Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
1
=
(1)cos + cos
+
=
=
= 0,
=
=
1
cos
2
(
1 cos
1
=
(1)sin
cos
2
)
=
(
1 (1)
=
1
(
1 cos + 1 cos
+ sin
0, есличетное
=
4
)
, еслинечетное.
=
)
=
f (x)
-3π -2π -π 0 π 2π 3π x
Рис. 3.4. График 2π-периодической функции (),
1, (, 0
заданной на промежутке (-π,π] формулой () =
1, [0, ]
Найдем ряд Фурье функции () по формуле (3.7):
+
+
+ .
Обозначим через () сумму этого ряда. По теореме Дирихле
() = ()
)
во всех точках непрерывности функции (),
141
(
) = 0
в точках разрыва = , .
График функции () показан на рис. 3.5.
На рис. 3.6 показаны графики функции () и частичных сумм
(), (), ().
S (x)
-3π -2π -π O π 2π 3π x
Рис. 3.5. График функции (), ()= (
непрерывности функции (), (
)
во всех точках
)
= 0 в точках разрыва
= ,
Рис. 3.6. График функции () (показан красным цветом);
графики частичных сумм
()
(показан розовым цветом),
Ответ. () =
()
(показан пунктирной линией черного цвета),
() (показан синим цветом)
+
+
142
+ , \{,
}
.
3.4. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ С ПЕРИОДОМ 2l
Пусть задана функция () с периодом 2l, удовлетворяющая услови-
ям Дирихле на отрезке [, ], > 0.
Сделаем замену переменной по формуле
=
, [,
]
,
тогда получим функцию
() =
[, ], 2-периодическую
1
и удовлетворяющую условиям Дирихле
,
на отрезке [, ]. По теореме Дирихле функция () разлагается в ряд
Фурье в точках ее непрерывности:
∞
(
)
=
+ (cos + sin
)
2
с коэффициентами
=
=
()cos
()sin
(= 0,1,2, . ..),
(= 1,2, . ..).
.
Теперь возвратимся к прежней переменной х, полагая =
Тогда получим разложение заданной периодической функции ()
с периодом 2l в ряд Фурье:
)
(
1
Так как (+ 2) =
=
=
+
()
∞
)
(
=
cos
+ 2=
cos
+
(= 0,1,2, . ..),
= ()).
sin
, (3.8)
143
=
Определение 3.11. Ряд
(
)
sin
(= 1,2,...). (3.9)
+
∞
cos
+
sin
(3.10)
с коэффициентами (3.9), независимо от того, сходится он к функции
() или нет, называется рядом Фурье функции () с периодом Т = 2l.
Обозначение:
(
)
~
+
∞
cos
+
sin
.
Замечание. Все утверждения, имеющие место для периодических
функций с периодом 2, справедливы и для периодических функций с пе-
риодом 2l.
Пример 3.5. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом = 4,
заданную на промежутке
(
2,2
]
формулой
() =
, 0 < 2.
Решение. Функция () удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на
0, 2 < 0
отрезке
[
2,2
]
, значит, она разлагается в ряд Фурье в точках ее непрерыв-
ности. График функции () показан на рис. 3.7.
f (x)
2
-6 -4 -2 О 2 4 6 x
Рис. 3.7. График 2π-периодической функции (),
заданной на промежутке
(
2,2] формулой () =
144
0, 2 < 0
, 0 < 2
Так как = 4, то положим = 2.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.9):
=
()=
0+
=
Если , то
= 1,
1
=
(
2
1
=
2
)
2
sin
2
=
(
cos 1
cos
2
2
)
=
=
1
2
2
sin
2
0 cos
=
2
(
(1)1)=
+
2
1
2
2
0, четное
4
1
=
(
2
)
=
sin
1
2
2
2
1
=
2
cos
1
=
cos
0 cos
2
+
2
2
+
cos
2
sin
+
2
2
2
cos
2
2
2
cos
, нечетное,
sin
2
=
=
=
=
=
8
=
1
(
2 cos
)
8(1)
=
=
, четное
8
, нечетное.
Запишем ряд Фурье для заданной функции (), подставив получен-
ные коэффициенты Фурье в формулу (3.10):
1
2
+
4
sin
cos
2
sin +
+
1
9
cos
3
2
sin
145
+
1
25
5
cos
+ +
2
sin 2+ .
Обозначим сумму полученного ряда Фурье через (). По теореме
Дирихле () = () во всех точках непрерывности функции (),
+ 0
)
=
2 + 0
= 1
2
(
в точках разрыва
(0)+ (
)
=
= ±2, ±6, ±10, ….
2
График функции () показан на рис. 3.8.
