Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
61
Получили ненулевую константу, то есть условие признака выполняется,
значит, вместо ряда
=1
5
tg
n
n
на сходимость можно исследовать ряд
=1
5
n
n
,
который расходится как гармонический ряд (по свойству 1 числовых рядов
домножение членов ряда на ненулевую постоянную не меняет сходимости).
Следовательно, по предельному признаку сравнения ряд
=1
5
tg
n
n
также
расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 66. Исследовать на сходимость ряда:
=
+
2
2
!
2
sin
n
n
n
.
Решение. Аргумент синуса является бесконечно малой величиной при
→n
:
( ) ( ) ( )
=
−
+
−
=
−−
+
=
+
→→→→
nn
n
nnnn
n
n
n
nnnn
2
222
2
lim
!2
1
lim
1!2
2
lim
!
2
lim
( ) ( )
.0
1
!2
1
lim1lim
!2
1
lim
2
2
=
=
−
=
−
=
→→→
n
n
n
n
nnn
Значит,
( )
!1!
~
!
2
~
!
2
sin
222
−
=
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Исследуем сходимость положительного ряда
=−2
!)1(nn
n
по признаку Да-
ламбера (так как общий член ряда содержит факториал):
=
−+
=
−−+
+
=
→→
+
→
nn
nn
n
n
n
n
u
u
nn
n
n
n
!
!)1()1(
lim
!)1(:!)1)1((
1
limlim
1
.0
11
limlim
1
lim
!)1(
!)1()1(
lim
22
=
===
+
=
−
−+
=
→→→→
n
n
n
n
n
nnn
nn
nnnn
Так как
10lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, следовательно, ряд
=
−
2
!)1(
n
n
n
сходится.
Тогда по предельному признаку сравнения сходится и ряд
=+2
2
!
2
sin
n
n
n
.
Ответ: ряд сходится.
62
Пример 67. Исследовать сходимость ряда
=
+−
+
1
3
32
ln5
n
n
nn
n
.
Решение. Величина
n
5
имеет более высокий порядок роста относительно
nln
при
→n
, следовательно,
nn
n 5~ln5 +
при
→n
.
При этом
33
~32 nnn +−
при
→n
.
Поэтому
33
5
~
32
ln5
nnn
n
nn
+−
+
.
Сходимость положительного ряда
=1
3
5
n
n
n
можно исследовать по призна-
ку Даламбера (общий член ряда содержит
−n
ую степень):
( ) ( )
=
+
=
+
=
+
=
→→
+
→
+
→
3
3
3
33
1
1
1
lim5
51
55
lim
5
:
1
5
limlim
n
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
515lim5
3
==
=
→
n
n
n
.
Так как
15lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, то ряд
=1
3
5
n
n
n
расходится.
Следовательно, на основании предельного признака сравнения также рас-
ходится ряд
=
+−
+
1
3
32
ln5
n
n
nn
n
.
Ответ: ряд расходится.
Пример 68. Исследовать сходимость ряда:
( )
=
−
+
4
2
2
2ln
1
log
n
n
n
n
n
.
Решение. Заметим, что при
→n
величина
n
1
является бесконечно ма-
лой, то есть
0
1
→
n
, тогда после преобразования и применения эквивалентности
получим
2ln
1
~
1
1log
1
log
1
log
222
+=
+=
+
nnn
n
n
n
при
→n
.
При этом использовать эквивалентность для логарифма в знаменателе
нельзя, так как
→− )2(ln n
при
→n
(для использования эквивалентности
63
как минимум должно быть
0)2(ln →−n
). Поэтому для знаменателя будем ис-
пользовать оценку
2)2(ln −− nn
.
Так как
( )
+
=
+
−
+
−
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
log
1
log
2
1
log
2ln
1
log
2
2
2
2
2
2
2
,
то получим «нижнюю» оценку общего члена ряда:
( )
+
−
+
n
n
n
n
n
n
n
1
log
2ln
1
log
2
2
2
.
Если ряд
=
+
4
2
1
log
n
n
n
n
будет расходиться, то мы сможем сделать вы-
вод о расходимости первоначального ряда по признаку сравнения. Для иссле-
дования сходимости ряда
=
+
4
2
1
log
n
n
n
n
будем использовать предельный
признак сравнения:
2ln
1
2ln
~
1
log
2
=
+
n
n
n
n
n
при
→n
,
при этом
=4
2ln
1
n
расходится, так как не выполняется необходимое условие
сходимости ряда
0
2ln
1
2ln
1
lim =
→n
.
