Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
=
1
2
(
4
42
)
cos
4
16
+
cos
4
2
4
cos
4
=
=
2
2cos
=
=
4
4
cos
(
+
1 +
(2)
4
(1))
После подстановки коэффициентов получим искомый ряд Фурье.
Ответ. (
)
=
cos 0+
4
+
+
∞
32
8
cos
sin
sin
((
4
4
sin 0=
)
)
4
cos +
sin
4
cos cos
4
cos
, (0,4).
((
4
=
4
=
)
)
.
201
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
=
.
= 4
.
=
.
=
.
=
.
= 5
=
.
=
=
+
=
=
.
=
=
=
.
25. Ряд сходится.
26. Ряд сходится.
27. Ряд сходится.
=
0
29. Нет, так как
не существует.
30. Да, так как
= 0.
31. Да, так как
= 0.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
4.
=
=
7. =
=
8. =
9. =
10.
=
11.
. 2.
. 5. =
,
,
,
,
=
=
=
=
(1)
()
=
()
. 3.
. 6.
.
,
,
,
,
12.
=
=
=
=
()
(1)
1
,
)
=
,
=
(
=
=
,
,
.
!
=
.
.
.
.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
14.
16.
.
18.
20.
22.
.
24.
28. Нет, так как
∞
.
.
.
.
∞
.
∞
∞
202
32. Нет, так как
∞
= 1 0
33. Нет, так как
= 0
34. Ряд расходится.
35. Ряд сходится.
36. Ряд расходится.
37. Ряд расходится.
38. Ряд сходится.
39. Ряд расходится.
40. Ряд сходится.
41. Ряд сходится.
42. Ряд расходится.
43. Ряд сходится.
44. Ряд сходится.
45. Ряд сходится.
46. Ряд расходится.
47. Ряд сходится.
48. Ряд сходится.
49. Ряд сходится.
50. Ряд сходится.
51. Ряд сходится.
52. Ряд сходится.
53. Ряд расходится.
54. Ряд сходится.
55. Ряд расходится.
56. Ряд расходится.
57. Ряд сходится.
58. Ряд сходится.
59. Ряд сходится.
60. Ряд расходится.
61. Ряд расходится.
62. Ряд расходится.
63. Ряд расходится.
64. Ряд расходится.
65. Ряд сходится.
66. Ряд сходится.
67. Ряд расходится.
68. Ряд расходится.
69. Ряд сходится.
70. Ряд расходится.
71. Ряд расходится.
72. Ряд сходится.
73. Ряд сходится.
74. Ряд сходится.
75. Ряд сходится.
76. Ряд сходится.
77. Ряд сходится.
78. Ряд сходится.
79. Ряд расходится.
.
∞
.
203
80. Ряд сходится.
81. Ряд сходится.
82. Ряд расходится.
83. Ряд сходится.
84. Ряд расходится.
85. Ряд расходится.
86. Ряд сходится.
87. Ряд сходится.
88. = 0,32.
89. = 0,64.
90. = 0,11.
91. = 0,632.
92. = 0,82.
93. = 0,393.
94. = 0,14.
95. Ряд сходится условно.
96. Ряд расходится.
97. Ряд расходится.
98. Ряд сходится абсолютно.
99. Ряд сходится условно.
100. Ряд сходится условно.
101. Ряд сходится абсолютно.
102. Ряд расходится.
103. Ряд сходится абсолютно.
104. Ряд сходится абсолютно.
105. Ряд сходится абсолютно.
106. Ряд сходится абсолютно.
107. Ряд расходится.
108. Ряд сходится условно.
109. Ряд сходится абсолютно.
110. Ряд расходится.
111. Ряд сходится абсолютно.
112. Ряд сходится абсолютно.
113. Ряд сходится абсолютно.
114. Ряд расходится.
115.
(
∞;1
)
.
116.
{0}
.
117.
{0}
.
118.
(
∞;+∞
)
.
119.
(
∞;1)(1;+∞
)
.
120. (10; 0
)
.
121. (∞; 5) (7;+∞
)
.
122.
(
∞;+∞
)
.
123.
2; 00;2
124.
(
6; 10
)
.
125.
(
∞;1)(1;+∞
)
.
126.
(
0;+∞
)
.
127. (0; 1
)
.
128. (∞;1) (1;+∞
)
.
.
204
129. Ряд равномерно сходится.
130. Ряд равномерно сходится.
131. Ряд равномерно сходится.
132. Ряд равномерно сходится.
133.
3;
3
134.
[
0; 2
]
.
135.
(
5; 5
)
.
;
137.
(
2; 8
)
.
138. (5; 9
)
.
139.
[
3;1
]
.
140.
(
4; 2
)
.
141.
[
2; 4
]
.
142.
{0}
.
143. (1; 1).
144. (; +).
145.
(
4; 4
)
.
146. (6; 12
)
.
147. (12;8
)
.
148.
[
1; 1
]
.
149.
(
4; 10
)
.
150.
(
6; 0
)
.
(
)
=
+
ln
(
)
=
(
)(
)
+ 1
(
)
=
(
)
()= +
ln
(
)
=
ln
arctg.
156. ()= (1
)ln(
1 )+
.
157. (
)=(
1
)ln(
1
)
+
.
()=
ln
(
1
)
ln
159. (
)=(
1 +
)ln(
1 + ).
()=
arctg
.
.
151.
152.
.
136.
.
.
153.
154.
155.
158.
160.
.
.
.
205
161.
(
)
=
(
1)
(
1
)
+
(
1
)
+ =
=
(1)
(
1
)
,
<
(
)
=
!
(
3
)
+
!
(
3
)
!
