициенты
(), 1 < 1
=
(1)=
(1)
= 1, = 1.
по формулам
(3.22):
1
=
()
2
=
1
()
2
=
1
2
=
1
;
2
171
1
=
()
2
=
1
()
2
=
=
=
1
2
2
1
2
(
=
cos sin 1
0, четное (= 2
, нечетное (= 2+ 1).
=
)
=
=
2
2
1
(
(
(1)1
)
,
1
)
=
)
=
Ряд Фурье в комплексной форме для функции () имеет вид (3.19а):
()
.
Сумма () полученного ряда Фурье
() = ()
в точках непрерывности функции (), т. е. Z.
Ответ. () =
()
, Z.
В заключение важно отметить следующее обстоятельство. Не всякий
тригонометрический ряд
+
∞
cos
ω
+
sin
ω
является рядом
Фурье периодической функции, если даже он сходится для всех значений t.
Например, тригонометрические ряды
сходятся для всех (,
sin
)
, но не являются рядами Фурье, т. е. не су-
,
sin
ществует функции () такой, что
.
.
=
=
()sin =
π
()sin =
π
, = 2,3, …
, = 1,2, … .
;
.
172
Это следует из хорошо известного в теории рядов Фурье равенства
№ 239. ()= + 1.
№ 240. ()=
.
№ 241. ()= 1.
№ 242. ()= 1
.
№ 243. ()= 1
.
№ 244. ()= 2 .
№ 245. (
)
= 4.
№ 246. ()= 1.
№ 247. ()= 1.
№ 248. ()= .
№ 249. ()= 2
.
№ 250. ()=
.
Парсеваля:
()
=
В рассмотренных примерах ряды
+
(
,
+
)
.
расходятся.
(
)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию, заданную
на отрезке
[
,
2. Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию, заданную
на отрезке
[
0,2
3. Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию, заданную
на отрезке
[
,
4. Как разложить в ряд Фурье непериодическую функцию, заданную
]
?
]
?
]
?
[
на отрезке
0,
]
?
5. Как записывается ряд Фурье в комплексной форме?
6. Какие функции называются гармониками? Каков смысл парамет-
ров гармоники?
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Разложите в ряд Фурье функцию (), заданную на отрезке [,
формулой:
Разложите в ряд Фурье функцию (), заданную на отрезке [0,2
]
]
формулой:
173
Разложите в ряд Фурье функцию (), заданную на отрезке [,
№ 251. ()= 2, = 0, = .
№ 252. ()= 3, = 1, = 3.
№ 253. ()= , = 4, = 6.
№ 254. ()= 2, = 1, = 5.
№ 255. ()= , = 2, = 4.
№ 256. ()= , = 1, = 3.
№ 257. ()= 3, = .
№ 258. ()= 1, = 3.
№ 259. ()= 2, = .
№ 260. ()= , = 4.
№ 261. ()= , = 1.
№ 262. ()= , = .
() =
1,< 0
0, 0 ,
= 2.
() =
0,< 0
2, 0 ,
= 2.
() =
0,1 < 0
, 0 1,
= 2.
() =
,2 < 0
0, 0 2,
= 4.
формулой:
]
Разложите в ряд Фурье функцию (), заданную на отрезке [0,
формулой:
Постройте ряд Фурье в комплексной форме для периодической функ-
ции () с периодом :
№ 263.
№ 264.
№ 265.
]
№ 266.
3.8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пусть () – непериодическая функция, заданная . Такая функ-
ция не разлагается в ряд Фурье, поскольку сумма ряда Фурье является пе-
риодической функцией и не может представлять непериодическую функ-
цию () .
Как было показано выше, любую (периодическую или непериодиче-
скую) функцию (), заданную на отрезке [,
174
]
и удовлетворяющую
условиям Дирихле на отрезке
ках ее непрерывности:
[
,
]
, можно разложить в ряд Фурье в точ-
() =
=
1
=
+
(
∞
)
cos
() sin
cos
+
, = 0,1,2, … ;
, = 1,2, . . . . (3.24)
sin
, (3.23)
Если () – 2l-периодическая функция, то разложение (3.23) справед-
ливо в точках ее непрерывности, лежащих на всей числовой оси.
Если () – непериодическая функция, заданная на отрезке [,
]
, то
разложение (3.23) справедливо в точках ее непрерывности, лежащих в ин-
тервале (, ).
Пусть непериодическая функция () задана на всей числовой оси,
∞
абсолютно интегрируема на числовой оси, т. е.
∞
|
()|
< +∞, и раз-
ложена в ряд Фурье (3.23) в интервале (, ).
Подставив выражения коэффициентов (3.24) в ряд (3.23), получим
1
)
=
∞
1
+
(
()
+
)
cos
∞
(
cos
()
=
()
2
+ (
cos
cos
+
)
sin
+ sin
sin
sin
т. е.