Таким образом, из расходимости ряда
=4
2ln
1
n
по предельному признаку
сравнения следует, что ряд
=
+
4
2
1
log
n
n
n
n
так же расходится.
Откуда по признаку сравнения получаем, что исходный ряд
( )
=
−
+
4
2
2
2ln
1
log
n
n
n
n
n
расходится.
Ответ: ряд расходится.
64
Пример 69. Исследовать сходимость ряда:
=
−
+
−
1
3
13
2
cos1
n
n
nn
.
Решение. Данный ряд является положительным для любого
Nn
.
Заметим, что
0
3
2
lim
3
2
lim
13
2
lim
233
===
=
−
+
→→→
nn
n
n
nn
nnn
.
Так как аргумент косинуса стремится к нулю при
→n
, то можно ис-
пользовать эквивалентность:
2
~cos1
2
−
при
0→
.
Тогда
2
2
2
2
33
9
2
3
2
2
1
~
13
2
2
1
~
13
2
cos1
nn
n
n
nn
n
nn
=
−
+
−
+
−
.
Ряд
=1
2
1
n
n
сходится как ряд Дирихле с
12 =p
.
Значит, по свойству 1 числовых рядов также сходится ряд
=
1
2
1
9
2
n
n
. По
предельному признаку сходимости из сходимости ряда
=1
2
1
9
2
n
n
следует схо-
димость ряда
=
−
+
−
1
3
13
2
cos1
n
n
nn
.
Ответ: ряд сходится.
Пример 70. Исследовать сходимость ряда:
=
+
−
1
7
1arcsin
7
7
n
n
n
e
.
Решение. Так как
0
1
limlim
7
lim
7
487
7
7
7
===
+
→→→
n
n
n
n
n
nnn
,
то
011lim
0
7
7
7
=−=
−
+
→
ee
n
n
n
.
Аргументы у арксинуса и экспоненты стремят к нулю при
→n
, значит,
можно использовать эквивалентности:
65
7
487
7
7
7
77
1
~
7
~1~1arcsin
7
7
7
7
n
n
n
n
n
ee
n
n
n
n
=
+
−
−
++
.
Ряд
=1
7
48
1
n
n
сходится как ряд Дирихле с
1
7
48
=p
.
Следовательно, по предельному признаку сравнения исходный ряд
=
+
−
1
7
1arcsin
7
7
n
n
n
e
также сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
126-140. Исследовать ряды на сходимость по предельному признаку сравнения:
126.
=
−
1
3
13
n
n
n
127.
=
+
+
1
4
2
1
n
n
n
128.
=
−+
1
)13)(23(
1
n
nn
129.
=
+
+
1
25
5
25
5
n
n
nn
130.
( )
=
++
+
1
41
28
7
2
n
nn
n
131.
=
+
+
1
2
53
3
n
n
n
n
132.
=
+
+
1
75
43
n
nn
nn
133.
=
−
−
1
3
2
ln
1
n
nn
n
134.
=
+
−
1
1
2
1
n
n
n
e
135.
=
+
1
4
1
1ln
n
n
136.
=
+
1
4
5
4
7
ln
n
n
nn
137.
=
+
−−+
1
2
13
n
n
nn
138.
=
1
2
2
sin
n
n
139.
=
+
1
2
2
tg
n
n
140.
=
+
1
4
5
tg
n
n
n
66
Ответы и указания к задачам для самостоятельного решения
1.
+
−=
2
1
2
1
3
n
S
n
;
2
3
=S
. 2.
+
−
+
−+=
3
1
2
1
3
1
2
1
2
5
nn
S
n
;
12
55
=S
.
3.
+
−
+
−
+
−++=
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
3
1
nnn
S
n
;
18
11
=S
.
4.
4
1
3
1
2
2
1
2
4
1
3
1
3
+
−
+
−
+
−
+
−++=
nnnn
S
n
;
12
43
=S
. 5.
22 −+= nS
n
;
сумма ряда не определена. 6. геометрическая прогрессия с
3
1
=q
и
3
1
1
=b
;
2
13 +
=S
. 7.
