Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Т. Э. Захарова
Числовые ряды в примерах и задачах
Учебное пособие
Новосибирск
2024
2
УДК 517.5 (075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. Д.А. Прокудин,
доц. М.Ю. Галкина
Захарова, Т. Э. Числовые ряды в примерах и задачах : учебное пособие /
Т. Э. Захарова ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2024. – 82 с.
Учебное пособие предназначено для изучения и более глубокого понима-
ния темы «Числовые ряды» раздела «Ряды» дисциплин «Математический ана-
лиз» и «Высшая математика». Рассматриваются общие понятия числовых ря-
дов, их свойства, сходимость по определению, необходимый признак сходимо-
сти, а также все основные признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Пособие содержит краткую теорию, большое количество
примеров с решениями и пояснениями, а также задачи для самостоятельного
решения по каждой теме с ответами и указаниями. Предназначено для направ-
лений 01.03.02, 02.03.02, 09.03.01, 09.03.02, 09.03.03, 10.03.01, 10.05.02,
11.03.02, 11.05.01, 11.05.04.
© Захарова Т.Э., 2024
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2024
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………….
4
1 Понятие числового ряда и его сходимость ……………….……..….....
5
2 Необходимое условие сходимости ряда …………………...………......
14
3 Свойства числовых рядов …………….……………...............................
20
4 Признак Даламбера ………………………………...……………..……..
28
5 Признак Раабе …………………….…………………………………......
36
6 Радикальный признак Коши…………………………………………….
40
7 Интегральный признак сходимости ряда ……………………...............
47
8 Признак сравнения ……………………………………..………………..
53
9 Предельный признак сравнения …………………………..……………
59
Ответы и указания к задачам для самостоятельного решения….……….
66
Контрольные вопросы и задания для самопроверки ……...……………..
68
Ответы и указания к контрольным вопросам и заданиям для самопроверки ………………………………………………………………..……….
73
Задания для проверочных работ…………………………………...………
75
Заключение………………………………………………………………….
78
Приложения………………………………………………….……………...
79
Список литературы…………………………………………………..…..…
81
4
Введение
Учебное пособие рассматривает темы раздела «Числовые ряды» курса
математического анализа. Теория рядов очень обширна и многогранна. Исследование сходимости числовых рядов является минимальным и необходимым
навыком для понимания сути рядов и возможности их практического примене-
ния.
Цель пособия – на большом количестве различных примеров продемон-
стрировать общие понятия рядов и их сходимости, а также охватить признаки
сходимости рядов с неотрицательными членами. Поэтому первая часть пособия
касается общих понятий числовых рядов, их свойств, признаков сходимости,
работе с определениями. Во второй части рассматриваются числовые ряды с
неотрицательными членами, признаки их сходимости и область применения.
Заключительная часть состоит из контрольных вопросов в тестовой форме и за-
даний, позволяющих проверить освоение материала. Также приводятся некото-
рые варианты, которые можно использовать на самостоятельных и контроль-
ных работах по изученным темам.
Весь теоретический материал сопровождается большим количеством
примеров с подробным решением, охватывающих разные случаи, с которыми
могут встретиться студенты при самостоятельной работе, изучая «Теорию рядов». Кроме того, в каждом разделе присутствуют задания, позволяющие отра-
ботать изложенные методы. Ко всем заданиям приведены ответы, к некоторым
приведены указания к решению и пояснения.
Структура пособия позволяет заинтересованному читателю самостоятельно осваивать, контролировать и оценивать степень понимания материала,
дает возможность, при необходимости, вернуться к теме для её лучшего понимания, поэтому данное пособие является удобным и полезным дополнением к
лекционному материалу для аудиторных занятий и внеаудиторной работы.
5
1 Понятие числового ряда и его сходимость
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма вида
++++
n
uuu
21
=
=1n
n
u
,
где
...},2,1{= Nn
, а
n
u
– действительные или комплексные числа.
Определение 2. Числа
,,,,
21 n
uuu
называются членами ряда, а число
n
u
– n-ым членом ряда.
Определение 3. Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной
суммой ряда и обозначается
n
S
:
nn
uuuS +++=
21
=
=
n
k
k
u
1
.
Определение 4. Числовой ряд
=1n
n
u
называется сходящимся, если после-
довательность его частичных сумм
n
S
имеет конечный предел, то есть
SS
n
n
=
→
lim
,
constS =
.
Определение 5. Число S, равное пределу частичных сумм, называется
суммой ряда.
