Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
2.5.
,
,
,
1 + 3
,
,
cos
,
sin
,
.
1 +
,
cos
sin
,
1 + 3
,
,
,
(
)
(
)
,
1 +
(
)
,
,
.
2.6.
.
2.7.
2.9.
2.11.
2.13.
2.15.
2.17.
2.19.
2.21.
2.23.
. 2.8.
.
.
2.10.
2.12.
. 2.14.
.
.
.
.
2.16.
2.18.
2.20.
2.22.
2.24.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.25.
2.27.
2.29.
.
. 2.26.
2.28.
.
2.30.
.
.
.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Найдите область сходимости степенного ряда
(
(
1
)
Решение. Найдем интервал сходимости с помощью признака Далам-
бера, т. е. из условия
)
.
121
()
()
< 1.
Имеем
()
|
()
|
Вычислим предел
3+ 1|+ 5
=
|
=
3+ 1
32
|
= (1
|
=
()
()
5
+ 5
|
+ 5
)
()
()
=
|
|
|
5
5
(
)
|
|
=
=
3+ 1|+ 5
5
32|+ 5
5
5
32|+ 5
=
3+ 1
32
|
|
|
|
|
=
|
|+ 5|
|
=
,
.
1
=
5
=
Решим неравенство
|
|
|
|
< 1, откуда
|
|
=
|
+ 5|< 25, 25 < + 5 < 25,
< 1.
окончательно имеем 30 < < 20.
Следовательно, интервал сходимости
(
30; 20
)
.
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
Пусть = 30, тогда получим ряд
(1
32(30 + 5
)
=
5
(1)
)
= (1
=
)
32(25
5
32
5
.
)
=
Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходи-
мости:
=
122
32 = 0.
Пусть = 20, тогда получим ряд
(1)
(
)
=
(1)
=
(1)
32
Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходи-
мости ряда.
Ответ. Область сходимости ряда
(
30; 20
)
.
Задание 2. Используя разложение подынтегральной функции в сте-
пенной ряд, вычислите интеграл
с точностью до 0,001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции
= cos :
cos = 1
!
+
!
!
+
!
!
+ ... .
.
Заменяя в этой формуле на 2 и выполняя действия в подынтеграль-
ной функции, получим
cos 2= 1
=
= 1 2
()
!
+
=
+
()
!
...
= 2
()
+
!
+
+
()
!
()
!
+ ... ,
...
+ =.
=.
+
... .
Далее, интегрируем почленно полученное выражение на отрезке [0; 1
]
и получим
=
2
+
123
+
. . . =
.
=
= 1
+
+
+
+
... .
=.
Так как
< 0,001, то для вычисления интеграла с точностью до
0,001 достаточно взять три члена ряда:
1
+
0,848.
Ответ. 0,848.
Задание 3. Используя разложение подынтегральной функции в сте-
пенной ряд, вычислить интеграл
1 +
с точностью до 0,001.
.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде
1 +
(
=
1 +
)
.
Воспользуемся биномиальным рядом:
(1
(
1 +
)
= 1 + +
(1)(2)(3
+
Положив в этой формуле =
1
(
1 +
)
= 1 +
1
+
3
3
1
(
1 +
)
+
1
3
3
= 1 +
1
1
3
1
3
)
(1)(2
+
2!
)
4!
и заменяя на
1
3
1
1
3
+
2!
1
2
3
3
4!
1
9
5
+
81
1
3
3!
+ ... .
, получим
1
3!
+ ... ,
10
243
1
3
)
2
+ … .
+
+
124
Далее, интегрируем почленно полученное выражение на отрезке
[
0; 0,5
=
]
и получим
= 1 +
,
|
+
Так как
,
.
,
1
3
,
1 +
+
1
9
=
5
+
81
,
< 0,001, то для вычисления интеграла с точностью до
0,001 достаточно взять два члена ряда:
,
1 +
+
0,5 + 0,002083 0,502.
,
(
1 +
10
243
,
)
=
+ . . .
. . . =
=
+
+ ... .
Ответ. 0,502.
125
3. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Аппарат рядов и интеграла Фурье широко используется в различных
областях математики и в приложениях к физике, нейрофизиологии, сей-
смологии, медицине, спектроскопии, преобразованию звукового потока,
преобразованию изображений. В качестве интересного факта отметим, что
форма двойной спирали ДНК была открыта в 1962 году с использованием
дифракции рентгеновских лучей в сочетании с анализом Фурье.
В основе математического аппарата рядов Фурье лежит следующая
простая идея: почти любую периодическую функцию можно представить
суммой отдельных гармонических составляющих с дискретной последо-
вательностью частот, а интеграла Фурье – это наложение гармоник с непрерывной последовательностью частот.