() =
()
+
∞
() cos
()
=
,
. (3.25)
Введем обозначения:
=
; =
175
=
.
Подставив их в (3.25), получим
() =
()
+
∞
() cos ()
Перейдем в равенстве (3.26) к пределу при +.
Так как функция () абсолютно интегрируема, то
lim
1
()
2
lim
1
|(
2
)
|
lim
и
∞
()cos ()
∞
∞
∞
= () cos ()
∞
1
2
=
.
= 0
. (3.26)
Следовательно, при +∞ равенство (3.26) примет вид
() =
() cos ()
∞
. (3.27)
∞
∞
Теорема 3.7 (Теорема Фурье о достаточных условиях представимости
функции интегралом Фурье). Если функция () абсолютно интегриру-
ема на
(
; +
)
, т. е.
|
()|
< +,
и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке числовой оси, то имеет место равенство (3.27)
∞
∞
() =
∞
1
() cos ()
в точках непрерывности функции ();
176
(0) + (
2
+ 0)
1
=
() cos ()
в точках разрыва функции ().
Равенство (3.27) называется интегральной формулой Фурье, интеграл
в правой части формулы – двойным интегралом Фурье для функции ().
Равенство (3.27) можно преобразовать следующим образом:
=
т. е.
где
∞
=
(
(
∞
∞
1
() =
∞
∞
1
() cos ()
∞
()(cos cos + sin sin )
∞
∞
() =
)
=
∞
() cos ) cos
∞
(
∞
()cos
∞
() cos + () sin )
, () =
+ (
∞
() sin ) sin
∞
∞
() sin
∞
=
=
, (3.28)
. (3.29)
,
Интеграл в правой части формулы (3.28) называется интегралом
Фурье для функции ().
Видно, что интегральная формула Фурье (3.28) аналогична разложе-
нию периодической функции в ряд Фурье.
Ряд Фурье представляет периодическую функцию с периодом в ви-
де наложения гармоник с частотами, кратными основной частоте
; в ин-
тегральной формуле для непериодических функций участвуют все гармо-
ники с частотами
(
0; +∞), а суммирование гармоник заменяется инте-
грированием по частоте .
177
Пример 3.19. Представьте интегралом Фурье функцию
3,1 < < 2
() =
1, = 1, = 2
0, > 2, < 1.
Решение. Функция() – непериодическая, задана на всей числовой
оси. График функции () показан на рис. 3.13.
f (x)
3
-1 О 2 x
3,1 < < 2
1, = 1, = 2
0, > 2, < 1
3
= 9.
)
, так как
Рис. 3.13. График функции () =
1. Функция () абсолютно интегрируема на (∞; +∞
∞
|
∞
()|
=
2. Функция () удовлетворяет условиям Дирихле на любом конеч-
ном промежутке числовой оси
(
∞; +∞
)
.
Следовательно, по теореме 3.7 функция () может быть представле-
на интегральной формулой Фурье (3.27) в точках ее непрерывности, т. е.
R\-1;2:
(
∞
1
)
=
()cos ()
∞
∞
178
=
=
=
3
3
∞
sin (2 )
∞
1
(
∞
1
=
3 cos ()
∞
3
=
sin ()
sin (1 )
sin (2 ) + sin (1 + ))
=
=
=
∞
6
=
1
(2 )+ (1 +
sin
Ответ. () =
=
6
2
∞
1
sin
sin
3
cos
cos
2
()
)
(2 )(1 +
cos
(1 2)
2
2
.
, R\-1;2.
)
Рассмотрим важные частные случаи формулы (3.28).
Случай 1
Пусть () – четная функция.
Тогда из формулы (3.29), учитывая, что функция () cos – четная,
а функция () sin – нечетная, имеем
=
() =
() cos
, () =
∞
() sin
∞
Тогда формула (3.28) примет вид
∞
2
)
=
(
∞
=
()cos
∞
() cos
cos
=
. (3.30)
Пример 3.20. Представьте интегралом Фурье функцию
1,3 < < 3
() =
0,||3.
179
= 0.
Решение. Функция () – непериодическая, задана на всей числовой
оси. График функции () показан на рис. 3.14.
1. Функция () абсолютно интегрируема на (∞; +∞
∞
∞
|
()|
=
= 6.
)
:
2. Функция () удовлетворяет условиям Дирихле на любом конеч-
ном промежутке числовой оси
(
∞; +∞
)
.
f (x)
1
-3 О 3 x
1,3 < < 3
Рис. 3.14. График функции () =
0,||3
Следовательно, по теореме 3.7 четная функция () может быть
представлена интегралом Фурье (3.30) в точках ее непрерывности
R\-3;3:
∞
cos =
cos
∞
=
sin 3cos
.
=
∞
2
)
(
∞
=
()cos
cos
Ответ. () =
sin 3cos
, R\-3;3.
180