S (x)
2
-6 -4 -2 О 2 4 6 x
Рис. 3.8. График функции (
()= () во всех точках непрерывности функции (
)
:
)
;
(
)
= 1 в точках разрыва
= ±2, ±6, ±10, …
Ответ.
(
+
)
=
1
2
sin
4
cos
2
sin +
\
1
+
9
{
±2, ±6, ±10, …
cos
3
sin
2
+
1
5
cos
25
sin 2+ ,
}
2
.
+ +
Замечание. Если функция () – 2l-периодическая, то отрезок [,
может быть заменен любым другим отрезком
[
, + 2
]
длины 2l и фор-
мулы (3.9) примут вид
=
(
)
cos
(= 0,1,2, . ..),
]
=
(
)
sin
146
(= 1,2, . ..). (3.9а)
Пример 3.6. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом = 2,
заданную на интервале (0,2
]
формулой
3, 0 < 1
() =
3, 1 < 2.
Решение. Функция () удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на
отрезке [0,2], значит, она разлагается в ряд Фурье в точках непрерывно-
сти. Так как = 2, то положим = 1. Вычислим коэффициенты Фурье по
формулам (3.9а), положив = 0,
=
()=
3+
3
=
3
|
+
=
.
Если , то
= () cos = 3 cos +
3 sin
=
+ 3
3
=
(cos 2cos ) =
sin
+
3
cos
(1 (1)
0, четное
=
, нечетное,
= ()sin = 3 sin +
=
3 cos
+ 3
cos
+
3cos
=
3sin
sin
=
=
=
=
3
(
cos cos 0
3
=
3
)
+
(
2 cos 2+ cos
(
cos 1 + 2 cos )=
147
3
)
=
.
Запишем ряд Фурье для заданной функции (), подставив получен-
ные коэффициенты Фурье в формулу (3.10):
15
4
+
6
cos +
sin +
1
cos 3+
9
sin 2+
1
cos 5+
25
sin 3+ .
Обозначим сумму полученного ряда Фурье через ().
По теореме Дирихле () = () во всех точках непрерывности
функции (), в точках разрыва (2)= 3, .
Постройте графики функций () и ().
Ответ.
(
sin +
15
)
=
4
6
+
cos +
sin 2+
1
cos 3+
9
sin 3+ , \{2,
1
cos 5+
25
}
.
3.5. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
3.5.1. Свойства четных и нечетных функций
Лемма 3.1 (Свойства четных и нечетных функций).
1. Если () интегрируема и нечетна на отрезке [, ], > 0, то
()= 0
2. Если () интегрируема и четна на отрезке [, ], > 0, то
()
= 2
3. Произведение двух четных функций является четной функцией.
4. Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
.
()
.
5. Произведение четной и нечетной функций является нечетной
функцией.
148
6. Производная четной функции является нечетной функцией, а про-
изводная нечетной функции – четной.
Доказательство. Докажем свойство 1:
= , = ;
= , =
()= ()+ ()=
= , = ;
=
= 0, = 0
=
()
+
()= 0
.
3.5.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
с периодом
Теорема 3.5. Если () нечетная на отрезке [, ], 2-периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [, ],
то в точках непрерывности функция () разлагается в ряд Фурье по
синусам:
∞
() =
sin
, (3.11)
где
=
() sin
, = 1,2, … . (3.12)
Доказательство. Поскольку функция () – нечетная на отрезке
[, ], то функция ()cos – нечетная, функция ()sin – четная
на отрезке [, ]. По лемме 3.1 получим
=
()= 0
()cos = 0
,
, = 1,2, …,
=
=
()sin =
()sin
149
, = 1,2, … .
По теореме Дирихле в точках непрерывности функция() разлагает-
ся в ряд Фурье по синусам (3.11). Теорема доказана.
Теорема 3.6. Если функция () четная на отрезке [, ], 2-
периодическая, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [, ],
то в точках непрерывности она разлагается в ряд Фурье по косинусам:
() =
+
∞
cos
, (3.13)
где
=
() cos
, = 0,1,2, . . . . (3.14)
Доказательство. Поскольку функция () – четная на [, ], то
функция ()cos – четная, функция ()sin – нечетная на [, ].
Откуда,
=
() sin
=
= 0, = 1,2, …,
2
() cos
, = 0,1,2,...
1
=
() cos
По теореме Дирихле в точках непрерывности функция() разлагает-
ся в ряд Фурье по косинусам
() =
+
∞
cos
.
Теорема доказана.
Пример 3.7. Разложите в ряд Фурье 2-периодическую функцию (),
заданную на отрезке [, ] формулой () =
.
Решение. Функция () четная на отрезке [, ], 2-периодическая
функция, удовлетворяет условиям Дирихле на [, ].
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.14):
=
()
=
150
=
=
,