(
3
)
+. . . =
=
1
2
(1
)
1 3 5 . . .(21
)
2
!
(
3
)
,1 < 7.
()= 1
!
+
!
!
+ =
= 1 + (1
)
(2)
!
2
, .
164. (
)
= 1 +
(
2
)+(
2
)
+
(
2
)
+ =
(
2
)
∞
,
1 < < 3.
165. (
)
=
=
1
+
+
+
+ . . . =
=
(1)
()= 3(+
+
+
+
+
+
+ . . . )
(
)
= ln 3 +
+
+
+
+
15309
. . . = ln 3 + (1
)
3
.
168. ()= + 35+ 1121 + 43. ...
()= 1 + 22
+
+
+ . ..
(
)
=
+
+
+
+
+. ..
()= 5(2+
+
+
+
+ . . . )
()= 1 + 4+
+ 9
+
+
+
+
+ . ..
∞
.
162.
163.
∞
∞
2
∞
.
166.
167.
∞
16384
169.
170.
171.
172.
206
4
.
.
.
.
.
173.
()= 16
+
+
+. ..
()= 2+
+
+
+
+. ..
()=
. ..
()= 39
+
+ 2187
+. ..
()= ln 4 +(ln 2 1)+
+
+
+
+ . ..
()= 927
+
+
+. ..
(
)
= ln 5 +
+
+
+. ..
()= 1 + ln5 +
(
2 + ln5
)
!
+(6ln5 + ln5
)
!
+
+(12ln5 + ln5
)
4!
+(20ln5 + ln5
)
5!
+. . ..
181. (
)
=
= 1 + 3(2
)
+
(
2
)
+
(
2
)
+
(
2
)
+ =
=
!
()= 1
+
+ =
=
(1)
()
!
(
)
= 1 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+ =
= 1 +
(1)
184. ()= 4 3(4
)
+ 3
(
4
)
3(4
)
+ 3
(
4
)
3(4
)
+. . . = 4 + 3 (1
)
(
4
)
.
.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
.
.
.
.
.
.
182.
183.
∞
(
)
.
.
∞
.
(
)
∞
.
∞
207
185.
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
(
)
=
2
(1)
(2)
!
+
3
+
2
(1)
(
21
)
!
+
3
.
()= 3 1 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. . .
()= 2 1 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. . .
(
)
= 1 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. ..
(
)
= 21 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. . .
()= 1
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+. ..
(
)=(
1)2(1
)
+
(
1
)
4(1
)
+
(
1
)
. . . =
=
(
1
)
(
1
)
.
(
)
= 1 +
(
1)
(
1
)
+
(
1
)
(
1
)
+
+
(
1
)
. . . = 1 +
(1)
(
1
)
.
()=
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. ..
(
)
=
1
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+. . .
()= 3 1 +
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
. . .
196. (
)
=
1 2
+ 2
+
+
. . . =
(1)
!
.
+
186.
187.
188.
189.
190.
+
1
. .. или
1
3
1
.
.
.
.
191.
192.
193.
194.
195.
∞
∞
.
.
.
∞
(
)
208
197. 7,389.
198. 0,368.
199. 0,607.
200. 1,396.
201. 0,135.
202. 1,609.
203. -0,105.
204. 0,182.
205. 0,602.
206. 0,903.
207. 0,017.
208. 0,052.
209. 0,174.
210. 0,999.
211. 0,988.
212. 1,183.
213. 3,033.
214. 2,025.
215. 6,464.
216. 0,499.
217. 1,0196.
218. 0,331.
219. 2,006.
220. 2,0296.
221. 0,041.
222. 0,473.
223. 0,353.
224. 0,1003.
225. 0,461.
226. 0,499.
227. 0,366.
228. 0,299.
229. 0,855.
230. 0,668.
231.
(
)
=
+
()
cos +
(
)(
)
sin
,
\{,
}
()=
()
sin
, \{,
}
(
)
=
+
()
cos +
(
)(
)
sin
,
\{,
}
(
)
=
+
()
cos +
(
)(
)
sin
,
\{,
}
(
)
=
+
(
)
cos +
(
)
sin
,
\{,
}
(
)
=
+
(
)
cos +
(
)
sin ,
\{,
}
∞
.
232.
233.
234.
235.
236.
∞
∞
.
∞
.
∞
.
∞
.
.
209
237.
(
)
=
+
(
)
cos
+
+
sin
, \{,
}
238. (
)
=
+
sin
, \{,
}
(
)
= 1 + 2
()
sin
, [,
]
(
)
=
+ 4
()
cos
, [,
]
()= 1 + 2
(1)
sin
, [,
]
(
)
=
+ 4
()
cos
, [,
]
(
)
=
+ 8
(1)
cos
, [,
]
(
)
= 2 + 2
()
sin
, [,
]
245. (
)
= 4 +
(
0 cos + 0 sin
)
∞
, [0,2
]
.
246. ()= 1 +
(
0 cos + 0 sin
)
∞
, [0,2
]
.
()= 1 2
, [0,2
]
()= + 2
, [0,2
]
()= 2 212
cos
+
sin
, [0,2
]
(
)
=
+ 4
4
, [0,2
]
251. (
)
= 2 +
(
0 cos 2+ 0 sin 2
)
∞
, [0,
]
.
252. ()= 3 +
(
0 cos + 0 sin
)
∞
,
[
1,3
]
.
()= 5
,
[
4,6
]
∞
(
∞
)
.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
=
∞
+
(
(
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
)
)
cos
+ .
.
.
.
.
.
.
.
247.
248.
249.
250.
253.
∞
∞
∞
∞
∞
.
∞
∞
.
210
.
.
.