Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
21
....2...222
11
=
=
=++++=
n
n
n
v
Очевидно, что ряд
=
=
=+
11
3)(
nn
nn
vu
расходится по достаточному условию расходимости ряда:
03limlim =
→→ n
n
n
u
.
Ряд
=
=
−=−
11
)1()(
nn
nn
vu
также расходится по достаточному условию расходимости ряда:
0)1(limlim −=
→→ n
n
n
u
.
Вывод: Ряды, общие члены которых представляют сумму и разность об-
щих членов рассмотренных расходящихся рядов, также расходятся.
Пример 23. Рассмотрим расходящиеся ряды
=
=
=++++=
11
...1...111
n
n
n
u
и
....1...11)1(
11
=
=
=−−−−=−
n
n
n
v
Легко убедиться, что ряд
=
=
=+
11
0)(
nn
nn
vu
сходится, так как имеет сумму
0=S
.
Вывод: Ряд, общий член которого представляет собой сумму общих чле-
нов рассмотренных расходящихся рядов, сходится.
Пример 24. Рассмотрим расходящиеся ряды (расходимость данных рядов
будет доказана дальше)
=1
1
n
n
и
=+1
1
1
n
n
.
В примере 5 было показано, что ряд
=
=
=
+
=
+
−=−
111
)1(
1
1
11
)(
nnn
nn
nnnn
vu
сходится.
Вывод: Ряд, общий член которого представляет собой разность общих
членов рассмотренных расходящихся рядов, сходится.
22
Пример 25. Исследовать ряд на сходимость
( )
( )
=
−
+
++
1
1
13
153
n
n
n
nn
nn
.
Решение. Преобразуем общий член ряда:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
=
=
−
=
−
+
+
=
+
+
+
+
=
+
++
11
1
1
1
3
5
13
1
13
15
13
3
13
153
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
nn
nn
nnnn
nn
.
Рассмотрим ряд
( )
=
+
1
13
1
n
nn
.
В примере 5 было показано, что ряд
( )
=
+
1
1
1
n
nn
сходится, тогда по свой-
ству 1 числовых рядов также сходится ряд
( )
=
+
1
1
1
3
1
n
nn
.
Теперь рассмотрим ряд
=1
3
5
n
n
.
Ряд
=1
3
1
n
n
является рядом геометрической прогрессии с
3
1
=q
. Так как
1q
, то данный ряд сходится (см. пример 4). Значит, по свойству 1 ряд
=
1
3
1
5
n
n
также сходится.
Таким образом, ряд
( )
=
+
+
1
3
5
13
1
n
n
nn
сходится по свойству 3 числовых
рядов, и исходный ряд также сходится.
Заметим, что для данного ряда можно даже посчитать сумму в соответ-
ствии со свойствами 1 и 3. Из примера 5 известно, что ряд
( )
=
+
1
1
1
n
nn
имеет
сумму
1
1
=S
, а ряд
=1
3
1
n
n
имеет сумму
2
1
3
1
1
3
1
1
1
2
=
−
=
−
=
q
b
S
.
Тогда ряд
( )
( )
=
−
+
++
1
1
13
153
n
n
n
nn
nn
имеет сумму
6
17
2
1
51
3
1
5
3
1
21
=+=+= SSS
.
Ответ: ряд сходится,
6
17
=S
.
23
Пример 26. Известно, что
=3n
n
a
сходится,
=2n
n
b
расходится. Опреде-
лить сходимость/расходимость рядов, если это возможно:
а)
=3
2
n
n
a
; б)
=2
11
n
n
b
; в)
=3
2
n
n
a
;
г)
=2
11
n
n
b
; д)
( )
=
+
3n
nn
ba
; е)
( )
=
−
3n
nn
ab
;
ж)
=0n
n
a
; з)
=100n
n
b
; и)
=3n
n
n
b
a
;
к)
=
+
1
2
n
n
n
b
a
; л)
=
−
2
3
1
n
n
n
b
a
; м)
( )
=
+
3
5
n
n
a
;
н)
=
+
3
5
n
n
a
.
Решение.
а)
=3n
n
a
сходится, тогда по свойству 1 ряд
=3
2
n
n
a
также сходится.
б)
=2n
n
b
расходится, следовательно, по свойству 2 ряд
=
2
11
1
n
n
b
также расходится.
в)
=3n
n
a
сходится. Значит, по необходимому условию сходимости
0lim =
→nn
a
. Используя свойства пределов, получим
=
=
→
0
11
lim
n
n
a
, если
0
n
a
для любого
3, nNn
.
Так как
0
1
lim
→nn
a
, то ряд
=3
1
n
n
a
расходится. По свойству 2 ряд
=
3
1
2
n
n
a
также расходится.
Если существует номер
)3,( nNnn
такой, что
0=
n
a
, то ряды
=31n
n
a
и
=
3
1
2
n
n
a
не определены.
24
г)
=2n
n
b
расходится, тогда ряд
=2
1
n
n
b
может как сходится, так и расхо-
дится.