−−
−=
nn
n
S
11
8
1
3
8
11
9
1
2
9
;
6
11
=S
.
8.
( )
33
3
2121
2
1
+−+−+−= nnS
n
; ряд не имеет суммы.
10.
→++++−−= 3232 nnS
n
; ряд расходится.
11.
12
1
21
+++
+−=
nn
S
n
;
21−=S
. 12.
n
n
u
n
2
12 −
=
, не выполняется.
13.
n
n
n
u
3
2
=
, выполняется. 14.
ne
n
u
n
n
+
=
, выполняется. 15.
1+
=
n
n
u
n
,
не выполняется. 16. не выполняется, ряд расходится. 17. не выполняется,
ряд расходится. 18. выполняется. 19. не выполняется. 20. не выполняется.
21. не выполняется, ряд расходится. 22. выполняется. 23. не выполняется,
ряд расходится. 24. не выполняется, ряд расходится. 25. выполняется.
26. выполняется. 27. не выполняется. 28. выполняется. 29. не выполняется,
ряд расходится. 30. не выполняется, ряд расходится. 31. расходится; пример
9; свойства 2,5. 32. сходится; геометрическая прогрессия с
1q
; пример 5;
свойства 1,3. 33. а), в), г) 34. использовать результаты примеров 5 и 6;
4
11
=S
.
35. использовать результат примера 7;
140
31
35
1
24
1
12
49
14
1
=−−=S
. 36. расхо-
дится. 37. сходится. 38. сходится. 39. расходится. 40. сходится.
41. сходится. 42. расходится. 43. сходится. 44. сходится. 45. расходится. 46. расходится. 47. расходится. 48. расходится. 49. сходится.
50. расходится. 51. расходится. 52. сходится. 53. расходится. 54. сходится. 55. сходится. 56. расходится. 57. сходится. 58. сходится.
59. расходится. 60. расходится. 61. сходится. 62. расходится. 63.
расходится. 64. расходится. 65. расходится. 66. сходится. 67. сходится.
68. расходится. 69. сходится. 70. сходится. 71. расходится. 72. сходится. 73. расходится. 74. сходится. 75. сходится. 76. сходится.
77. сходится. 78. сходится. 79. сходится. 80. сходится. 81. расходится.
67
82. сходится. 83. расходится. 84. расходится. 85. сходится. 86. сходится.
87. сходится. 88. сходится. 89. сходится. 90. сходится. 91. расходится.
92. сходится. 93. расходится. 94. сходится. 95. сходится. 96. расходится.
97. расходится. 98. сходится при любом α. 99. расходится. 100. сходится.
101. расходится. 102. сходится. 103. расходится. 104. расходится.
105. расходится. 106. сходится. 107. расходится. 108. сходится.
109. сходится при
1p
. 110. расходится 111. сходится. 112. сходится.
113. сходится. 114. расходится. 115. сходится. 116. расходится.
117. сходится. 118. сходится. 119. сходится. 120. расходится. 121. рас-
ходится. 122. сходится, сравнить с рядом
=2
ln
n
n
n
. 123. сходится.
124. сходится. 125. расходится. 126. сходится. 127. расходится.
128. расходится. 129. сходится. 130. расходится. 131. сходится.
132. сходится. 133. расходится. 134. сходится. 135. сходится.
136. расходится, использовать эквивалентность
xx ~)1ln( +
при
0→x
.
137. сходится. 138. сходится. 139. сходится. 140. сходится.
68
Контрольные вопросы и задания для самопроверки
1. Как обозначается сумма ряда:
а)
n
a
б)
n
S
в) S г)
n
и
2. Как обозначается частичная сумма ряда:
а)
n
a
б)
n
S
в) S г)
n
и
3. Как обозначается общий член ряда:
а)
n
a
б)
n
S
в) S г)
n
и
4. В каких случаях можно утверждать, что ряд сходится
а)
3lim =
→
n
n
S
; б)
3lim
1
=
→
n
n
S
; в)
0lim =
→
n
n
S
; г)
0lim
1
=
→
n
n
S
;
д)
1lim =
→
n
n
S
; е)
1lim
1
=
→
n
n
S
; ж)
=
→
n
n
Slim
; з)
=
→nnS1
lim
;
и)
nn
n
uS =
→
lim
; к)
1
1
lim uS
n
n
=
→
.
