Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Для нахождения области сходимости ряда (2.1) можно использовать
стандартные ряды и достаточные условия сходимости числовых рядов.
Пример 2.1. Найдите область сходимости ряда
Решение. При > 1 ряд
сходится, а при 1 ряд расходится.
.
∞
Ответ. Область сходимости ряда (1; +∞).
()
∞
Пример 2.2. Найдите область сходимости ряда
()
()
сходится как ряд Лейбница, значит,
расходится, так как необходимое условие
Решение. При > 1 ряд
()
∞
абсолютно сходится.
При 0 < 1 ряд
()
∞
ряд
условно сходится.
При 0 ряд
∞
()
=
сходится, значит, ряд
.
сходимости не выполняется.
Ответ. Область сходимости ряда (0; +); при > 1 ряд абсолютно
сходится, при 0 < 1 ряд условно сходится.
()
∞
|
.
|
на сходимость,
Пример 2.3. Найдите область сходимости ряда
Решение. Исследуем ряд
|
()
|
=
применяя признак Коши:
=
Так как < 1, ряд
()
∞
абсолютно сходится.
∞
|
()
|
=
|
∞
|
сходится (; +
|
|
=
∞
||
= 0.
)
, значит, ряд
Ответ. Область сходимости ряда
71
(
∞; +∞
)
.
Пример 2.4. Найдите область сходимости ряда
Решение. Исследуем ряд
|
()
применяя признак Даламбера:
|
|
=
∞
ln
ln
.
|
на сходимость,
=
При < 1 ряд
∞
|
ln
|
|
|
()
=
|
()
|
сходится, значит, ряд
∞
|
|
ln
|
.
∞
ln
абсолютно
=
|
сходится.
При > 1 ряд
|
ln
|
расходится, общий член ряда
|
ln
|
не
стремится к нулю при , а это означает, что расходится и ряд
∞
ln
.
Решаем неравенство < 1:
|
ln |< 1 1 < ln < 1< < .
При < 1, т. е. при (; ), ряд
При > 1, т. е. при (;
)(
∞
ln
; +
абсолютно сходится.
)
, ряд
∞
ln
расхо-
дится.
Отдельно рассмотрим точки = , = .
=
= :
:
∞
∞
ln
ln
=
=
∞
∞
(1)
(1)
– ряд расходится.
– ряд расходится.
Ответ. Область сходимости ряда (; ).
Пример 2.5. Найдите область сходимости ряда
Решение. Исследуем ряд
|
()
применяя признак Даламбера:
|
=
∞
|
При < 1
()
()
|
=
|
∞
< 1 > 0 ряд
()
()
∞
∞
|
=
∞
()
на сходимость,
=
.
.
абсолютно
сходится.
72
∞
При > 1, т. е. при < 0, ряд
Отдельно рассмотрим точку = 0.
()
∞
Ряд
является рядом Лейбница, сходится.
()
расходится.
Ответ. Область сходимости ряда
[
0; +). При (0; +∞) ряд абсо-
лютно сходится.
2.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
2.2.1. Равномерная сходимость ряда
Определение 2.6. Говорят, что последовательность функций
(), (), . . . . (), …
поточечно сходится к функции () на множестве , если для каж-
дого справедливо равенство
т. е.
(
)(> 0)(
() =
)(
)(> |() ()|<
(), (2.2)
∞
)
.
Обозначение поточечной сходимости: () () при ∞.
Поточечная сходимость последовательности функций
()
,
()
, . . . .
()
, …
к функции () на множестве X означает, что , > 0 существует
номер , начиная с которого (>
|
() ()|< . (2.3)
) выполняется неравенство
Число зависит не только от > 0, но и от числа х.
73
Если зависит только от > 0 и не зависит от и при >
выполняется неравенство (2.3), то говорят, что функциональная последовательность
(), (), . . . . (), …
сходится равномерно к функции () на множестве X.
Определение 2.7. Последовательность функций
(), (), . . . . (), …
называется равномерно сходящейся к функции () на множестве ,
если
(
> 0)(
)(
)(> |() ()|< ,
)
. (2.4)
Обозначение равномерной сходимости: () () при ∞.
