Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
31
)2)1(4()24(...1062
)1)1(()1(...1052
22
1
−+−
+++
=
+
nn
nn
u
n
.
В соответствии с признаком Даламбера вычислим значение предела:
=
−
+
−+−
+++
=
+
→→
)24(...1062
)1(...1052
:
)2)1(4()24(...1062
)1)1(()1(...1052
lim
1
lim
222
n
n
nn
nn
u
u
n
n
n
n
=
+−+−
−+++
=
→
)1(...1052)2)1(4()24(...1062
lim
2
22
nnn
nnn
n
=
=
+
++
=
−+
++
=
→→
24
22
lim
2)1(4
1)1(
lim
22
n
nn
n
n
nn
для вычисления этого предела можно либо разделить числитель и знаменатель
на старшую степень (то есть на
2
n
), либо воспользоваться эквивалентностью
n
nn
aP
~)(
при
→
(см. Приложение 1):
===
→→
4
lim
4
lim
2
n
n
n
nn
.
Так как результат вычисления предела больше 1, то по признаку Далам-
бера исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 33. Исследовать сходимость ряда:
=
+
0
2
2
n
n
e
n
.
Решение. Ряд является положительным, и общий член ряда
2
2
+
=
n
n
e
n
u
содержит
−n
ую степень, поэтому исследовать сходимость будем по признаку
Даламбера:
( ) ( )
( )
( )
=
+
++
=
++
+
=
+
→
+
→
+
→
21
2
2
1
2
1
2
21
lim
2
:
2
1
limlim
ne
en
e
n
e
n
u
u
n
n
n
nn
n
n
n
n
=
+
+
+
=
+
→→
2
2
lim
1
lim
12n
n
nn
e
e
n
n
=
→+→→+
→+→→+
=
++++
neeee
neeee
nnnn
nnnn
при~2;2
при~2;2
1111
ee
ee
e
n
n
n
nn
11
1lim
1
1lim
2
2
==
+=
→→
.
Так как
1
1
lim
1=+
→
eu
u
n
n
n
, то в соответствии с признаком Даламбера ряд
сходится.
Ответ: ряд сходится.
32
Пример 34. Исследовать сходимость ряда:
=
−
−
2
2
2
1
)!)1((
n
n
n
.
Решение. Ряд является положительным, и общий член ряда
( )( )
1
!1
2
2
−
−
=
n
n
u
n
содержит факториал, поэтому будем исследовать сходимость по признаку Да-
ламбера:
( )( )( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
=
−−+
−
=
−
−
−+
−+
=
→→
+
→
22
2
2
2
2
2
2
1
!111
1!
lim
1
!1
:
11
!11
limlim
nn
nn
n
n
n
n
u
u
nn
n
n
n
( )
=
→+
→−
=
+
−
−
=
→→
nnnn
nnn
nn
n
n
n
nn
при~2
при~1
2
1
lim
!1
!
lim
22
22
2
2
2
( )
( )
==
−
−
=
→→→
1limlim
!1
!1
lim
2
2
2
n
n
n
n
nn
nnn
.
Так как
1lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, то по признаку Даламбера ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 35. Исследовать сходимость ряда:
( )
( )
=
+
−+
1
1
17
n
n
n
n
n
.
Решение. Имеем положительный ряд, у которого общий член ряда содержит
−n
ую степень, поэтому исследовать сходимость будем по признаку Да-
ламбера:
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
=
−++
+−+
=
+
−+
++
−+
=
+
+
+
→
+
+
+
→
+
→
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
u
u
172
117
lim
1
17
:
11
17
limlim
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
−
+
−
+
=
+
+
+
−+
−+
=
→
++
+
+
+
+
→→→
+
+
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
lim
7
1
7
7
7
1
7
7
lim
2
1
lim
2
1
lim
17
17
lim
11
1
1
1
1
1
1
( )
( )
=
+
+
−+
−+
−+
=
+
→→
+
+
→→
2
1
lim
2
12
lim
7
1
11
7
1
7
1
11
lim
2
1
lim
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
33
Заметим, что
0
7
1
→
n
при
→n
, и
n
)1(−
- ограниченная величина, так
как
1)1(1 −−
n
при любых
Nn
, следовательно, по свойству бесконечно ма-
лых величин
( )
0
7
1
1 →
−
n
n
при
→n
, тогда
=
+
+
−
+=
+
+
−
+=
→
+
−
−
+
→→→
2
1
lim
2
1
1lim7
2
1
lim
2
1
1lim
7
1
1
2
1
1
2
nnnn
n
n
n
n
nn
n
n
007
2
1
lim7
2
1
lim7
1
lim
2
lim
==
+
=
+
=
−
→
−
→
+
−
→→
e
n
e
n
e
n
n
n
n
n
n
nn
.