5. Какие из утверждений верны:
а) Если
=
→
SS
n
n
2
lim
, то сумма ряда равна
S
.
б) Если ряд
=1n
n
u
расходится, то последовательность
n
S
неограничен-
на.
в) Если
=
→
SS
n
n
2
lim
и
=
+
→
SS
n
n
12
lim
, то сумма ряда равна
S
.
г) Если
=
+
→
SS
nn12
lim
, то ряд
=1n
n
u
сходится.
д) Ряд
=13n
n
q
сходится при
3q
.
6. Найдите
4
u
для ряда
!
2
5
1
1
n
n
n
n
+
+
=
.
7. Укажите общий член ряда:
...
18
7
11
5
6
3
3
1
++++
8. Найти общий член ряда с частичной суммой
12+=n
n
S
n
.
9. Сходится ли ряд, если
а)
nSncos=
б)
)32ln( += nS
n
в)
3
1
n
Sn=
69
10. Что можно сказать о сходимости
=1n
n
v
, если
0lim =
→
n
n
v
?
11. Что можно сказать о сходимости
=1n
n
v
, если
5,0lim =
→
n
n
v
?
12. Для ряда
=1n
n
u
известно, что
1lim
→nn
u
. Сходится ли данный ряд?
13. Является ли необходимым условием сходимости ряда
=
+
1
)32(
n
nn
vu
сходимость рядов
=1n
n
u
и
=1n
n
v
?
14. Является ли достаточным условием сходимости ряда
=
−
1
)4(
n
nn
vu
сходимость рядов
=1n
n
u
и
=1n
n
v
?
15.
=1n
n
u
- сходится;
=1n
n
v
- расходится. При этих условиях укажите
характер сходимости (сходится; расходится; указать характер сходимости
невозможно) каждого из рядов:
а)
=1
3
n
n
u
; б)
=25n
n
u
; в)
( )
=−1n
n
u
; г)
=31n
n
u
;
д)
( )
=
+
1
2
n
nn
vu
; е)
=2
2
n
n
n
v
u
; ж)
( )
=
−
0
2
n
nn
uv
; з)
( )
=
0n
nn
vu
.
16. Какие из утверждений верны:
а) Если ряд
=
−
1
)(
n
nn
vu
сходится, то ряды
=1n
n
u
и
=1n
n
v
также сходятся.
б) Если ряды
=1n
n
v
и
=
−
1
)(
n
nn
vu
сходятся, то ряд
=1n
n
u
также сходится.
в) Если ряды
=1n
n
v
и
=1n
n
u
сходятся, то можно ли подобрать числа a и
b так, чтобы ряд
=−1)(n
nn
bvau
был расходящимся.
70
17. Сделать вывод о сходимости ряда на основании необходимого усло-
вия сходимости:
=
+
+
1
2
2
5
n
nn
nn
.
18. Найти 8-ую частичную сумму ряда:
...
3
1
...
81
1
27
1
9
1
3
1
1 +++++++
n
19. Выберите ряды, являющиеся сходящимися геометрическими прогрес-
сиями:
а)
=1
1
n
n
; б)
=2
2
1
n
n
; в)
=0
3
n
n
;
г)
( )
=1
3
1
n
n
; д)
=2
5
n
n
; е)
( )
=1
ln
n
n
n
.
20. Какие из рядов можно исследовать на сходимость с помощью инте-
грального признака Коши:
а)
=1
ln
n
nn
; б)
=1
ln
1
n
nn
; в)
=1
ln
n
n
n
;
г)
=1
2
sin
n
nn
; д)
=0
2
sin
n
n
; е)
=2
2
sin
n
n
n
.
21. Известно, что
nn
vu 0
для
Nnn ,7
. Какие из утверждений яв-
ляются верными:
а) Сходимость ряда
=1n
n
u
является необходимым условием сходимости
ряда
=1n
n
v
.
б) Сходимость ряда
=1n
n
u
является достаточным условием сходимости
ряда
=1n
n
v
.
в) Сходимость ряда
=1n
n
u
является и необходимым, и достаточным
условиями сходимости ряда
=1n
n
v
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]