Если
S
определено, то
=
=
1n
n
uS
.
Определение 6. Если предел частичных сумм не существует (он бесконечный или последовательность частичных сумм
n
S
не имеет предела), то ряд
расходится.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
=
=++++
1
0...0...00
n
.
Решение. Ряд сходится, так как
0=S
.
Действительно, по определению:
01=S
,
000
2
=+=S
,
,
0000 =+++=
n
S
,
тогда
SS
n
n
n
===
→→
00limlim
.
6
Предел частичных сумм имеет конечный предел, значит, ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
=
=++++
1
2...2...22
n
.
Решение. Ряд расходится. Докажем это по определению:
2
1
=S
,
422
2
=+=S
,
,
nS
разn
n
2222 =+++=
.
Значит,
==
→→
nS
n
n
n
2limlim
.
Предел частичных сумм имеет бесконечный предел, следовательно, ряд
расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
=
+
−=+−+−
1
1
3)1(...3333
n
n
.
Решение. Рассмотрим частичные суммы данного ряда:
3
1
=S
,
033
2
=−=S
,
3333
3
=+−=S
,
03333
4
=−+−=S
,
,
−
−
=
четноеесли,0
нечетноеесли,3
n
n
S
n
.
Таким образом,
n
nS→
lim
не существует, то есть ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
=−11n
n
q
, где q – произвольное
число.
Решение. Так как
++++++=
−
=
−
132
1
1
1
n
n
n
qqqqq
,
то данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию
n
b
с
11=b
и
знаменателем q. Тогда для нахождения n-ой частичной суммы, можно исполь-
7
зовать формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии (при
1q
):
q
q
qq
q
qS
nn
n
k
k
n
−
−
−
=
−
−
==
=
−
11
1
1
1
1
1
.
Значение предела n-ой частичной суммы для разных значений q вычисляется по-разному. Рассмотрим эти случаи.
а) Если
1q
, то
0→
n
q
при
→n
, и, следовательно,
=
→
n
n
Slim
−
−
−
→
q
q
q
n
n
11
1
lim
=
q−1
1
.
Значит, если
1q
, то последовательность
n
S
имеет конечный предел,
равный
q−1
1
, то есть ряд
=−11n
n
q
сходится при
1q
и имеет сумму
q
S
−
=
1
1
.
б) Если
1q
, то
→
n
q
при
→n
, и тогда
=
→
n
n
Slim
=
−
−
→
q
q
n
n
1
1
lim
.
Таким образом, ряд расходится.
в) В случае
1−q
предел последовательности частичных сумм ряда
=
−
1
1
n
n
q
не существует. Действительно, обозначив
1, −= ppq
, запишем
p
p
S
nn
n
+
+−
=
+
1
1)1(
1
и заметим, что
=
+
+
=
−
→
−
→
p
p
S
k
n
к
k
1
1
limlim
12
12
,
а
−=
+
+−
=
→→
p
p
S
k
n
к
k
1
1
limlim
2
2
.
Это означает, что предел последовательности
n
S
не существует.
Таким образом, и при
1−q
ряд расходится, то есть ряд
=−11n
n
q
расхо-
дится при
1q
.
г) Если
1=q
, то ряд имеет вид
1 + 1 +…+ 1 +…
В этом случае
nSn=
и
8
==
→→
nS
n
n
n
limlim
,
а значит, ряд
=
−
1
1
n
n
q
расходится при
1=q
.
д) Если
1−=q
, то ряд имеет вид
1 – 1 + 1 –1+…
и его частичные суммы запишутся следующим образом:
0
2
=
n
S
,
1
12
=
+n
S
.
Это означает, что не существует предела последовательности частичных
сумм получившегося ряда, а значит, ряд
=−11n
n
q
расходится в случае
1−=q
.
Ответ: ряд расходится при
1q
, ряд сходится при
1q
.
Пример 5. Доказать, что ряд
=+1
)1(
1
n
nn
сходится.
Решение. Так как
1
11
)1(
1
)1(
1
+
−=
+
−+
=
+ nnnn
nn
nn
,
то по определению имеем:
2
1
1
1
−=S
,
3
1
1
3
1
2
1
2
1
1
2
−=−+−=S
,
4
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
3
−=−+−+−=S
,
…,
1
1
1
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
+
−=
+
−++−+−+−=
nnn
S
n
.