Если последовательность функций равномерно сходится к функции
() на множестве, то она поточечно сходится на этом множестве, причем
к той же самой функции (). Обратное не всегда верно.
Из единственности предела следует, что в случае сходимости (и тем
более равномерной) последовательности функций на некотором множе-
стве предельная функция определяется однозначно.
Определение 2.8. Ряд
()
называется равномерно сходящимся
к некоторой функции () на множестве X, если его последовательность
частичных сумм
(
()) равномерно сходится к функции () на множе-
стве X.
Геометрическое истолкование равномерной
сходимости ряда
Все графики функций = () ряда для всех , начиная с не-
которого номера
, будут расположены между графиками функций
= () , = () + (рис. 2.1).
74
y=S(x)
y=S(x)+ε
y=S(x)-ε
x
O
y
y=Sn(x)
X
Рис. 2.1. Графики функций = (), = ()+ , = ()
Замечание. Если ряд
()
равномерно сходится к функции
(), то он поточечно сходится к (), () будет суммой данного ряда на
множестве X.
2.2.2. Признак Вейерштрасса
Рассмотрим достаточные условия равномерной сходимости функцио-
нального ряда.
Теорема 2.1 (Признак Вейерштрасса). Пусть для ряда
ществует знакоположительный числовой ряд
такой, что выпол-
()
су-
няются два условия:
стве А.
и 2) теоремы Вейерштрасса, называется мажорантным рядом по отноше-
нию к ряду
множестве А.
1) ряд
сходится;
2) , справедливо неравенство |()|
∞
()
()
сходится равномерно и абсолютно на множе-
. Ряд
, для которого выполнены условия 1)
∞
()
75
называется мажорируемым на
Тогда ряд
Определение 2.9. Ряд
.
Замечание. Существуют немажорируемые ряды, которые являются
равномерно сходящимися.
Пример 2.6. Проверьте равномерную сходимость ряда
Решение. Так как
/
ся, то по признаку Вейерштрасса ряд
, и ряд
/
/
равномерно сходится на
/
=
.
/
сходит-
(
∞; +∞
)
.
Ответ. Ряд сходится равномерно на
(
∞; +∞
)
.
2.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
Напомним, что сумма конечного числа непрерывных функций есть
функция непрерывная. В случае суммы бесконечного числа непрерывных
функций это свойство не сохраняется, т. е. сумма бесконечного числа непрерывных функций может быть разрывной функцией.
Например, все члены ряда
()
=
(
непрерывны при
)
любом .
При = 0,
(0)
= 0, 1, ряд сходится и его сумма
(0)
= 0.
При 0 это ряд геометрической прогрессии,
()
=
, 0 < =
< 1,
ряд сходится и его сумма равна (
)
=
= 1.
0, = 0
Таким образом, ()=
имеет разрыв (I рода) при = 0.
1, 0
Достаточное условие непрерывности суммы бесконечного числа не-
прерывных функций дает следующая теорема.
Теорема 2.2 (Непрерывность суммы ряда). Пусть все члены функцио-
нального ряда
()
непрерывны на отрезке [, ], ряд
()
равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма () этого ряда
также непрерывна на отрезке [, ].
76
Следствие 2.1. Если все члены функционального ряда
прерывны на отрезке [, ], ряд
()
мажорируем на отрезке
()
не-
[, ], то его сумма () непрерывна на отрезке [, ].
∞
Доказательство. Ряд
()
, члены которого непрерывны на от-
резке [, ], мажорируем на отрезке [, ]. Тогда по теореме 2.1 ряд равномерно сходится на отрезке [, ].
По теореме 2.2 сумма () ряда непрерывна на отрезке [, ].
Теорема 2.3. (Почленное интегрирование функциональных рядов).
Если все члены ряда
()
непрерывны на отрезке [, ] и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то сумма () этого ряда интегрируема на [, ] и имеет место равенство
()=
при этом ряд
∞
()
В этом случае говорят, что ряд
сходится равномерно на [, ].
()
, [, ],
()
почленно.
Пример 2.7. Докажите, что для любого (1,1) ряд
+
+ + (1)
сходится, и найдите его сумму.
