Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые ряды в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdf
51
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
=
++
+
+++−++
=
++
=
2
33
3
2
332233
33
2
1ln1
1
3
)1(1ln31ln12
1ln1
xx
x
x
xxxxxxx
xx
x
xf
( )
( ) ( )( )
2
33
333
1ln1
3)2()1ln(
++
−−+
=
xx
xxxx
.
Полученная производная отрицательна, по крайней мере, при
2x
. Та-
ким образом, функция
( )
( ) ( )
1ln1
33
2
++
=
xx
x
xf
монотонно убывает, по крайней
мере, при
2x
.
Так как условия теоремы 9 при
2x
выполняются, и по свойству число-
вых рядов первые 2 члена ряда не меняют сходимости/расходимости данного
ряда, то применим интегральный признак сходимости к исследованию ряда
( ) ( )
=
++
3
33
2
1ln1
n
nn
n
. Вычислим несобственный интеграл:
( ) ( ) ( ) ( )
=
++
=
++
+→
+ b
b
xx
dxx
xx
dxx
3
33
2
3
33
2
1ln1
lim
1ln1
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
=
+
+
=
+=
+
+
=
+=
+→
b
b
x
xd
xddx
x
x
x
x
x
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1ln
1ln
lim1ln
3
1
11
3
1ln
( )( ) ( )( )
( )
( )
constconstbx
b
b
b
=−=−+=
+=
+→+→
4lnln1lnlnlim1lnlnlim
3
3
3
.
Несобственный интеграл
( ) ( )
+
++
3
33
2
1ln1 xx
dxx
расходится, значит, по инте-
гральному признаку расходится и ряд
( ) ( )
=
++
3
33
2
1ln1
n
nn
n
. По свойству 5 чис-
ловых рядов исходный ряд также расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 55. Исследовать сходимость ряд
=+1
24
arctg)1(
n
nn
n
.
Решение. Для исследования данного ряда будем использовать интеграль-
ный признак Коши. Для этого рассмотрим функцию
( )
24
arctg)1( xx
x
xf
+
=
.
Данная функция положительна и монотонно убывает при
1x
, так как при
этих значениях
x
производная отрицательна:
52
( )
( )
=
+
+
++−+
=
+
=
2
24
4
42324
24
arctg)1(
1
2
)1(arctg4arctg)1(
arctg)1(
xx
x
x
xxxxxx
xx
x
xf
( )
0
arctg)1(
2)31(arctg
2
24
242
+
−−
=
xx
xxx
.
Так как условия теоремы 9 выполняются, то вычислим несобственный
интеграл:
=
+
=
+
+→
+ b
b
xx
dxx
xx
dxx
1
24
1
24
arctg)1(
lim
arctg)1(
( ) ( )
( )
==
=
+
+
=
=
+→
b
b
x
xd
xddx
x
x
x
x
x
1
2
2
2
44
2
arctg
arctg
lim
2
1
arctg
2
1
)1()1(
2
arctg
( ) ( )
( )
( )
=
−=−=
=
+→+→
4
ln
2
ln
2
1
1arctglnarctglnlim
2
1
arctglnlim
2
1
2
1
2
bx
b
b
b
const== 2ln
2
1
.
Несобственный интеграл
+
+
1
24
arctg)1( xx
dxx
сходится, значит, по инте-
гральному признаку сходится и ряд
=
+
1
24
arctg)1(
n
nn
n
.
Ответ: ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
99–113. Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость рядов:
99.
=−1
12
1
n
n
100.
=+2
4
)2(
1
n
n
101.
=+1
2
1
n
n
n
102.
=
+
1
2
5
1
n
n
103.
=2
ln
1
n
nn
104.
=1lnn
n
n
105.
=1
7
5ln
n
n
n
106.
=1
2
ln
n
n
n
107.
=2
ln
1
n
nn
108.
=2
3
ln
1
n
nn
109.
=2
ln
1
n
p
nn
110.
=3
lnlnln
1
n
nnn
111.
=1
2
1
sin
1
n
n
n
112.
