Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
41
так как
n
n
n
n
n
n
n
2
4
2
3)1(
2
2
+−
,
а пределы левой и правой последовательностей при
→n
равны
2
1
:
=
=
→
→
2
1
2
4
lim
2
1
2
2
lim
n
n
n
n
n
n
.
Так как
n
n
n
u
→
lim
существует и
1
2
1
=l
, то ряд сходится.
Заметим, что предел
n
n
u
u
1+
при
→n
не существует, так как
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
2
12
12
2
limlim
+
→
−
→
.
Действительно,
( )
1
4
4
3)1(2
3)1(
lim
2
3)1(
:
2
3)1(
limlim
12
2
12
12
2
2
12
2
==
+−
+−
=
+−+−
=
−
→
−
−
→
−
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
,
а
( )
4
1
8
2
3)1(2
3)1(
lim
2
3)1(
:
2
3)1(
limlim
2
12
2
2
12
12
2
12
==
+−
+−
=
+−+−
=
+
→
+
+
→
+
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
.
Таким образом, исследовать сходимость данного ряда возможно по ради-
кальному признаку Коши, а по признаку Даламбера невозможно.
Ответ: ряд сходится.
Пример 43. Исследовать на сходимость ряд
=
+
1
2
3
n
n
n
n
.
Решение. Применим признак Коши:
=
+
−
+=
+
−+
=
+
=
+
=
→→→→→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
u
3
3
1lim
3
33
lim
3
lim
3
limlim
2
1
пределу
номузамечатель
второмупо
3
3
1lim
3
3
1lim
3
3
3
lim
3
3
3
3
===
+
−
+=
+
−
+=
−
+
−
+
−
−
+
→→
→
ee
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Так как значение предела меньше единицы, то ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
42
Пример 44. Исследовать на сходимость ряд
=
−
+
1
2
2
1
n
n
n
n
.
Решение. Для исследования применим признак Коши. Вычислим
=
−
+
=
−
+
=
−
+
==
→→→→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ul
2
1
1
1
lim
2
1
lim
2
1
limlim
2
3
22
2
2
1lim
1
1lim
e
e
e
n
n
n
n
n
n
==
−
+
=
−−
−
→
→
.
1l
, а значит, исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
Пример 45. Исследовать сходимость ряда:
3
1
110
23
n
n
n
n
=
+
−
.
Решение. Все члены ряда положительны и имеют вид
−n
ой степени, по-
этому исследовать сходимость будем по радикальному признаку:
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
→→→→
233
110
23
lim
110
23
lim
110
23
limlim
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
=
=
=
+
−
=
+
−
=
→→→
10
3
10
3
lim
1
10
2
3
lim
110
23
lim
2
22
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
01
10
3
функциинойпоказательоснование =
=
.
Так как
10lim =
→
n
n
n
u
, то по радикальному признаку Коши ряд сходит-
ся.
Ответ: ряд сходится.
43
Пример 46. Исследовать сходимость ряда:
4
2
1
3
3
2
1
n
n
n
n
=
+
+
.
Решение. Все члены ряда положительны и представляют собой
−n
ую
степень, поэтому удобно исследовать данный ряд по радикальному признаку
Коши:
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
→→→→
344
2
3
3
1
2
3
3
2
3
3
2
1
lim
2
1
lim
2
1
limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
=
=
+
−
+=
+
−+
=
→→
пределныйзамечатель
второй1
2
1
1lim
2
12
lim
3
3
2
3
2
3
3
n
n
n
n
nn
n
===
+
−
+=
+
−
+
−
→
+
−
−
+
→
→
3
3
3
3
3
3
3
2
2
lim2
2
1
2
2
1
1
2
3
lim
2
1
1lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ee
n
( )
2
2
2lim
2
lim
33
1
при~2
3
3
e
eeennn
n
n
n
n
====→+=
−
−
−
→
→
.
Так как
1
1
lim
2
=
→
e
u
n
n
n
, то ряд сходится по радикальному признаку Ко-
ши.
Ответ: ряд сходится.
Пример 47. Исследовать сходимость ряда:
n
n
n
n
n
=
−
+
1
4
13
1
.
