Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
11
( )( ) ( ) ( )
( )( )
21
1221
23
43
23
++
++++++
=
++
+
nnn
nCnnBnnnA
nnn
n
,
тогда
)1()2()2)(1(43 ++++++=+ nCnnBnnnAn
.
При
1 ,001 :1 −=+−=−= BBn
.
При
1 ,2002 :2 −=++=−−= CCn
.
При
2 ,0024 :0 =++== AAn
.
Следовательно,
=
=
+
−
+
−=
++
+
11
23
2
1
1
12
23
43
nn
nnn
nnn
n
.
Получим формулу для
n
-ой частичной суммы:
3
1
2
1
1
2
1
−−=S
,
4
1
3
1
2
2
3
1
2
1
1
2
2
−−+−−=S
,
5
1
4
1
4
1
2
2
2
1
1
2
5
1
4
1
3
2
4
1
3
1
2
2
3
1
2
1
1
2
3
−−−+−=−−+−−+−−=S
,
6
1
5
1
5
1
2
2
2
1
1
2
6
1
5
1
4
2
5
1
4
1
4
1
2
2
2
1
1
2
6
1
5
1
4
2
34
−−−+−=−−+−−−+−=−−+= SS
,
.....
,
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
+
−
+
−
+
−+−=
nnn
S
n
.
Значит,
5,2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
limlim
23
43
1
23
=
+
−
+
−+−===
++
+
→→
=
nn
SS
nnn
n
n
n
n
n
.
Ответ: 2,5.
Пример 9. Доказать, что ряд
=11n
n
расходится.
Решение. Так как при любом
nk ,,2,1 =
выполняется неравенство
nk
11
,
то
n
n
n
k
S
n
k
n
==
=111
.
Поэтому по свойству пределов
+=
→→
nS
n
n
n
limlim
,
12
и, следовательно, ряд
=1
1
n
n
расходится.
Ответ: ряд расходится
Пример 10. Найти сумму ряда:
=
+++
1
1232
1
n
nn
.
Решение. Преобразуем вид ряда:
( )( )
=
+−++++
+−+
=
+++
=
= 11
12321232
1232
1232
1
nn
nnnn
nn
nn
( )
=
+−+
=
+−+
+−+
=
+−+
+−+
=
=
=
= 111
22
2
1232
1232
1232
1232
1232
nnn
nn
nn
nn
nn
nn
( )
=
+−+=
1
1232
2
1
n
nn
.
Найдем
−n
ую частичную сумму:
351
1
−=== nS
,
7357352,1
2
+−=−+−=== nS
,
937973
323
+−=−++−=+= uSS
,
…,
323 ++−= nS
n
.
Тогда
( )
=−+=
→→
332limlim nS
n
n
n
.
Так как предел частичных сумм бесконечен, то сумма ряда
( )
=
+−+
1
1232
n
nn
не определена, и ряд
=
+++
1
1232
1
n
nn
также не имеет
суммы.
Ответ: сумма ряда не определена.
Пример 11. Найти сумму ряда
( )
=
++−−
2
121
n
nnn
, если она опреде-
лена.
Решение. Рассмотрим частичные суммы ряда:
32212
1
+−=== nS
,
4321432232213;2
2
+−−=+−++−=== nS
,
5421542343214;3;2
3
+−−=+−++−−=== nS
,
...,
2121 +++−−= nnS
n
.
13
Тогда
( )
( ) ( )
=+−++−=+++−−=
→→→→
12lim21lim2121limlim nnnnS
nnn
n
n
( )( )
21
12
1
lim21
12
1212
lim21 −=
+++
+−=
+++
+++−−+
+−=
→→
nnnn
nnnn
nn
.
Предел
ой−n
частичной суммы конечен, следовательно, ряд сходится и
имеет сумму
21lim −==
→
n
n
SS
.
Ответ:
21−=S
.
Задачи для самостоятельного решения
1.–8. Найти сумму ряда:
1.
( )( )
=++1
21
3
n
nn
2.
=
++
1
2
34
5
n
nn
3.
=
−+
2
2
2
1
n
nn
4.
=
++
+
1
23
86
86
n
nnn
n
5.
=
+++
1
12
1
n
nn
6.
=1
3
1
n
n
7.
