Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
71
г) Сходимость ряда
=1n
n
u
не является ни необходимым, ни достаточ-
ным условиями сходимости ряда
=1n
n
v
.
22. Для ряда
=
+
+
1
3
2
32
n
nn
n
выберите верные утверждения:
а) ряд сходится, так как
n
nn
n 2
~
32
3
2
+
+
и
=1
2
n
n
- сходящийся ряд.
б) ряд сходится, так как
n
n
nn
n
2
3
2
2
~
32++
и
=1
2
2
n
n
n
- сходящийся ряд.
в) ряд сходится, так как
nnn
n 3
~
32
3
2
+
+
и
=1
3
n
n
- сходящийся ряд.
г) ряд сходится, так как
n
nn
n 232
3
2
+
+
и
=1
2
n
n
- сходящийся ряд.
д) ряд сходится, так как
3
2
3
2
3232
n
n
nn
n +
+
+
и
=
+
1
3
2
32
n
n
n
- сходящийся ряд.
е) ряд сходится, так как
nn
n
n
n
+
+
3
2
3
2
32
2
2
и
=1
1
n
n
- сходящийся ряд.
23. Для ряда
=
−
−
1
3
2
ln
2
n
nn
nn
выберите верные утверждения:
а) ряд сходится, так как
nn
n
nn
nn
ln
2
ln
2
3
2
3
2
−
−
−
и
=−1
3
2
ln
2
n
nn
n
- сходящийся ряд.
б) ряд сходится, так как
nn
nn
n
nn
ln
2
2
2
3
2
3
2
−
−
−
и
=
−
1
3
2
2
n
n
nn
- сходящийся
ряд.
в) ряд расходится, так как
n
nn
nn 2
~
ln
2
3
2
−
−
и
=1
2
n
n
- расходящийся ряд.
г) ряд сходится, так как
3
2
3
2
2
~
ln
2
n
n
nnnn−
−
и
=1
3
2
2
n
n
n
- сходящийся ряд.
72
д) ряд расходится, так как
nn
n
nn
nn
ln
2
ln
2
3
2
3
2
−
−
−
и
=
−
1
3
2
ln
2
n
nn
n
- расходящийся
ряд.
е) ряд расходится, так как
nn
nn
n
ln
21
3
2
−
−
и
=1
1
n
n
- расходящийся ряд.
24. Упростить выражение:
( )
( )( )
!512
!12+−+nn
25–48. Исследовать сходимость знакоположительных рядов, применяя
любой достаточный признак сходимости:
25.
=1
3
π
sin2
n
n
n
26.
=1
4
π
tg
1
n
n
n
27.
=1
2
π
sin
2
1
n
n
n
28.
=
+
1
2
π
tg
3
1
n
n
n
29.
=
+
1
1
3
π
tg3
n
n
n
30.
=
1
2
π
cos
24
1
n
n
n
31.
=1
π
sin
1
n
nn
32.
=1
π
sin
7
1
n
n
n
33.
=
+
1
2
3
π
cos
53
1
n
n
n
34.
=
+
1
1
3
7
n
n
n
n
35.
=
+
1
)2(2
1
n
n
n
36.
=
+
+
1
35
27
n
n
n
37.
=
+
1
2
1
n
nn
38.
=
++
1
3
12
n
nn
n
39.
=
−−
5
)3ln()2(
1
n
nn
40.
=
+
1
2
)1(ln
1
n
nn
41.
=
++
+
1
2
)2ln()23(
12
n
nn
n
42.
=
+
1
3
2
ln)1(
n
nn
n
43.
=
+
2
32
ln)1(
n
nn
n
44.
=1
2
ln
n
nn
n
45.
=
+
1
2
2
1
sin
n
n
n
46.
=
+
1
2
)1(
2
π
cos
n
nn
n
47.
=
+
1
2
2
4
cos
n
n
n
48.
=
−−
+
2
2
3)75(
1
n
nn
n
73
Ответы и указания к контрольным вопросам и заданиям для
самопроверки
1. в). 2. б). 3. а), г). 4. а), в), к). 5. в). 6. 0,3. 7.
2
12
2
+
−
=
n
n
u
n
.
8.
)1(
1
2
+
−+
=
nn
nn
u
n
. 9. а) расходится,
n
n
S
→
lim
не определен; б) расходится,
n
n
S
→
lim
бесконечен; в) сходится. 10. ряд может как сходиться, так и рас-
ходиться. 11. необходимое условие не выполняется, ряд расходится.