Решение. Все члены данного ряда положительны. Так как есть
−n
ая сте-
пень, то сходимость данного ряда можно исследовать как по признаку Далам-
бера, так и по радикальному признаку Коши. Рассмотрим оба способа.
1) По признаку Даламбера:
( )
( )
( )
=
−
+
−+
++
+=
+
→
+
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
13
1
:
113
11
1limlim
4
1
4
1
( )
=
+
+
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
=
→→
+
→
23
2
lim
13
1
23
2
1
lim
13
1
23
2
1
lim
4
4
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )( )
( )( )
++
−+
=
+
+
++
−+
+=
→→→→
n
nn
n
nn
nn
nn
n
n
nn
nn
n
253
253
lim1
23
2
lim
123
132
lim
1
1lim
2
2
4
4
44
=
++
−
+=
++
−++
=
→→→
n
n
n
nn
nnnn
nn
n
n
253
4
1lim
3
1
3
1
253
4253
lim
3
lim
22
2
==
++
−
+=
++
−
→
++
−
−
++
→
253
4
253
4
4
253
2
2
2
2
lim
3
1
253
4
1lim
3
1
nn
n
n
n
nn
nn
n
e
nn
3
1
3
1
3
1
3
1
при3~253
0
3
4
lim
3
4
lim
22
2
====→++=
−
−
→
→
eeennnn
n
n
n
n
n
.
Так как
1
3
1
lim
1
=
+
→
n
n
n
u
u
, то по признаку Даламбера ряд сходится.
2) По радикальному признаку Коши:
=
−
+
=
−
+
=
→→→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nu
1
44
13
1
lim
13
1
limlim
=====
−
+
=
→→→→→→
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
en
n
n
n
n
n
n
4
ln0
444
lim
3
1
lim
3
1
3
limlim
13
1
limlim
то,существует
ln4
limеслиlim
3
1
lim
3
1
ln4
ln
4
n
n
ee
n
n
n
n
n
n
n →→
→
===
( )
3
1
3
1
004
1
lim4
ln
lim4
ln4
lim
ln4
lim
0
==
===
=
==
→→→→
e
xx
x
x
x
n
n
xxxn
.
Так как
1
3
1
lim =
→
n
n
n
u
, то по радикальному признаку Коши ряд
n
n
n
n
n
=
−
+
1
4
13
1
сходится.
Заметим, что значение предела по радикальному признаку Коши и по
признаку Даламбера совпадают, что полностью согласуется с теоремой 8.
Ответ: ряд сходится.
Пример 48. Исследовать ряд на сходимость:
( )
=+1
4
3ln
2
n
n
n
n
.
Решение. Общий член ряда имеет вид
−n
ой степени
( )
n
n
n
n
u
+
=
4
3ln
и
( )
Nnu
n
0
, поэтому исследовать сходимость будем по радикальному при-
знаку Коши:
( ) ( )
=
+
=
+
=
→→→
4
3ln
lim
4
3ln
limlimnnu
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
45
Так как
1lim =
→
n
n
n
u
, то ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 49. Исследовать сходимость ряда:
( )
=
+
1
13arctg
n
n
n
n
n
.
Решение. Все члены ряда положительны и представляют
−n
ую степень
( )
n
n
n
n
u
+
=
13arctg
, значит, удобно применить радикальный признак Коши:
( ) ( )
0
2
arctg13arctg
lim
13arctg
limlim =
=
=
+
=
+
=
→→→
n
n
n
n
u
n
n
n
n
n
n
n
.
Так как
10lim =
→
n
n
n
u
, то ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
66–86. Применяя радикальный признак Коши, исследовать сходимость рядов:
66.
=
+
2
)2(ln
3
n
n
n
67.
=
1
1
sin
n
n
n
68.
=
+
1
2
1
3
n
n
n
n
69.
=
+
−
1
15
13
n
n
n
n
70.
=
+
1
2
34
2
n
n
n
n
71.
=
+
+
1
2
1
32
n
n
n
n
72.
=
+
1
2
1
1
4
1
n
n
n
n
73.