Так как
10lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, то по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 36. Исследовать сходимость ряда:
=
+
1
3
5
3
tg1
n
n
n
.
Решение. Имеем ряд с положительными членами. Исследовать сходимость будем по признаку Даламбера:
( )
=
+
++=
+
→
+
→
nn
n
n
n
n
nn
u
u
5
3
tg1:
5
3
tg11limlim
3
1
3
1
( )
( )
=
+
++
=
+
++
=
+
→→
+
→
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
5
3
tg
5
3
tg
lim
1
11
lim
5
3
tg1
5
3
tg11
lim
1
3
3
3
1
3
( ) ( )
=
→
→++++
=
++
n
nnnnn
nnnn
при
5
3
~
5
3
tg;
5
3
~
5
3
tg
при~1;1~11
11
33
33
( )
5
1
5
1
lim1
355
53
lim
1
1lim
5
3
5
3
lim
1
lim
3
1
3
3
==
+=
+
=
→→→
+
→→ n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
.
Так как
1
5
1
lim
1=+
→
n
n
n
u
u
, то по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
34
Пример 37. Исследовать сходимость ряда:
( )
=1
!4
2
n
n
n
n
.
Решение. Данный ряд является положительным, общий член ряда содержит факториал и
−n
ую степень, поэтому исследовать сходимость будем по
признаку Даламбера:
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
+
+
=
+
+
=
+
→
+
→
+
→
2
2
2
2
!44
!41
lim
!4
:
!14
1
limlim
11
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
u
u
( ) ( )
( )
=
+
+
=
→
++
→
!44
!4
lim
1
lim
2
2
12
n
n
n
n
n
n
nn
n
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
=
++++
+
+
=
+
→→
44342414!4
!41
lim
1
lim
12
2
nnnnn
nn
n
n
n
n
n
n
( )
( )
( )( )( )( )
=
++++
+
+
+=
→
−
→→
44342414
1
lim1lim
1
1lim
4
32
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )
=
+
+
+
+
+
+=
→
−
→→
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
ne
n
n
n
n
n
44342414
1
lim1limlim
4
32
( )
=
+
+
+
+
+
+=
→
−
→→
nnnn
n
ne
n
n
n
n
n
4
4
3
4
2
4
1
4
1
1
lim1limlim
4
32
( )
=
=+=
−
→→
256
1
4
1
1limlim
4
32n
n
n
n
ne
.
Так как
1lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, то по признаку Даламбера ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задачи для самостоятельного решения
36-61. Применяя признак Даламбера, исследовать сходимость рядов:
36.
=1
10
2
n
n
n
37.
=1
2
n
n
n
38.
=
+
1
2
2
n
n
e
n
39.
=+1
3
1
n
n
n
e
40.
=+1
2
21
2
n
n
n
41.
=+1
3
!
1
n
n
n
35
42.
=
1
2
π
sin!
n
n
n
43.
=
+
1
!3
)12(...753
n
n
n
n
44.
=
−
−
1
)13(852
)12(531
n
n
n
45.
=
+
1
!
)52(1197
n
n
n
46.
=
+
1
32
)!2(
n
n
n
47.
=
+
1
)53(2
)!2(
n
n
n
n
48.
=
+−
1
3
)!2(2
n
n
n
49.
=
+
+
1
2
)!12(
n
n
nn
50.
=
1
2!
)!2(
n
n
n
n
51.
=
+
1
2
1
)!(
n
n
n
52.
=
+
1
3
2
))!1((
n
n
n
53.
=1
2
)!(
)!2(
n
n
n
54.
=1
3
)!2(
n
n
n
55.
=
+
1
2
1
n
n
n
n
56.
=
+
+
1
4
)1(
n
n
n
n
57.
=
1
!2
n
n
n
n
n
58.
=
1
!3
n
n
n
n
n
59.
=1
!
n
n
n
n
60.
=1
!3
n
n
n
n
n
61.