=+1
2
1
arctg
n
n
n
113.
=
+++
1
22
)2(arctg)54(
1
n
nnn
53
8 Признак сравнения
Теорема 10 (признак сравнения). Если для всех
Nn
выполняется усло-
вие
nn
vu 0
, тогда
а) из сходимости ряда
=1n
n
v
следует сходимость ряда
=1n
n
u
;
б) из расходимости ряда
=1n
n
u
следует расходимость ряда
=1n
n
v
.
Замечание. Из свойства 5 числовых рядов следует, что теорема 10 остает-
ся в силе, если условие
nn
vu 0
выполняется при всех n, начиная с некото-
рого номера
m
.
Пример 56. Исследовать сходимость числового ряда
=
−
3
2
1
n
n
.
Решение. Так как для любого
Nn
справедлива оценка
2
11
−
nn
,
и ряд
=3
1
n
n
расходится как гармонический, то по признаку сравнения ряд
=−3
2
1
n
n
также расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 57. Исследовать сходимость числового ряда
=
+
1
2
1
n
nn
.
Решение. Так как для любого
Nn
справедлива оценка
22
11
nnn+
,
и ряд
=1
2
1
n
n
сходится как обобщенный гармонический с показателем
12 =p
,
то по признаку сравнения ряд
=+1
2
1
n
nn
также сходится.
Ответ: ряд сходится.
54
Пример 58. Исследовать сходимость ряда:
( )
=
++
+−
1
2
2
2
2cos1
n
nn
nn
.
Решение. Данный ряд является положительным.
Так как
( )
12cos
2
−+ nn
, то можем оценить общий член ряда следующим
образом:
( )
nnnnnn
nn
+
++
++
+−
222
2
2
2
2
2
2cos1
.
Ряд
=
+
1
2
1
n
nn
сходится (см. пример 5). Тогда по свойству 1 числовых
рядов также сходится ряд
=
+
1
2
1
2
n
nn
.
Следовательно, по признаку сравнения, так как верхняя оценка даёт схо-
дящийся ряд, то сходится и исходный ряд.
Ответ: ряд сходится.
Пример 59. Исследовать сходимость ряда:
=
+
2
57
arcctgln
n
n
n
nn
.
Решение. Заметим, что
narcctg0
и
nn ln
при
Nn
(см. рис. 1 и рис. 2).
Тогда общий член ряда можем оце-
нить следующим образом:
+
+
+
5757
ln
57
arcctgln
nnn
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
==
7
1
77
.
Ряд
=
2
7
1
n
n
сходится, так как пред-
ставляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем
1
7
1
=q
(см. пример 4).
Рис. 1
Рис. 2
55
Тогда по свойству 1 числовых рядов также сходится ряд
=
2
7
1
n
n
.
Значит, по признаку сравнения, так как верхняя оценка даёт сходящийся ряд, то
сходится и исходный ряд.
Ответ: ряд сходится.
Пример 60. Исследовать сходимость ряда:
( )
=
+
−
0
2sin2
arctg4
n
n
n
.
Решение. Оценим числитель и знаменатель общего члена ряда.
Так как
2
arctg
2
− n
,
то
2
4arctg4
2
4
+−− n
.
Так как
( )
12sin1 − n
,
то
( )
32sin21 + n
.
Тогда
( ) ( )
3
2
4
2sin2
2
4
2sin2
arctg4
−
+
−
+
−
nn
n
.
Ряд
=
−
0
3
2
4
n
расходится по достаточному условию расходимости ряда:
0
3
2
4
3
2
4
lim
−
=
−
→
n
.
Следовательно, по признаку сравнения расходится и ряд
( )
=
+
−
0
2sin2
arctg4
n
n
n
.
Ответ: ряд расходится.
Пример 61. Исследовать сходимость ряда:
( )
=
−
+
2
2
1
3ln
n
n
n
.
Решение. Заметим, что для общего члена данного положительного ряда
справедлива оценка:
( ) ( )
3
3ln
1
3ln
22
+
+
−
+
n
n
n
n
56
при
2, nNn
.