=
+
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
74.
=
+
1
1
3
1
n
n
n
n
n
75.
=
+
1
2
510
n
n
n
n
76.
=
1
ln
n
n
n
n
77.
=
+
1
4
53
2
n
n
n
n
n
78.
=
−
+
1
2
2
2
76
52
n
n
n
n
79.
=
−
1
2
13
3
n
n
n
n
80.
=
+
−
1
3
2
2
1
1
n
n
n
n
81.
=
+
1
2
1
n
n
n
n
82.
=+1
2
2
)22(
n
n
n
n
n
83.
=−2
23
)1(arctg
7
n
n
n
84.
=
+
−+
1
1
)1(5
3
n
n
n
85.
=−−1
1
2
n
nn
e
86.
=1
4
π
sin
n
nn
n
n
46
87–98. Пользуясь признаками Даламбера или Коши, исследовать сходимость
рядов:
87.
=1
!
10
n
n
n
88.
=
+
1
5
12
n
n
n
89.
=
+
1
1
3
π
tg
n
n
n
90.
=
−
1
)1(
n
n
n
n
91.
=1
1
arctg
n
n
n
92.
=
−
+
1
12
1
n
n
n
n
93.
=1
2
2
n
n
n
94.
=1!n
n
n
n
95.
( )
=
+
1
1
π
2
n
n
n
n
n
96.
=1
2
)!2(
)!(
n
n
n
97.
=
+
+
1
3)43(
)!12(
n
n
n
n
98.
)0(α
))1(ln(
1
+
=n
n
n
n
47
7 Интегральный признак сходимости ряда
Теорема 9 (интегральный признак Коши). Если члены неотрицательного
ряда
=1n
n
u
могут быть представлены как числовые значения некоторой непре-
рывной функции
)(xf
монотонно убывающей на промежутке
);1[
, так, что
1
)1( uf =
,
2
)2( uf =
, …,
n
unf =)(
, …., то из сходимости/расходимости несоб-
ственного интеграла
1
)( dxxf
следует сходимость/расходимость числового ря-
да
=1n
n
u
.
а) если несобственный интеграл
1
)( dxxf
сходится, то сходится и ряд
=1n
n
u
;
б) если несобственный интеграл
1
)( dxxf
расходится, то расходится и
=1n
n
u
.
Замечание. Для исследования на сходимость ряда
=
0
nn
n
u
, где
,1
0
n
Nn
0
, по интегральному признаку Коши можно
либо 1) на основании свойства 5 числовых рядов исследовать сходимость
ряда
=1n
n
u
вместо ряда
=0nn
n
u
, если
121
0
,,
−n
uuu
определены, и условия
теоремы 9 выполняются для ряда
=1n
n
u
;
либо 2) использовать теорему 9 в следующей формулировке: Если члены
неотрицательного ряда
=
0
nn
n
u
, где
,1
0
n
Nn
0
, могут быть представлены как
числовые значения некоторой непрерывной функции
)(xf
монотонно убыва-
ющей на промежутке
);[0n
, так, что
0
)(
0 n
unf =
,
10
0
)1(
+=+n
unf
, …,
n
unf =)(
, …., то из сходимости/расходимости несобственного интеграла
0
)(ndxxf
следует сходимость/расходимость числового ряда
=0nn
n
u
.
48
Пример 50. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда
(ряд Дирихле)
=1
1
n
p
n
, где p – любое действительное число.
Решение. Рассмотрим функцию
p
x
xf
1
)( =
. Эта функция положительна и
убывает на промежутке
);1[
. Вычислим соответствующий несобственный ин-
теграл. Если
1p
, то
=
−
−
−
=
+−
==
−
→
+−
→
−
→
pp
b
p
x
dxxdx
x
p
b
b
p
b
b
p
b
p
1
1
1
lim
1
limlim
1
1
1
1
11
−
−
=
−
−
−
=
−
→
1при,
1при,
1
1
1
1
1
lim
1
p
p
p
pp
b
p
b
.
Если p=1, то
( )
( )
==−===
→→→→
bbxdx
x
dx
x
bb
b
b
b
b
lnlim1lnlnlimlnlim
1
lim
1
1
11
.