3.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА
3.1.1. Периодические функции
Природные процессы – физические, химические, биологические, обладающие свойством периодичности (повторяемости) во времени или
в пространстве, называются периодическими.
Примеры периодических процессов: колебания маятника, переменный
ток, биоритмы, «пульсирующие» в коре головного мозга, и т. д.
Определение 3.1. Функция (), , называется периодической,
если > 0 такое, что значение (+ ), () и выполня-
ется равенство
(+ )= ()= ().
Т называется периодом функции ().
Примеры периодических функций:
1) тригонометрические функции sin , cos с периодом 2;
2) тригонометрические функции tg , ctg с периодом ;
126
3)
{}
= [
]
– дробная часть числа х;
4) постоянная функция, период – любое число, отличное от нуля.
3.1.2. Основные свойства периодических функций
Свойство 1. Если (), () имеют одинаковый период Т, то
() ± (), () (),
()
()
–
периодические функции с периодом Т.
Доказательство. Пусть () = () + (). Тогда
(+ ) = (+ ) + (+ ) = () + () = (),
() = () + () = () + () = ()
и
(+ )= ()= (
)
.
Аналогично доказывается периодичность остальных функций.
Периоды и
отношение – рациональное число,
двух функций называются соизмеримыми, если их
=
(= ), , .
Свойство 2. Если периодические функции () и () имеют соизме-
римые периоды и , то функции () ± (),() (),
дические с периодом = =
.
()
()
Доказательство. Свойство 2 является следствием свойства 1, так как
и – периоды функций () и () соответственно.
Свойство 3. Если () имеет период Т, то () имеет период
(> 0).
Доказательство. +
= (+ )= (),
= ()= (),
127
– перио-
+
=
= (
)
.
Свойство 4. Если () – непрерывная периодическая функция с пери-
одом , то все интегралы от этой функции по промежуткам длины ,
равной периоду, имеют одно и то же значение:
Доказательство.
()
= ()
= ()
= ()=
()
Замечание. При =
()=
+ ()
= + , =
=
0
= + =
получаем
()
, .
+ ()
= (+ )
()=
=
()
()
=
= + +
;
.
()
;
=
.
При вычислении интеграла от периодической функции по промежут-
ку длины обычно интегрируют от 0 до или от
до
.
3.1.3. Простая гармоника. Сложное гармоническое колебание
Простое гармоническое колебание описывается функцией
= sin(+
)
. (3.1)
Здесь А – амплитуда колебания; – начальная фаза; – частота,
связанная с периодом Т соотношением =
Функция = sin(+
)
называется простой гармоникой.
128
.
Пусть даны простые гармоники (нулевая, первая, вторая, третья, …)
= ,
=
=
=
sin
sin
sin
(
(
+
2+
(
3+
)
,
)
, (3.2)
)
,
…,
которые, кроме нулевой, имеют частоты , 2, 3, …, кратные наимень-
шей из них ω, и периоды ,
,
, … ( будет периодом любой из этих
гармоник).
Если сложить несколько гармоник из (3.2), то получится периодиче-
ская функция с периодом Т, отличная от гармоник (3.2).
Можно ли данную периодическую функцию () периода Т предста-
вить в виде суммы конечного или бесконечного числа простых гармоник
вида (3.2)?
Для широкого класса функций такое представление имеет место
в случае бесконечного числа простых гармоник. Тогда для функций этого
класса имеет место разложение в «тригонометрический ряд»:
()= +
sin
(
3+
+
(
sin
)
+ =
+
где , , , , , … – постоянные, =
)
+
∞
+
sin
(
2+
(
sin
+
)
+
)
, (3.3)
, Т – период функции ().
Геометрически это означает, что график периодической функции по-
лучается путем наложения ряда синусоид.
Разложение (3.3) задает сложное гармоническое колебание.
Процесс разложения периодической функции на гармоники называет-
ся гармоническим анализом.
Перейдем к другой независимой переменной: = =
Тогда () =
– периодическая функция с периодом 2.
.
129
Разложение (3.3) примет вид
()= +
sin
(
3+
+
sin
)
+ =
(
+
)
+
+
откуда, используя формулу для синуса суммы
sin
(
+
)
= sin cos + cos sin
и положив
=
sin =
,
,
cos = , ,
окончательно получим разложение:
sin
(
2+
sin
(
+
)
+
)
,
()=
(
+
cos 3+ sin 3)+ =
(
+
cos + sin
)+(
+
cos 2+ sin 2
∞
(
cos + sin
)
+
)
.
Данное разложение функции () получили исходя от периодических,
колебательных явлений. Отметим, что подобные разложения полезны и при
исследовании функций, заданных только в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.
3.2. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ.
Р
АЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ
ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Определение 3.2. Функции (), (), непрерывные на отрезке [,
]
,
называются ортогональными на этом отрезке, если
()()
130
= 0.