Сходимость ряда
( )
=
+
+
2
2
3
3ln
n
n
n
удобно проверить по интегральному при-
знаку Коши. Этот признак применим, если функция
( )
( )
3
3ln
2
+
+
=
x
x
xf
неотрица-
тельна и монотонно убывает, начиная с некоторого значения
x
.
1) Функция
( )
( )
3
3ln
2
+
+
=
x
x
xf
неотрицательна при
2x
.
2) Проверим убывание, используя методы дифференциального исчисле-
ния.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
22
2
2
3
3ln23ln
3
13ln3
3
3ln2
3
3ln
+
+−+
=
+
+−+
+
+
=
+
+
=
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xf
;
( ) ( ) ( )
23lnили03ln0 =+=+=
xxxf
13 =+x
2
3 ex =+
2−=x
3
2
−= ex
( )
xf
не существует при
3−=x
.
Получаем
Так как
53
2
−e
, то при
5x
функция
( )
xf
монотонно убывает.
Итак, функция
( )
( )
3
3ln
2
+
+
=
x
x
xf
неотрицательна и монотонно убывает при
5x
. Вернемся к исходному ряду и перепишем его в удобном виде
( ) ( )
=
=
+
+
+++=
+
+
5
2222
2
2
3
3ln
7
7ln
6
6ln
5
5ln
3
3ln
nn
n
n
n
n
.
По свойству 5 числовых рядов конечное число слагаемых не влияет на
сходимость ряда, поэтому будем исследовать положительный ряд
( )
=
+
+
5
2
3
3ln
n
n
n
по интегральному признаку:
( ) ( )
( ) ( )( )
=++=
+
+
=
+
+
+→+→
+ b
b
b
b
xdxdx
x
x
dx
x
x
5
2
5
2
5
2
3ln3lnlim
3
3ln
lim
3
3ln
( ) ( )
( )
=−=−+=+=
+→+→
constbx
b
b
b
8ln3lnlim
3
1
3ln
3
1
lim
33
5
3
.
57
Несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному
признаку Коши ряд
( )
=
+
+
5
2
3
3ln
n
n
n
также расходится.
Значит, расходится ряд
( )
=
+
+
2
2
3
3ln
n
n
n
.
Таким образом, по признаку сравнения
( )
=
−
+
2
2
1
3ln
n
n
n
является расходя-
щимся.
Ответ: ряд расходится.
Пример 62. Исследовать сходимость ряда:
=
+
1
4
arctg)2(
ln
n
nnn
n
.
Решение. Оценим общий член данного неотрицательного ряда:
=
+
=
+
+ nnn
n
nnn
n
Nnnn
nnn
n
arctg)2(arctg)2(
,ln
arctg)2(
ln
344
nn
Nnnn
nn
nn arctg)1(
1
при)1(1
кактак,21
arctg)2(
1
2
2
32
3
+
−−
++
+
=
.
Таким образом,
Nn
nnnnn
n
+
+
,
arctg)1(
1
arctg)2(
ln
24
.
Исследуем сходимость ряда
=+1
2
arctg)1(
1
n
nn
.
Функция
( )
xx
xf
arctg)1(
1
2
+
=
при
1x
положительна и монотонно
убывает. Значит, можем использовать интегральный признак Коши:
( )
===
+
=
+
+→+→+→
+
b
b
b
b
b
b
x
x
xd
xx
dx
xx
dx
1
11
2
1
2
)ln(arctglim
arctg
)(arctg
lim
arctg)1(
lim
arctg)1(
=−=
+→→=−=
+→
4
ln
2
lnпри
2
arctg))1ln(arctg)(ln(arctglim
bbb
b
2ln
4
:
2
ln =
=
.
58
Так как
const
xx
dx
==
+
+
2ln
arctg)1(
1
2
, то интеграл сходится. Тогда по ин-
тегральному признаку сходится и ряд
=
+
1
2
arctg)1(
1
n
nn
.