Таким образом,
1
1
dx
x
p
сходится при
1p
и расходится при
1p
.
Тогда, согласно интегральному признаку Коши ряд
=1
1
n
p
n
сходится при
1p
и расходится при
1p
.
Ответ: сходится при
1p
и расходится при
1p
.
Ряд
=1
1
n
n
называется гармоническим рядом. Данный ряд расходится, как
только что было доказано.
Пример 51. Исследовать сходимость ряда
=1
10
1
n
n
.
Решение. Данный числовой положительный ряд имеет вид
=
=
=
1
101
1
10
11
nn
n
n
.
Значит, он расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем
1p
=
10
1
p
.
Ответ: расходится.
49
Пример 52. Исследовать сходимость ряда
=1
2
n
n
e
n
.
Решение. Рассмотрим функцию
2
)(
x
e
x
xf =
. Эта функция положительна и
убывает на промежутке
);1[
. Используя интегральный признак Коши, вычис-
лим несобственный интеграл
( )
=
−=−−==
−
→
−
→→
b
x
b
b
x
b
b
x
b
x
exdedx
e
x
dx
e
x
1
1
2
11
22
22
lim
2
1
lim
2
1
lim
const
e
ee
b
b
==
−−=
−−
→
2
1
lim
2
1
1
2
.
Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд
=1
2
n
n
e
n
.
Ответ: ряд сходится.
Пример 53. Исследовать сходимость ряд
=1lnn
n
n
.
Решение. Для исследования данного ряда будем использовать интеграль-
ный признак Коши. Для этого рассмотрим функцию
( )
x
x
xf
ln
=
и проверим,
что она удовлетворяет условиям теоремы 9.
1) Функция
( )
x
x
xf
ln
=
положительна при
1x
.
2) Функция
( )
x
x
xf
ln
=
монотонно убывает при
8x
. Чтобы убедиться
в этом, найдем по первую производную:
( )
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xf
22
ln2
2
2
1
ln
1
ln
2
1ln
−
=
−
=
=
=
.
Полученная производная отрицательна при
2
ex
. Таким образом, функ-
ция
( )
x
x
xf
ln
=
монотонно убывает при
8x
.
Так как условия теоремы 9 при
2x
выполняются при
8x
, и по свой-
ству числовых рядов первые 7 членов ряда не меняют сходимо-
сти/расходимости данного ряда, то применим интегральный признак сходимо-
50
сти к исследованию ряда
=8
ln
n
n
n
. Для этого вычислим несобственный инте-
грал:
=
=
+→
+ b
b
dx
x
x
dx
x
x
88
ln
2
1
lim
ln
для вычисления интеграла будем использовать формулу интегрирования по ча-
стям
xdx
x
vdx
x
du
dx
x
dv
xu
2
1
;
1
1
ln
===
=
=
=
−−=
−=
+→+→
b
b
b
b
b
xbbdx
x
x
xx
8
8
8
48ln82ln2lim
2
1
2ln2lim
2
1
( ) ( )
=+−−=+−−=
+→+→
828ln8)2(lnlim8228ln8lnlim bbbbb
bb
const=
.
Несобственный интеграл
+
8
ln
dx
x
x
расходится, значит, по интеграль-
ному признаку расходится и ряд
( ) ( )
=
++
3
33
2
1ln1
n
nn
n
. По свойству 5 числовых
рядов исходный ряд также расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 54. Исследовать сходимость ряд
( ) ( )
=
++
1
33
2
1ln1
n
nn
n
.
Решение. Для исследования данного ряда будем использовать интеграль-
ный признак Коши. Для этого рассмотрим функцию
( )
( ) ( )
1ln1
33
2
++
=
xx
x
xf
и
проверим, что она удовлетворяет условиям теоремы 9.
1) Функция
( )
( ) ( )
1ln1
33
2
++
=
xx
x
xf
положительна при
1x
.
2) Функция
( )
( ) ( )
1ln1
33
2
++
=
xx
x
xf
монотонно убывает. Убедиться в этом
можно, проведя исследование по первой производной:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]