=
−
1
32
11
23
n
n
nn
8.
=
+++++
1
3
2
3
2
3
2
442
1
n
nnnnn
9. Доказать, что ряд
=1
3
2
n
n
расходится.
10. Исследовать ряд
( )
=
+−+
1
13
n
nn
на сходимость.
11. Найти сумму ряда
( )
=
+++−
1
212
n
nnn
, если она определена.
14
2 Необходимое условие сходимости ряда
Теорема 1 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
=1n
n
u
схо-
дится, то его n-ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n,
то есть:
0lim =
→
n
n
u
.
Это условие не является достаточным для сходимости ряда: из того, что
0lim =
→
n
n
u
не следует, что ряд сходится, он может как сходиться, так и расхо-
диться.
Теорема 2 (достаточное условие расходимости ряда). Если n-ый член
ряда
=1n
n
u
не стремится к нулю при
→n
, то этот ряд расходится.
Пример 12. Проверить выполнение необходимого условия сходимости
для ряда
=
+
−
1
5
23
n
n
n
.
Решение. Проверим выполнение признака:
03
5
1
2
3
lim
5
23
limlim =
+
−
=
=
+
−
=
→→→
n
n
n
n
u
nn
n
n
.
Необходимое условие сходимости ряда не выполняется. По теореме 2 ряд
расходится.
Ответ: условие не выполняется, ряд расходится.
Пример 13. Проверить выполнение необходимого условия сходимости
для ряда
=13n
n
.
Решение. Проверим выполнение условия:
0
3
limlim ==
→→
n
u
n
n
n
.
Необходимое условие сходимости ряда выполняется, но о сходимости ряда ничего сказать нельзя (далее будет доказано, что данный ряд расходится).
Ответ: условие выполняется.
15
Пример 14. Проверить выполнение необходимого условия сходимости и
сделать вывод о сходимости ряда, если это возможно, для ряда, имеющего ча-
стичную сумму
13
2
−
+
=
n
n
S
n
.
Решение. Для проверки необходимого условия сходимости надо знать
формулу общего члена ряда. Найдем ее:
)43)(13(
7
43
1
13
2
1)1(3
21
13
2
1
−−
−
=
−
+
−
−
+
=
−−
+−
−
−
+
=−=
−
nnn
n
n
n
n
n
n
n
SSu
nnn
.
Проверим выполнение необходимого признака сходимости:
0
)43)(13(
7
limlim =
=
−−
−
=
→→
const
nn
u
n
n
n
.
Так как
0lim =
→
n
n
u
, то необходимое условие сходимости выполняется, но
о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может как сходиться, так и расходиться.
Ответ: условие выполняется.
Пример 15. Для ряда
...
16
4
8
3
4
2
2
1
++++
проверить выполнение необхо-
димого условия сходимости и сделать вывод о сходимости ряда, если это возможно.
Решение. Для проверки необходимого условия сходимости надо знать
формулу общего члена ряда. Найдем ее:
при
2
1
:1
1
== un
;
при
4
2
:2
2
== un
;
при
8
3
:3
3
== un
и т.д.
Видим, что числитель соответствует номеру члена ряда, а знаменатель
представляет собой степень двойки, то есть:
=
=++++
1
2
...
16
4
8
3
4
2
2
1
n
n
n
.
Проверим выполнение необходимого признака сходимости:
0
чембыстрее,тсяувеличиваю
2значенияприно,и2
2
limlim =
→→→
==
→→
n
nn
n
u
nn
n
n
n
n
.
Так как
0lim =
→
n
n
u
, то необходимое условие сходимости выполняется, но
о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может как сходиться, так и расходиться.
Ответ: условие выполняется.
16
Пример 16. Для ряда
...
94
11
73
8
52
5
31
2
+
+
+
+
проверить выполнение
необходимого условия сходимости и сделать вывод о сходимости ряда, если это
возможно.
Решение. Проанализируем члены ряда и поймем закономерность:
31
2
:1
1
== un
;
52
5
:2
2
== un
;
73
8
:3
3
== un
и т.д.
Видим, что числители отличаются на 3 и на 1 меньше, чем число, деля-
щиеся на 3, то есть имеют вид
13 −n
. Первый множитель знаменателя совпадает
с номером n, второй множитель всегда нечетный, и для него справедливо
12 +n
.