12. сказать невозможно. 13. не является. 14. является. 15. а) сходит-
ся, свойство 1 числовых рядов,
=
=
=
11
33
n
n
n
n
uu
. б) сходится, свойства 1, 6
числовых рядов,
=
=
=
+−==
1
1
22
5
1
5
1
5
1
5
n
n
n
n
n
n
uuu
u
. в) сходится, свойство
1 числовых рядов,
( ) ( )
=
=
−=−
11
1
n
n
n
n
uu
. г) расходится: если
=1n
n
u
схо-
дится, то
=3n
n
u
сходится по свойству 6 числовых рядов; если
=3n
n
u
схо-
дится, то выполняется необходимое условие сходимости ряда, т.е.
0lim =
→
n
n
u
;
если
0lim =
→
n
n
u
, то по свойству пределов
=
→
n
n
u
1
lim
, следовательно, для
ряда
=31n
n
u
выполняется достаточное условие расходимости. д) расхо-
дится, свойства 2, 4 числовых рядов. е) указать характер сходимости невозможно. Например, если
n
n
n
u
3
1
1
=
=
(сходится) и
=
=
=
11
1
nn
n
n
v
(расхо-
дится), то
=
=
=
22
32
n
n
n
n
n
n
v
u
- сходится; если
=
=
=
1
2
1
1
nn
n
n
u
(сходится) и
=
=
=
11
1
nn
n
n
v
(расходится), то
=
=
=
22
2
1
2
nn
n
n
nv
u
- расходится.
ж) расходится, свойства 2, 4 числовых рядов. з) указать характер сходи-
мости невозможно. Например, если
=
=
=
1
10
1
1
nn
n
n
u
(сходится) и
74
=
=
=
11
1
nn
n
n
v
(расходится), тогда по свойству 6 числовых рядов
=0
10
1
n
n
-
сходится,
=0
1
n
n
расходится, при этом
( )
=
=
=
0
11
0
1
nn
nn
n
vu
сходится; если
=
=
=
1
10
1
1
nn
n
n
u
(сходится) и
=
=
=
1
10
1 nn
n
nv
(расходится), тогда по свой-
ству 6 числовых рядов
=0
10
1
n
n
- сходится,
=010n
n
расходится, при этом
( )
=
=
=
00
1
nn
nn
vu
расходится. 16. Необходимое условие сходимости не
выполняется, ряд расходится. 17. б). 18.
2187
3280
. 19. г). 20. б), для
остальных рядов функция
( )
xf
не является монотонно убывающей. 21. а).
22. Все утверждения неверны, так как ряд расходится:
n
nn
n 2
~
32
3
2
+
+
и
=1
2
n
n
- расходящийся ряд. 23. в), е). 24.
( )( )
3222
1
++ nn
. 25. сходится.
26. сходится. 27. сходится. 28. сходится. 29. расходится. 30. схо-
дится. 31. расходится. 32. сходится. 33. сходится. 34. расходится.
35. сходится. 36. сходится. 37. сходится. 38. расходится. 39. расхо-
дится. 40. сходится. 41. сходится. 42. расходится. 43. сходится.
44. сходится. 45. сходится. 46. сходится. 47. сходится. 48. сходится.
75
Задания для проверочных работ
Вариант 1
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
231−
+
=
n
n
S
n
?
2. Найти сумму ряда
=
−
+
1
)2(
3
3
5
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
3
)!2
n
n(
n
б)
=
++
1
)1ln()1(
1
n
nn
в)
=
+
1
75
n
n
n
Вариант 2.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
2
)13()1(
+
+−
=
n
n
S
n
n
?
2. Найти сумму ряда
=
+
1
5
34
n
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=+1
)2(!
2
n
n
nn
б)
=
+
1
3
2
1
n
n
n
в)
=
+
+
1
13
12
n
n
n
n
Вариант 3.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
2
13
2
+
+
=
n
n
S
n
?
2. Найти сумму ряда
=
−
−
1
)3(
7
5
4
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=
+
1
2
)1(
n
n
n
б)
=+1
)!1(
3
n
n
n
n
в)
=1
1
2
n
n
e
Вариант 4.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
3
12
2
+
+
=
n
n
S
n
?
2. Найти сумму ряда
=−1
7
32
n
n
nn
.
76
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
!2
1
n
n
n
б);
=
+
1
2
1
n
n
n
e
в)
=
−+
1
2
1)12(
1
n
n
Вариант 5
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
32
)3(
+
−
=
n
S
n
n
?
2. Найти сумму ряда
=
−
+
1
)3(
2
5
8
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=
−
1
3
12
n
n
n
б)
=
+
1
12
n
n
n
в)
=
++
1
)2ln()2(
1
n
nn
Вариант 6.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
12
2
2
2
+
−
=
n
n
S
n
?
2. Найти сумму ряда
=+−1
9
2)4(
n
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
2
)!3nn(
n
б)
=++1
2
1
n
nn
n
в)
=
+
+
1
)3ln(
3
n
n
n
Вариант 7.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
n
n
n
S
)5(15−
+
=
?