Например, если
=
=
=
22
2
n
n
n
n
b
, то он является расходящимся рядом, а
=
=
=
22
2
11
n
n
n
n
b
является сходящимся рядом, так как это ряд геометрической
прогрессии с
2
1
=q
(см. пример 4).
Если же рассмотрим
=
=
=
22
2
nn
n
b
, который расходится (см. пример 2),
то
=
=
=
22
2
11
nn
n
b
, который также расходится по достаточному условию расхо-
димости рядов:
0
2
1
2
1
limlim ==
→→ n
n
n
u
.
Таким образом, по свойствам 1 и 2 ряд
=2
11
n
n
b
может как сходиться, так
и расходиться.
д)
=3n
n
a
сходится по условию.
=2n
n
b
расходится по условию, тогда по свойству 5 ряд
=3n
n
b
также
расходится.
Следовательно, по свойству 4 ряд
( )
=
+
3n
nn
ba
расходится.
е)
=3n
n
a
сходится по условию, тогда по свойству 1 сходится ряд
( ) ( )
=
=
−=−331
n
n
n
n
aa
.
=2n
n
b
расходится, значит, по свойству 5 ряд
=3n
n
b
расходится.
Таким образом, в соответствии со свойством 4 ряд
( )( )
=−+3n
nn
ab
расхо-
дится.
25
ж)
=3n
n
a
сходится, следовательно, по свойству 5 ряд
=0n
n
a
также схо-
дится.
з)
=2n
n
b
расходится, значит, по свойству 5 ряд
=100n
n
b
также расходится.
и) На основании свойств числовых рядов из сходимости/расходимости
рядов
=3n
n
a
и
=3n
n
b
не следует ни сходимость, ни расходимость ряда
=3n
n
n
b
a
.
Например, ряд
( )
=
=
+
=
33
1
1
nn
n
nn
a
сходится (см. пример 5), а ряд
=3
3
n
расходится (по достаточному условию расходимости), тогда ряд
( )
=
=
+
=
33
13
1
nn
n
n
nnb
a
будет сходиться (по свойству 1).
Если же
=
=
=
33
4
1
n
n
n
n
a
, который сходится (ряд геометрической про-
грессии с
1q
), а
=
=
=
33
sin
nn
n
nb
, который расходится (по достаточному
признаку расходимости), то ряд
=
=
=
33
sin4
1
n
n
n
n
n
n
b
a
будет расходящимся по
достаточному условию расходимости рядов.
к)
=3n
n
a
сходится, значит, по свойству 5 ряд
=1n
n
a
сходится.
Если взять расходящийся ряд
=
=
=
22
5
n
n
n
n
b
, то ряд
=
=
=
22
5
11
n
n
n
n
b
бу-
дет сходиться как ряд геометрической прогрессии с
1q
, а по свойствам 1 и 5
также будет сходиться ряд
=
=
=
11
5
22
n
n
n
n
b
.
Отсюда ряд
=
+
12n
n
n
b
a
будет сходиться по свойству 3.
Если же взять расходящийся ряд
=
=
=
22
1
nn
n
n
b
, тогда ряд
=
=
=
22
1
nn
n
n
b
также будет расходящимся (по достаточному условию расхо-
26
димости). Значит, по свойствам 2 и 5 ряд
=
=
=
11
2
2
nn
n
n
b
расходится, а по
свойству 4 будет расходиться ряд
=
+
1
2
n
n
n
b
a
.
л)
=3n
n
a
сходится. По свойству 5 ряд
=2n
n
a
также сходится. При этом
ряд
=2
1
n
n
a
расходится по достаточному условию расходимости, если все чле-
ны ряда определены.
=2n
n
b
расходится. Значит, по свойству 2 ряд
( )
=
−
2
3
n
n
b
также расхо-
дится.
Следовательно, ряд
( )
=
−+
2
3
1
n
n
n
b
a
может как сходиться, так и расхо-
диться.
м)
=3n
n
a
сходится по условию.
=3
5
n
расходится по достаточному условию расходимости.
Значит, по свойству 4 ряд
( )
=
+
3
5
n
n
a
расходится.
н)
=3n
n
a
сходится по условию.
Число 5 можно считать элементом ряда, то есть, например,
5
2
=a
. Тогда
=
=
=+235
n
n
n
n
aa
. Данный ряд сходится по свойству 5.
Ответ: а) сходится б) расходится в) если ряд определен, то расходится
г) может сходиться, может расходиться д) расходится е) расходится ж) сходится з) расходится и) может сходиться, может расходиться к) может сходиться, может расходиться л) может сходиться, может расходиться м) расхо-
дится н) сходится.
27
Задачи для самостоятельного решения
На основании свойств числовых рядов определить сходимость / расходимость рядов:
31.
=
−
2
3
n
n
32.
( )
( )
=
−
+
+
+
−
1
1
1
12
1
10
41
n
n
n
nn
33. Ряд
=3n
n
a
сходится. Выберите ряды, которые расходятся:
а)
( )
=+1n
n
an
б)
( )
=−2
1,0
n
n
n
a
в)
=
+
3
3
3
n
n
a
n
г)
=+4
2
23
n
n
n
nn
a
.
Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
34.