=1
2
)!(
n
n
n
n
36
5 Признак Раабе
Теорема 5 (признак Раабе). Если для членов ряда
=1n
n
u
существует
r
u
u
n
n
n
n
=
−
+
→
1lim
1
, то при
1r
ряд сходится, при
1r
ряд расходится.
Замечание. Признак Раабе значительно сильнее признака Даламбера: если
для ряда
=1n
n
u
существует предел
1lim
1=+
→
l
u
u
n
n
n
, то и существует предел
r
u
u
n
n
n
n
=
−
+
→
1lim
1
, причем
−
+
=
1при,
1при,
l
l
r
.
Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимо-
сти ряда
=1n
n
u
, то признак Раабе тоже его дает, причем эти случаи охватыва-
ются всего двумя значениями r: r= + и r= –. Все остальные случаи (r конечно и
1r
), когда признак Раабе дает утвердительный ответ на вопрос о
сходимости, соответствуют
1=l
, то есть случаю, когда признак Даламбера не
дает утвердительного ответа о сходимости или расходимости ряда.
Пример 38. Исследовать на сходимость ряд
=
1
!
1
n
n
e
n
n
.
Решение. Ни признак Коши, ни признак Даламбера не дают ответ на во-
прос о сходимости этого ряда, так как
1limlim
1
==
+
→→
n
n
n
n
n
n
u
u
u
. Действительно,
вычислить первый предел можно с помощью формулы Стирлинга (см. Приложение 1):
n
n
n
ul
→
= lim
==
=
=
→→→
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
e
n
n
n
e
e
n
n
2
1
lim
2
1
lim
!
1
lim
====
==
→→→→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ee
e
n
n
2
)2ln(
2
)2ln(
)2ln(
0
2
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
)2(
1
lim
2
1
1
1
приlnчемроста,
порядоквысокийболееимеет
0
=
=
→
=
e
xx
x
.
Вычисление второго предела не представляет трудности:
37
1
11
1lim
11
lim
1
)!1(
!)1(
limlim
1
1
1
==
+=
+
=
+
+
==
→→
+
+
→
+
→
e
enen
n
e
nen
nen
u
u
l
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
.
Воспользуемся признаком Раабе:
=
−
+
→
1lim
1n
n
n
u
u
n
=
−
+
→
1
1
1
lim
n
n
n
e
n
=
−+
=
→
=
−
→
0
01)1(
lim
0
1
/1
0
x
xe
x
x
n
x
x
,
так как
e
x
x
x
1
)1(lim
1
0
=+
−
→
в соответствии со вторым замечательным пределом.
Далее для вычисления предела применим правило Лопиталя. Продиффе-
ренцируем сначала степенно-показательную функцию, стоящую в числителе
дроби по формуле:
( )
vuuuuvu
vvv
+
=
−ln1
.
22
1
1
)1ln(
)1(
1
)1ln()1()1(
1
)1(
1111
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
xxxx
+
−+
+=++++−=
+
−−−−−
.
Продолжим вычисление исходного предела:
=
−
+
→
1lim
1n
n
n
u
u
n
=
=
+
−+
→
0
0
1
)1ln(
lim
2
0
x
x
x
x
x
Лопиталя
правило
применим
=
2
1
)1(2
11
lim
2
1
1
)1(
1
lim
2
0
2
0
=
+
++−
=
+
+
+
−
=
→→
xx
x
x
x
x
xx
,
1
2
1
=r
, и, согласно признаку Раабе, рассматриваемый ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 39. Исследовать сходимость ряда
( )
( )
=
+
−
1
13...1074
13...852
n
n
n
.
Решение. Для исследования данного положительного ряда будет исполь-
зоваться признак Раабе:
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
=
−
+++
−+−
+
−
=
−
→
+
→
1
11313...74
11313...52
:
13...74
13...52
lim1lim
1
nn
nn
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−
+−
++
+
−
=
→
1
2313...852
4313...1074
13...1074
13...852
lim
nn
nn
n
n
n
n
38
=
→
+
=
+
=
+
−−+
=
−
+
+
=
→→→
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
n
nnn
при
3~23
23
2
lim
23
2343
lim1
23
43
lim
3
2
3
2
lim ==
→
n
n
n
.
Так как
1
3
2
1lim
1
=
−
+
→
n
n
n
u
u
n
, то по признаку Раабе ряд расходится.
Заметим, что общий член данного ряда имеет «факториальный» вид (про-
изведение чисел некоторой последовательности), но исследование его по при-
знаку Даламбера не даст результата, так как
1lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
.