2. Найти сумму ряда
=
−
−
1
)5(
3
2
9
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
2
3
n
n
n
n
б)
=
+
+
1
4
2
16
4
n
n
n
в)
=1
5
arctg
n
n
n
77
Вариант 8.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
2
)2(
2
−
−
=
n
n
S
n
n
?
2. Найти сумму ряда
=
−+
1
4
)3(2
n
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=
+
1
2
3
)1(5
n
n
n
n
б)
=2
9
ln
1
n
nn
в)
=
−
+
1
3
2
3
n
n
n
Вариант 9
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
1
2
3
3
+
=
n
n
S
n
?
2. Найти сумму ряда
=
−
+
1
)4(
5
6
1
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
3
e
n
n
n
б)
=
+
+
1
12
100
n
n
n
n
в)
=
+
1
3
2
2
n
n
n
Вариант 10.
1. Сходится ли ряд, если его частичная сумма равна
2
12
3
)1(
n
S
n
n
−
−
=
+
?
2. Найти сумму ряда
=
−
−
1
)5(
32
n
n
nn
.
3. Исследовать на сходимость:
а)
=1
3
2
n
n
n
n
б)
=
−
+
2
1
5
n
n
n
n
в)
=
−
+
1
14
1
n
n
n
78
Заключение
Числовые и функциональные ряды имеют важнейшее значение при ре-
шении задач непосредственно в рамках высшей математики, а также в практи-
ческих и прикладных задачах. Разложение функций в ряды, в том числе в ряды
Тейлора и Фурье, является незаменимым инструментом и широко используется. Но применимость рядов невозможна без понимания характера сходимости
ряда. Поэтому ключевым вопросом становится исследование числовых рядов
на сходимость.
Изложенный в пособии материал поможет желающим понять раздел
«Теория рядов» и лучше осознать материал. На приведённых примерах продемонстрированы трудности, которые могут встретиться при исследовании сходимости числовых рядов. Особо подробно разобраны ряды с неотрицательным
членами, рассмотрены все основные базовые признаки таких рядов.
79
Приложения
Приложение 1. Таблица основных эквивалентностей
1.
xx ~sin
при
0→x
2.
xx ~tg
при
0→x
3.
xx ~arcsin
при
0→x
4.
xx ~arctg
при
0→x
5.
2
~cos1
2
x
x−
при
0→x
6.
xe
x
~1−
при
0→x
7.
axa
x
ln~1−
при
0→x
8.
xx ~)1ln( +
при
0→x
9.
a
x
x
a
ln
~)1(log +
при
0→x
10.
kxx
k
~1)1( −+
,
0k
при
0→x
11.
k
x
x
k
~11 −+
,
0k
при
0→x
12.
n
n
n
n
n
nn
xaaxaxaxP ~...)(
0
1
1
+++=
−
−
при
→x
13. Формула Стирлинга:
n
e
n
n
n
2~!
при
→n
Приложение 2. Таблица производных основных элементарных функций
1. C' = 0
2. (u
a
)' = au
a−1
u', a
0
3.
u
u
u
−=
2
11
4.
( )
u
u
u
=
2
1
5. (a
u
)' = au ln au', a > 0, a 1
6.
uee
uu
=)(
7. (loga u)' =
1 1
u a
u
ln
,
a>0, a1
8. (ln u)' =
u
u
1
9.
( )
uuu
=cossin
10.
( )
uuu
−=
sincos
11.
( )
tg
cos
u
u
u
=
1
2
12.
( )
ctg
sinuu
u
= −
1
2
13.
( )
arcsin u
u
u
=
−
1
1
2
14.
( )
arccosu
u
u
= −
−
1
1
2
15.
( )
a rctg u
u
u
=
+
1
1
2
16.
( )
arcctg u
u
u
= −
+
1
1
2
80
Приложение 3. Таблица интегралов основных элементарных функций
1.
1,
1
1
d
1
−+
+
=
+
aCu
a
uu
aa
2.
+= Cu
u
u
ln
d
3.
Cuu +=
d
4.
1,0,
ln
d +=
aaC
a
a
ua
u
u
5.
Ceue
uu
+=
d
6.
Cuuu +=
sindcos
7.
Cuuu +−=
cosdsin
8.
Cuuu +−=
coslndtg
9.
Cuuu +=
sinlndctg
10.
+=
+
C
a
u
a
ua
u
arctg
1d
22
11.
+
−
+
=
−
C
ua
ua
a
ua
u
ln
2
1d
22
12.
+=
−
C
a
u
ua
u
sinarc
d
22
13.
++=
Cauu
au
u
22
22
ln
d
14.
+
+= C
u
u
u
42
tgln
cos
d
15.
+= C
u
u
u
2
tgln
sin
d
16.
+−= Cu
u
u
ctg
sin
d
2
17.
+= Cu
u
u
tg
cos
d
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]