( )( )
=
++
+
1
21
53
n
nnn
n
35.
=
++
1
2
158
1
n
nn
28
4 Признак Даламбера
Определение 7. Числовой ряд
=1n
n
u
, все члены которого неотрицательны
(
0
n
u
,
,...2,1=n
), называется неотрицательным рядом.
Определение 8. Числовой ряд
=1n
n
u
, все члены которого неположитель-
ны (
0
n
u
,
,...2,1=n
), называется неположительным рядом.
С помощью сформулированных ниже достаточных признаков сходимости
неотрицательных рядов исследуются также неположительные ряды. Так как по
свойствам 1 и 2 числовых рядов умножение всех членов ряда на (-1) не меняет
сходимости / расходимости, то в случае неположительного ряда необходимо
вынести (-1) за знак суммы и исследовать на сходимость неотрицательный ряд.
Теорема 3 (признак Даламбера). Если у ряда
=1n
n
u
члены ряда положи-
тельны и
1lim
1
+
→
n
n
n
u
u
, то ряд сходится; если
1lim
1
+
→
n
n
n
u
u
, то ряд расходится; в
случае равенства предела единице о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
Признак Даламбера удобно применять при исследовании сходимости, ес-
ли общий член ряда содержит факториал или n-ую степень некоторого выражения.
Существует формулировка признака Даламбера в другом виде:
Теорема 4. Если у ряда
=1n
n
u
члены ряда положительны и
а) Если существует число
)1,0(q
и номер m такие, что для всех
mn
выполняется неравенство
q
u
u
n
n+1
, то ряд сходится;
б) если существует номер
m
такой, что для всех
mn
выполняется не-
равенство
11
+nn
u
u
, то ряд расходится.
29
Пример 27. Исследовать сходимость ряда
=1
!
1
n
n
.
Решение. Данный положительный ряд будем исследовать по признаку
Даламбера. Так как
!
1
n
u
n
=
и
)!1(
1
1
+
=
+
n
u
n
, то
10
1
1
lim
)1(!
!
lim
)!1(
!
lim
!
1
:
)!1(
1
limlim
1
=
+
=
+
=
+
=
+
=
→→→→
+
→
nnn
n
n
n
nnu
u
nnnn
n
n
n
.
Значение предела меньше единицы, значит, ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 28. Исследовать сходимость ряда
=1
7
n
n
n
.
Решение. Так как
n
u
n
n
7
=
и
1
7
1
1
+
=
+
+
n
u
n
n
, то по признаку Даламбера
17
1
7
lim
7)1(
77
lim
7
:
1
7
limlim
1
1
=
+
=
+
=
+
=
→→
+
→
+
→
n
n
n
n
nnu
u
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
.
Значение предела больше единицы, следовательно, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 29. Исследовать сходимость ряда
=1
2
1
n
n
.
Решение. Из признака Даламбера в предельной форме (теорема 3) ничего
нельзя сказать о сходимости данного ряда, так как
1lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
. В то же время
удобно использовать признак Даламбера в другой форме (теорема 4), так как
легко показать, что
n
n
u
u
1+
=
1
12
12
1
12
1212
12
1
)1(
1
22
2
2
2
2
2
++
+
−=
++
−−++
=
++
=
+
q
nn
n
nn
nnn
nn
n
n
n
,
что означает сходимость ряда.
Ответ: ряд сходится.
30
Пример 30. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость
ряд
=1
!
n
n
n
a
, где
0a
.
Решение. Вычислим предел в соответствии с признаком Даламбера
0
1
limlim
1
=
+
=
→
+
→
n
a
u
u
n
n
n
n
.
Так как значение предела меньше единицы, то ряд
=1
!
n
n
n
a
сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 31. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость
ряд
=1
!
n
n
n
n
.
Решение. Вычислим предел
1
1
1lim
1
lim
!)1(
!)1(
limlim
1
1
1
=
+=
+
=
+
+
=
−
−
→→
+
→
+
→
e
nn
n
nn
nn
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
В соответствии с признаком Даламбера ряд
=1
!
n
n
n
n
сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 32. Исследовать сходимость ряда:
=
−
+
1
2
)24(...1062
)1(...1052
n
n
n
.
Решение. Данный ряд является положительным. Формула общего члена
ряда содержит произведение натуральных чисел, то есть имеет «факториаль-
ный» вид, поэтому исследовать сходимость будем по признаку Даламбера.
Из вида ряда очевидно, что
)24(...1062
)1(...1052
2
−
+
=
n
n
u
n
-
−n
ый член ряда.
Числитель выражения для
−n
го члена ряда представляет собой произве-
дение
n
множителей, каждый из которых получается по формуле
)1(2+n
при
конкретном значении
n
(если
1=n
, то
211
2
=+
; если
2=n
, то
512
2
=+
; и так
далее).
Аналогично, знаменатель выражения для
−n
го члена ряда представляет
собой произведение
n
множителей, каждый из которых получается по формуле
)24( −n
при значениях n от 1 до n.
Очевидно, что
( )
−+ 1n
ый член ряда будет содержать и в числителе, и в
знаменателе
( )
1+n
множитель:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]