Поэтому в этом случае мы применили более сильный признак Раабе.
Ответ: ряд расходится
Пример 40. Исследовать на сходимость ряд
( )
=
−
1
2
2...642
12...531
n
nn
n
.
Решение. Заметим, что
1lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, значит, признак Даламбера неприме-
ним. Исследуем сходимость данного ряда по признаку Раабе:
( ) ( ) ( )
( )( )
=
−
−+
++
−
=
−
→
+
→
1
112...531
122...6421
2...642
12...531
lim1lim
2
2
1
n
nnn
nn
n
n
u
u
n
n
n
n
n
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
=
+
+−++
=
−
+
++
=
→→
12
12221
lim1
12
221
lim
2
2
2
2
2
nn
nnnn
n
nn
nn
n
nn
( )
2
5
1
2
26
5
lim
12
265
lim
2
2
=
+
++
=
=
+
++
=
→→
n
n
n
nn
nn
nn
.
Так как
15,2 =r
, то ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 41. Исследовать на сходимость ряд
( )
=
+
1
2ln...4ln2ln
12ln...5ln3ln
n
n
n
.
Решение. Исследуем сходимость данного ряда по признаку Раабе:
=
−
+
→
1lim
1n
n
n
u
u
n
( ) ( )
( ) ( )( )
=
−
+++
+
+
=
→
1
112ln12ln...5ln3ln
12ln2ln...4ln2ln
2ln...4ln2ln
12ln...5ln3ln
lim
nn
nn
n
n
n
n
39
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
+
+
+
=
+
+−+
=
−
+
+
=
→→→
32ln
32
22
ln
lim
32ln
32ln22ln
lim1
32ln
22ln
lim
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nnn
( ) ( )
=
+
+
−
=
+
−
+
−
+
→
=
+
+
−
+
=
→→
32ln
32
lim
32
1
~
32
1
1ln
при
32ln
32
1
1ln
lim
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
( )
00
2
1
32ln
1
3
2
1
lim =
−=
+
+
−
=
→
n
n
n
.
Так как
10 =r
, то по признаку Раабе ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задачи для самостоятельного решения
62.-65. Исследовать на сходимость ряд:
62.
( )
=
−
1
2...42
12...31
n
n
n
63.
( )
=
−
1
12...31
2...42
n
nn
n
64.
( )
( )
=
−
1
13ln...5ln2ln
3ln...6ln3ln
n
n
n
65.
( )
( )
=
+
+
1
4ln...6ln5ln
1ln...3ln2ln
n
n
n
40
6 Радикальный признак Коши
Теорема 6. Если для ряда
=1n
n
u
с неотрицательными элементами (
0
n
u
для всех
Nn
) существует
lu
n
n
n
=
→
lim
, то при
1l
ряд сходится, при
1l
–
ряд расходится, а при
1=l
ряд может как сходиться, так и расходиться.
Заметим, что существует также формулировка признака Коши в другом
виде.
Теорема 7. Пусть дан ряд
=1n
n
u
, где
0
n
u
для всех
Nn
. Тогда
а) если существует число
)1,0(q
и номер m такие, что для всех
mn
выполняется неравенство
qu
n
n
, то ряд сходится;
б) если существует номер
m
такой, что для всех
mn
выполняется нера-
венство
1
n
n
u
, то ряд расходится.
Радикальный признак Коши удобно применять при исследовании сходи-
мости, если общий член ряда является n-ой степенью некоторого выражения.
Замечание. Радикальный признак Коши при исследовании сходимости
рядов с положительными членами является более сильным, чем признак Даламбера. Действительно, из существования
n
n
n
u
u
1
lim
+
→
следует существование
n
n
n
u
→
lim
, более того, они равны.
Теорема 8. Если для ряда
=mn
n
u
существует
l
u
u
n
n
n
=
+
→
1
lim
, то существует
равный ему
lu
n
n
n=→
lim
.
Обратное утверждение неверно. То есть из существования предела по
Коши не следует, что существует предел признака Даламбера (см. пример 42).
Пример 42. Исследовать сходимость ряда
=
+−
1
2
3)1(
n
n
n
.
Решение. Для исследования сходимости данного ряда применим ради-
кальный признак Коши:
lu
n
n
n
n
n
n
n
==
+−
=
→→
2
1
2
3)1(
limlim
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]