Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Запишем формулу Тейлора (2.20) в следующем виде:
()
(
!
)
(
)
+
, (2.24)
() = (
где = + (
′
(
) +
)
() + +
1!
()
+
) лежит между x
()
()!
(
0
)
и x, 0 < < 1.
Замечание:
1) из (2.24) при = 0 получим формулу Лагранжа
() = () + ′()(
);
2) выражение для остаточного члена () не дает возможности вы-
числять его величину, так как неизвестна точка ξ, в которой берётся
()
лива формула Тейлора (2.20),
().
Утверждение 2.1. Пусть в окрестности (
()
() ограничена, т. е.
)
, в котором справед-
> 0:
()
(), .
Тогда () удовлетворяет неравенству
|
()|
|
()!
|
, (
)
.
Доказательство.
|
()|=
()
(
(
()!
)
)
(
)
|
()!
|
.
2.4.2. Разложение функции в ряд Тейлора
Пусть функция () имеет в окрестности (
)
точки
производ-
ные всех порядков. Тогда число слагаемых в правой части формулы (2.20)
можно неограниченно увеличивать:
(
) +
′(
!
)
(
)+. . . +
91
()
(
)
!
(
)
+ . (2.25)
Определение 2.13. Ряд (2.25) независимо от того, сходится он к функ-
ции () или нет, называется рядом Тейлора для функции ().
Ряд (2.25) при
= 0 имеет вид
(0) +
′()
!
+ ... +
()
()
!
+ ... . (2.26)
Ряд (2.26) называется рядом Маклорена.
Определение 2.14. Если (
′(
)
() = (
) +
!
(
) + ... +
)
имеет место равенство
()
(
)
!
(
)
+ ... , (2.27)
то функция () называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности
точки (или по степеням
Если функция () разлагается в ряд по степеням
).
, то такой
ряд единственный, и он является рядом Тейлора для данной функции
в точке
.
2.4.3. Условия разложимости функции в ряд Тейлора
Теорема 2.12 (необходимое условие разложимости функции в ряд
Тейлора). Если функция () разложима в ряд Тейлора в окрестности
точки , то функция () бесконечно дифференцируема в этой точке.
Обратное не всегда верно:
Если функция () бесконечно дифференцируема в точке
, то для
функции () можно формально построить ряд Тейлора (2.25) в этой точке, но не всегда ряд Тейлора представляет функцию (), т. е. имеет место
равенство (2.27).
Возможны следующие случаи.
1. Ряд Тейлора расходится. Тогда ряд не представляет функцию ().
2. Ряд Тейлора сходится в окрестности некоторой точки к другой
функции. Тогда ряд не представляет функцию ().
3. Ряд Тейлора сходится к функции (). Тогда ряд представляет
функцию ().
92
Приведем пример, относящийся к случаю 2. Рассмотрим функцию
0, = 0
()=
, 0.
Функция (
)
бесконечное число дифференцируема на всей числовой
оси, в том числе и в точке x = 0 и производные
Действительно,
2
=
= lim
= lim
= lim
, 0;
= lim
, 0;
4
4
(0)
= lim
(0)
= lim
()(0)
0
()
()(0)
= lim
4
()
=
0
6
()
1
(0)
6
= 0.
= lim
6
= 0 .
= 0;
=
Так как при 0 экспонента убывает быстрее любой степенной
функции, то и производные любого порядка в точке = 0 будут равны
()
нулю. Поэтому смело можно заключить, что
(0)
= 0 для любого нату-
рального .
Следовательно, ряд Маклорена функции (
(
)
~0 +
!
+
+ +
!
Сумма этого ряда равна нулю и не совпадает с (
93
)
будет иметь вид
!
… .
)
.
Перейдем теперь к выяснению условий, при которых возможен
случай 3.
Когда ряд Тейлора представляет собой заданную функцию (),
т. е. функция () является суммой ряда Тейлора?
Пусть
()
(
)
() = () + ()(
) +
!
(
)
–
n-я частичная сумма,
() = () () –
остаточный член ряда Тейлора.
Теорема 2.13 (Необходимое и достаточное условие разложимости
функции в ряд Тейлора). Для того чтобы ряд Тейлора функции () имел
своей суммой функцию (), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда Тейлора стремился к нулю при :
() = 0.
∞
Доказательство.
Необходимость. Ряд Тейлора функции ()
′(
(
) +
сходится в окрестности (
1!
)
(
)+. . . +
)
точки к функции (), т. е.
() = ().
∞
Так как () = () + (), имеем
()
(
!
() = 0.
∞
)
(
)
+
Достаточность. Пусть
∞
() =
∞
[
∞
Теорема доказана.
() = 0. Тогда
() ()]= () 0 = ().
94
Теорема 2.14 (Достаточные условия разложимости функции в ряд
Тейлора). Если функция () бесконечно дифференцируема в окрестно-
сти (
то (
)
точки и > 0 такая, что
()
|
)
ряд Тейлора функции () сходится к самой функции.
()| , , (
Доказательство. Надо показать, что
()
()
()
|
()|=
Ряд
∞
Следовательно,
((
()!
()
=
=
∞
|
|
()!
|
()!
(
)
(
|
сходится . Действительно,
)
!
|
|
()!
|
= 0. Откуда
)
|
() = 0.
∞
|
=
∞
)
,
()!
|
|
,(
∞
|
() = 0.
= 0 < 1.
)
.
Теорема доказана.
Теорема 2.15. Если функция () бесконечно дифференцируема в ок-
рестности (
то (
)
точки и > 0 такая, что
()
|
()| , , (
)
ряд Тейлора функции () сходится к самой функции.