Решение. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии
можно интегрировать
+ (2.5)
1 + + + (1)+ . (2.6)
Ряд (2.6) сходится при || < 1, его сумма =
||
< 1. Тогда () =
.
Возьмем любое число (1; 1), 0.
77
, где = 1, =
,
Для [0; ] ряд
1 + + + (1)+ (2.7)
сходится равномерно
1
.
Члены ряда (2.7) непрерывны на отрезке [0; ].
Из теоремы 2.3 следует, что ряд (2.7) можно почленно интегрировать
на отрезке [0; ], а сумма получившегося ряда
1
+
+ + (1)
+ (2.8)
известна и равна интегралу от суммы ряда (2.7) на отрезке [0; ]:
()=
= arctg .
С другой стороны, ряд (2.8) совпадает с рядом (2.5).
Таким образом, ряд (2.5) сходится для (1; 1) и сумма его
+
+ + (1)
+ = arctg . (2.9)
Равенство (2.9) верно не только для 0, но при = 0.
Теорема 2.4 (Почленное дифференцирование функциональных рядов).
Пусть функции (), , имеют непрерывные производные на
некотором промежутке Х и ряд
этом промежутке. Пусть ряд
ке , т. е. сходится ряд
()
(
()
равномерно сходится на
сходится хотя бы в одной точ-
)
. Тогда ряд
()
сходится
в каждой точке и для его суммы S(x) имеет место равенство
Более того, ряд
() =
∞
()
равномерно сходится на каждом отрезке
(),
.
[, ], содержащемся в промежутке Х.
В этом случае говорят, что ряд
()
можно почленно диффе-
ренцировать на промежутке X.
1
Это следует из признака Вейерштрасса, так как || || и |(1)| для [0; ]
∞
сходится.
и
78
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
№ 117.
()
∞
.
№ 118.
∞
.
()
()
№ 122.
3tg
∞
.
№ 123.
(
1
)
∞
.
()
∞
1. Функциональные ряды.
2. Область определения функционального ряда.
3. Область сходимости функционального ряда.
4. Поточечная сходимость функционального ряда.
5. Поточечная сходимость последовательности функций.
6. Равномерная сходимость последовательности функций.
7. Равномерная сходимость функционального ряда.
8. Теорема Вейерштрасса (достаточные условия равномерной сходи-
мости ряда). Мажорантный ряд.
9. Свойства равномерно сходящихся рядов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найдите области сходимости следующих рядов:
№ 115.
№ 119.
№ 121.
№ 125.
№ 127.
∞
∞
∞
.
.
.
№ 116.
№ 120.
№ 124.
∞
∞
.
.
№ 126.
№ 128.
∞
∞
∞
.
.
.
.
∞
.
Используя признак Вейерштрасса, докажите равномерную сходи-
мость функциональных рядов в указанных промежутках:
№ 129.
№ 131.
№ 132.
∞
()
∞
, (∞; +∞
, (1 + , +
,
(
0; +∞
)
. № 130.
)
, где > 0.
)
.
79
∞
, [2,2]
.
2.3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2.3.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости
Определение 2.10. Степенным рядом называется функциональный
ряд
+ () + ()+ + ()+ =
=
∞
()
, (2.10)
где , , , , … ,
Числа , , , . . . ,
, … – заданные действительные числа.
, … называются коэффициентами степенного
ряда.
В частности, если = 0, то получим степенной ряд
+ + +. . . . +
+. . . =
∞
. (2.11)
В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды (2.11), поскольку
всякий степенной ряд (2.10) подстановкой = ′ преобразуется к ряду
вида (2.11).
Ряд (2.11) при = 0 сходится всегда.
Теорема 2.5 (Теорема Абеля). Если степенной ряд
схо-
дится в точке = (0), то он сходится и притом абсолютно
для любого x, удовлетворяющего условию
||<|
|
, т. е. в интервале
(
|
|,|
)
|
.
Доказательство. По условию теоремы ряд
Тогда по необходимому признаку сходимости
да следует, что
Пусть
||<|
{
(
}
)
– ограничена, т. е.
> 0: |(
|
и =
< 1.
|
)
, = 0,1,2, ….
80
(
)
(
сходится.
)= 0. Отку-