Таким образом,
( )
12
13
+
−
=
nn
n
u
n
.
Проверим необходимое условие:
( )
0
2
3
lim
2
3
lim
*2~2
*3~13
:
2
13
lim
12
13
limlim
2
22
2
===
+
−
→
=
+
−
=
+
−
=
→→→→→
n
n
n
nnn
nn
n
nn
n
nn
n
u
nnnn
n
n
.
* При вычислении предела использовали эквивалентные величины (см.
Приложение 1).
Необходимое условие сходимости выполняется, но о сходимости ряда
ничего сказать нельзя.
Ответ: условие выполняется.
Пример 17. Для ряда
...
9
8
7
6
5
4
3
2
−+−+−
проверить выполнение необ-
ходимого условия сходимости и сделать вывод о сходимости ряда, если это
возможно.
Решение. Заметим, что у членов ряда чередуются знаки, то есть в форму-
ле общего члена ряда должен присутствовать множитель
( )
n
1−
.
При
3
2
:1
1
−== un
;
при
5
4
:2
2
== un
; и т.д.
Значение числителей в 2 раза больше номера n, а знаменатели на 1 боль-
ше числителей, значит,
( )
12
2
1+−=
n
n
u
n
n
.
Проверим условие необходимого признака:
17
( ) ( ) ( )
−−
−
=−=
−=
+
−
→→→
нечетноеесли,1
четноеесли,1
1lim
2
2
1lim
12
2
1lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Предел не существует, так как его значение не определено. Следователь-
но, необходимое условие сходимости не выполняется, то есть ряд расходится.
Ответ: условие не выполняется, ряд расходится.
Пример 18. Для ряда
...
3cos
1
2cos
1
1cos
1
+++
проверить выполнение не-
обходимого условия сходимости и сделать вывод о сходимости ряда, если это
возможно.
Решение. Очевидно, что общий член ряда имеет вид
n
u
n
cos
1
=
.
Проверим необходимое условие сходимости:
n
u
n
n
n
cos
1
limlim
→→
=
.
n
n
coslim
→
не имеет значения, значит,
n
n
cos
1
lim
→
также не определен.
Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, и ряд
расходится.
Ответ: условие не выполняется, ряд расходится.
Пример 19. Для ряда
...
10
9cos
5
4cos
2
1cos
+++
проверить выполнение
необходимого условия сходимости и сделать вывод о сходимости ряда, если это
возможно.
Решение. Легко получить, что общий член ряда имеет вид
1
cos
2
2
+
=
n
n
u
n
.
Проверим необходимое условие сходимости:
1
cos
limlim
2
2
+
=
→→
n
n
u
n
n
n
.
Величина
2
cosn
является ограниченной, так как
1cos1
2
− n
.
Величина
1
1
2
+n
является бесконечно малой при
→n
, так как
0
1
1
1
lim
2
=
=
+
→nn
.
По свойству бесконечно малых величин произведение бесконечно малой
величины на ограниченную величину является бесконечно малой величиной,
значит,
18
0
1
cos
limlim
2
2
=
+
=
→→
n
n
u
n
n
n
.
Таким образом, необходимое условие сходимости выполняется, ряд мо-
жет как сходиться, так и расходиться.
Ответ: условие выполняется.
Пример 20. Для ряда
=
−
+
+
1
1
53
31
n
n
n
n
проверить выполнение необходимо-
го условия сходимости ряда и сделать вывод о сходимости, если это возможно.
Решение. Проверим выполнение условия теоремы 1:
=
+
−
+
+
=
+
−+
=
+
+
=
−
→
−
→
−
→→
111
53
4
53
53
lim
53
453
lim
53
31
limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
u
==
+
−
+=
−
→
1
53
4
1lim
1n
n
n
Имеем неопределенность
1
, значит, для вычисления предела будем ис-
пользовать второй замечательный предел:
e
n
n
n
=
+
→
1
1lim
. Продолжим преобра-
зования до вида второго замечательного предела:
( )
( )
==
+
−
+=
+
−
+=
+
+−
→
+
−−
−
+
→
−
+
−
−
+
→
53
44
53
14
4
53
1
53
4
4
53
lim
53
4
1lim
53
4
1lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
nn
3
45
3
4
4
lim
53
44
lim
−+
+−
+
+−
====
→
→
eeee
n
n
n
n
n
n
.