Отсюда получаем
S
n
S
n
n
n
==
+
−=
→→
1
1
1
1limlim
.
Предел частичной суммы равен 1, значит, сумма ряда
1=S
, и ряд сходит-
ся.
Ответ: ряд сходится.
Пример 6. Доказать сходимость ряда
=++1
)2)(1(
1
n
nnn
и найти его
сумму.
9
Решение. Заметим, что формулу общего члена ряда можно преобразовать
следующим образом
)2)(1(2
1
)1(2
1
)2)(1(2
)2(
)2)(1(
1
++
−
+
=
++
−+
=
++
=
nnnnnnn
nn
nnn
u
n
,
то есть
1+
−=
nnn
vvu
,
где
)1(2
1
+
=
nn
v
n
.
Вычислим предел
n
v
:
0
)1(2
1
limlim =
+
=
→→
nn
v
n
n
n
.
То есть существует конечный предел последовательности
n
v
при
→n
. Запишем n-ую частичную сумму исходного ряда в виде
1113221 ++
−=−++−+−=
nnnn
vvvvvvvvS
.
Вычислим предел последовательности этих частичных сумм
n
S
при
→n
:
11111
limlim)(limlim vvvvvS
n
nn
n
n
n
n
=−=−=
+
→→
+
→→
.
Этот предел существует и равен
1
v
, а значит, сумма исходного ряда равна
4
1
)11(12
1
1
=
+
== vS
.
Ответ:
4
1
=S
.
Пример 7. Найти сумму ряда:
=
++
0
2
158
14
n
nn
.
Решение. Преобразуем формулу общего члена ряда:
=
++=++
−−=
=++
=
++
=
++
=
=
)5)(3(158
3 ;5
0158
158
1
14
158
14
2
2,1
2
0
2
0
2
nnnn
n
nn
nnnn
nn
=
=
=
=
++
−
=
++
=
++
=
0 00
)5)(3(
35
7
)5)(3(
2
2
14
)5)(3(
1
14
n nn
nnnnnn
=
=
=
+
−
+
=
++
+
−
++
+
=
++
−+−
=
000
5
1
3
1
7
)5)(3(
3
)5)(3(
5
7
)5)(3(
35
7
nnn
nnnn
n
nn
n
nn
nn
.
Рассмотрим частичные суммы этого ряда:
5
1
3
1
0S
1
−=== n
,
10
6
1
4
1
5
1
3
1
1 ;0
2
−+−=== nS
,
7
1
6
1
4
1
3
1
7
1
5
1
6
1
4
1
5
1
3
1
2 ;1 ;0
3
−−+=−+−+−=== nS
,
8
1
7
1
4
1
3
1
8
1
6
1
7
1
5
1
6
1
4
1
5
1
3
1
3 ;2 ;1 ;0
4
−−+=−+−+−+−=== nS
,
видна закономерность, из которой очевидно, что
+
+−
−
+−
++−+−=−==
5)2(
1
3)2(
1
...
6
1
4
1
5
1
3
1
)1( ...; ;2 ;1 ;0
nn
nnS
n
4
1
3
1
4
1
3
1
5)1(
1
3)1(
1
+
−
+
−+=
+−
−
+−
+
nnnn
.
По определению суммы ряда:
12
7
00
4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
3
1
limlim
nn
=−−+=
+
−
+
−+==
→→
nn
SS
n
.
Тогда сумма исходного ряда равна
12
49
12
7
7
158
14
0n
2
==
++
=
nn
.
Ответ:
12
49
.
Заметим, что при решении предыдущих задач мы раскладывали выраже-
ние под суммой на дроби, преобразовывая выражение общего члена ряда. Для
этих разложений удобно использовать стандартный способ получения суммы
простейших дробей через неопределенные коэффициенты. Рассмотрим его на
следующем примере.
Пример 8. Найти сумму ряда:
=
++
+
1
23
23
43
n
nnn
n
.
Решение. Находить сумму ряда будем по определению, то есть
.lim
n
n
SS
→
=
Рассмотрим дробь под знаком суммы и представим ее в виде суммы про-
стейших дробей.
Так как
( )
2323
223
++=++ nnnnnn
,
и многочлен
232++ nn
имеет корни
11−=n
и
2
2
−=n
, то
( )( )
2121
43
23
43
23
+
+
+
+=
++
+
=
++
+
n
C
n
B
n
A
nnn
n
nnn
n
.
Найдем неизвестные коэффициенты
CBA ,,
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]