По признаку сравнения из сходимости ряда
=
+
1
2
arctg)1(
1
n
nn
следует
сходимость ряда
=
+
1
4
arctg)2(
ln
n
nnn
n
.
Ответ: ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
114.-125. Исследовать ряды на сходимость по признаку сравнения:
114.
=
−
1
13
1
n
n
115.
=
+
1
2
2
1
n
n
n
116.
=
−
+
1
5
4
34
n
n
nn
117.
=
+
−−
1
6
3
134
n
nn
nn
118.
=
+
1
)4(3
2
n
n
n
n
119.
=
+
2
3
3
2
ln
n
nn
n
120.
=
−
+
2
1
)32ln(
n
n
n
n
121.
=
−
+
4
)2ln(
5
n
n
n
122.
=
+
+
1
23
)2(
cos1
n
n
n
e
123.
=
+
1
2
ln5
arctg
n
n
n
n
124.
=
+
1
313
)2(
arctg
n
nn
n
125.
=
+
+
1
)arctg(
)1ln(
n
nn
n
59
9 Предельный признак сравнения
Теорема 11 (предельный признак сравнения). Если
0
n
u
и
0
n
v
для
всех
Nn
(или для всех n, начиная с некоторого заданного номера) и
k
v
u
n
n
n
=
→
lim
, где
k0
, то ряды
=1n
n
u
и
=1n
n
v
либо оба сходятся, либо оба
расходятся.
Заметим, что при применении предельного признака сравнения для оцен-
ки общего члена ряда удобно использовать эквивалентные величины (см. при-
ложение 1), так как для эквивалентных величин известно, что предел их отно-
шения равен 1.
Пример 63. Исследовать сходимость числового ряда
=
−
2
2
1
n
nn
.
Решение. Имеем
nn
u
n
−
=
2
1
.
Так как при
→n
многочлен эквивалентен своей старшей степени, то в
качестве нового ряда возьмем ряд с общим членом
2
1
n
v
n
=
. Проверим условие
предельного признака сравнения:
1limlim
1
:
1
limlim
2
2
2
2
22
==
=
−
=
−
=
→→→→
n
n
nn
n
nnn
v
u
nnn
n
n
n
.
Условие признака выполняется, значит, вместо ряда
=
−
2
2
1
n
nn
на схо-
димость можно исследовать ряд
=2
2
1
n
n
, который сходится как обобщенный
гармонический ряд с показателем
12 =p
.
Значит, по предельному признаку сравнения ряд
=
−
2
2
1
n
nn
также схо-
дится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 64. Исследовать сходимость ряда:
=
−
+
1
34
27
n
nn
nn
.
Решение. Для исследования сходимости будем использовать предельный
признак сходимости.
60
Так как и числитель, и знаменатель являются бесконечно большими ве-
личинами при
→n
, то при вычислении предела можем оставить от суммы
одно слагаемое, у которого более высокий порядок роста.
Так как
=
=
→→
n
n
n
n
n
2
7
lim
2
7
lim
,
следовательно,
n
7
имеет более высокий порядок роста относительно
n
2
,
поэтому
nnn
7~27 +
при
→n
.
Аналогично,
nnn
n
n
n
n
n
4~34
3
4
lim
3
4
lim −=
=
→→
при
→n
.
Таким образом,
n
n
n
nn
nn
=
−
+
4
7
4
7
~
34
27
.
Ряд
=
1
4
7
n
n
расходится, так как не выполняется необходимое условие
сходимости
0
4
7
lim =
→
n
n
.
Значит, по предельному признаку сходимости ряд
=
−
+
1
34
27
n
nn
nn
так же
расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 65. Исследовать сходимость числового ряда
=1
5
tg
n
n
.
Решение. Имеем
n
u
n
5
tg
=
.
Так как
xx ~tg
при
0→x
, и
0
5→n
при
→n
, то в качестве нового ря-
да возьмем ряд с общим членом
n
v
n
5
=
. Проверим условие предельного при-
знака сравнения:
1
5
:
5
lim
5
:
5
tglimlim =
=
=
→→→
nnnnv
u
nn
n
n
n
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]