)
,
Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора
Для разложения заданной бесконечно дифференцируемой функции
() в ряд Тейлора в окрестности точки
1) найти производные
()
, … ,
()
нужно:
()
, … функции ();
2) вычислить значения функции () и её производных в точке
:
(
′
)
(
)
, … ,
,
()
(
)
, …;
95
3) формально составить ряд Тейлора для функции ():
()
!
(
)
(
)
+
(
) +
′(
1!
)
(
)+. . . +
и найти область сходимости полученного ряда;
4) вычислить, для каких x из области сходимости остаточный член
ряда Тейлора стремится к нулю при :
() = 0.
∞
Пример 2.18. Разложите функцию () = cos в степенной ряд
в окрестности точки
=1.
Решение. Найдем производные функции () = cos :
′() = sin = cos +
,
″() = cos = cos + 2
‴() = sin = cos + 3
()
() = cos = cos + 4
,
,
…,
()
() = cos +
, .
Вычислим значения функции и ее производных при
(1) = cos = 1,
′(1) = 0, ″(1) =
, …,
,
= 1:
()
()
(1) = 0, , 0;
(1) = , , > 0.
96
Запишем ряд Тейлора для заданной функции cos :
1 +
(1)
2
(1)+ ... + (1)
24
(2)
(1)
!
Очевидно, что
|
()
()| = cos +
, , .
По теореме 2.15 ряд Тейлора функции () сходится к этой функции
.
Ответ. cos = 1 +
… + (1)
(1)
(1)+ , .
()!
(1)+
!
+ ... .
2.4.4. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций
1. Разложение в ряд Маклорена функции () =
Разложим в ряд Маклорена функцию () =
.
Данная функция бесконечно дифференцируема:
()
() = , .
Значения функции и ее производных в точке х = 0:
()
(0) = 1.
, где h – любое фиксированное число:
)
.
Рассмотрим интервал
()
()= || = , (ℎ, ℎ
(0) = 1,
(
ℎ, ℎ
)
По теореме 2.14 разложение в ряд Маклорена для функции () =
имеет место ввиду произвольности h:
= 1 +
!
+
!
+
+. . . +
!
97
!
+. .., . (2.28)
2. Разложение в ряд Маклорена функции () = sin
Данная функция бесконечно дифференцируема:
()
() = sin +
, .
Значения функции и её производных в точке = 0:
(0) = 0, (0) = 1, "(0) = 0, (0) = 1,
()
(0) = 0
и т. д.
()
()= sin +
1, .
По теореме 2.14 ряд Маклорена для функции сходится к ней на
всей числовой оси:
sin =
+
. . . +(1)
!
!
()!
+. .., . (2.29)
Заметим, что нечетная функция sin раскладывается в ряд только по
нечетным степеням x.
3. Разложение в ряд Маклорена функции () = cos
Данная функция бесконечно дифференцируема:
, .
()
()
= cos +
2
Значения функции и её производных в точке = 0:
(0) = 1, (0) = 0, "(0) = 1, (0) = 0,
()
(0) = 1
и т. д.
()
()= cos +
98
1, .
По теореме 2.14 ряд Маклорена для функции () = cos сходится
к ней :
cos = 1
!
+
... + (1)
!
+ ... , . (2.30)
()!
Заметим, что четная функция cos раскладывается в ряд только по
четным степеням.
4. Разложение в ряд Маклорена функции () = (1 + )
Разложим в ряд Маклорена функцию () = (1 + ), где .
Данная функция бесконечно дифференцируема:
′() = (1 + )
()
() = (1) … ((1))(1 + )
, "() = (1)(1 + )
,... ,
,... .
Вычислим значения функции и ее производных в точке = 0:
(0)
= 1,
()
(0)
′
(0)
= , "
= (1
(0)
)…(
= (1
+ 1
)
,... .
)
, … ,
Составим формально ряд Маклорена:
1 + +
(1)
2!
+. . . +
(1). . . ((1))
!
+. . . .
Найдем область сходимости данного ряда.
Найдем предел абсолютной величины отношения последующего чле-
на к предыдущему:
)
(1)… (1)
:
!
∞
(1)… (1)(
(
+ 1
)
!
=
=
||
∞
99
=|
|
.
По признаку Даламбера ряд сходится при
||
> 1.
||
< 1 и расходится при
!
|
< 1.
при
+. ..,
||
< 1:
||
< 1. (2.31)
Можно доказать, что
() = 0 при |
Биномиальный ряд представляет функцию (1 + )
(1 + )= 1 + +
()
!
+. . . +
()...(())
Замечание:
1) если , то ряд справа содержит всего (+ 1) слагаемых и пре-
вращается в формулу бинома Ньютона;
2) если > 0, то ряд сходится к функции (1 + )
при
||
1.
Приведем часто используемые случаи формулы (2.31), соответству-
ющие значениям = 1,
= 1 + +. . . +(1)+. . . , 1 < < 1, (2.31а)
,
:
= 1 + + +. . . ++. . . , 1 < < 1, (2.31б)
1 + = 1 +
… + (1)
= 1
. . . +(1)
…(
…(
...
+
...
)
+
+. ...
+. . ., 1 1, (2.31в)
)
+
. ...
+. . ., 1 < 1. (2.31г)
5. Разложение в ряд Маклорена функции () = ln( 1 + )
Разложим в ряд Маклорена функцию () = ln( 1 + ).
Воспользуясь разложением (2.31а), применим теорему об интегриро-
вании степенных рядов и проинтегрируем ряд (2.31а) в пределах от 0 до x.
Поскольку
= ln( 1 + )
|
= ln( 1 + ),
100