Так как
0lim
3
4
=
−
→
eu
n
n
, то необходимое условие сходимости не вы-
полняется, но выполняется достаточное условие расходимости. Следовательно,
по теореме 2 ряд расходится.
Ответ: условия не выполняются, ряд расходится.
Пример 21. Для ряда
=
−
+
+
1
1
53
1
n
n
n
n
проверить выполнение необходимо-
го условия сходимости ряда и сделать вывод о сходимости, если это возможно.
Решение. Проверим выполнение условия теоремы 1:
=
=
+
+
=
+
+
=
−
→
−
→
−
→→
1
1
1
3
1
lim
5
3
1
1
lim
53
1
limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
19
Основание показательной функции
x
y
=
3
1
меньше единицы, значит, с
увеличением степени значения уменьшаются и неограниченно приближаются к
нулю
0
3
1
=
=
.
Выполняется необходимое условие сходимости. Но так как оно не явля-
ется достаточным, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
Ответ: условие выполняется.
Замечание. При вычислении предела в примере 21 у выражения под сте-
пенью разделили числитель и знаменатель на старшую степень, то есть на
n
. И
дальше вычисляли предел уже с преобразованным выражением. Заметим, что
если бы значение выражения под степенью стремилось к единице при
→n
,
то есть получилась бы неопределенность
1
, то так поступать было бы нельзя
(например, как в предыдущем примере 20). В случае неопределенности
1
требуются преобразования до второго замечательного предела.
Задачи для самостоятельного решения
12.-15. Записать общий член ряда, проверить необходимое условие сходимости:
12.
...
8
7
6
5
4
3
2
1
++++
13.
...
81
8
27
6
9
4
3
2
++++
14.
...
3
3
2
2
1
1
32
+
+
+
+
+
+
ee
e
15.
...
4
3
3
2
2
1
+++
16-30. Проверить выполнение необходимого признака сходимости и сделать
вывод о сходимости ряда, если это возможно:
16.
=+11n
n
n
17.
=
−
+
2
2
3
1
13
n
n
n
18.
=
+
+
1
3
2
12
3
n
n
n
19.
=+1
32
3
n
n
n
n
20.
=
+
−
1
3
3
)1(
n
n
n
n
21.
( )
=
+
+
1
31
3
8
4
n
n
n
22.
=
1
4
1
sin
n
n
23.
=
1
cos
n
n
24.
=
+
1
2
1
tg
n
n
n
25.
=
−
1
5
2
2
ctg
n
n
26.
=
+
1
2
2
3
ln
n
n
n
27.
=
+
+
1
2
5
2
ln
n
n
n
28.
=
+
+
1
132
3
n
n
n
n
29.
2
1
3
2
n
n
n
n
=
+
+
30.
=
+
+
1
1
2
n
n
n
n
20
3 Свойства числовых рядов
Свойство 1. Если числовой ряд
=1n
n
u
сходится и его сумма равна
S
, то
ряд
=1n
n
cu
, где с – произвольная постоянная, также сходится и имеет сумму
cS
.
Свойство 2. Если числовой ряд
=1n
n
u
расходится, то ряд
=1n
n
cu
, где с –
произвольная постоянная,
0c
, также расходится.
Свойство 3. Если числовые ряды
=1n
n
u
и
=1n
n
v
сходятся и имеют суммы
1
S
и
2
S
соответственно, то ряды
=
1
)(
n
nn
vu
также сходятся и имеют суммы
21
SS
.
Свойство 4. Если числовой ряд
=1n
n
u
сходится, а ряд
=1n
n
v
расходится, то
ряды
=
1
)(
n
nn
vu
расходятся.
Замечание. Заметим, что если числовые ряды
=1n
n
u
и
=1n
n
v
расходятся,
то ряды
=
1
)(
n
nn
vu
могут как сходиться, так и расходиться. Убедимся в этом
на примерах ниже (см. Примеры 22, 23, 24).
Свойство 5. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление
конечного числа членов ряда) не влияет на сходимость или расходимость этого
ряда.
Пример 22. Рассмотрим расходящиеся ряды
=
=
=++++=
11
...1...111
n
n
n
u
и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]