Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Определение 3.3. Пусть функции (), (
)
непрерывны на отрезке
[
, ], (
)
непрерывна на интервале
()()()
(
, ), () 0, (,
= 0,
)
. Если
то функции () и () называются ортогональными на отрезке [,
с весом ().
Определение 3.4. Пусть дана бесконечная система непрерывных на
отрезке
[
, ] функций
()
,
()
, … ,
()
()
, … таких, что
0, .
1. Система функций (), (), … , (), … называется ортого-
нальной на отрезке
[
,
]
, если
()()
= 0, , , .
2. Система функций (), (), … , (), … называется нормиро-
]
ванной на отрезке
[
,
]
, если
()
= 1, .
3. Система функций (), (), … , (), … называется ортонорми-
рованной на отрезке
[
,
]
, если
()()
0,
=
1, = .
Пример 3.1. Система функций sin , sin 2, … , sin , … ортогональна
[
на отрезке
0,
]
.
Действительно, , , ,
sin sin
=
=
cos( + )+
()
()
+
cos( )
= 0.
Пример 3.2. Система многочленов Лежандра
=.
()
() =
= 1,
()
= , () =
+
,…, () =
131
3
2
1
, () =
2
!
(
5
2
1
3
,
2
)
, …
ортогональна на отрезке
[
1,1
]
, так как
1
()()
0,
=
2
2+ 1
, = .
Утверждение 3.1. Система функций
1, cos , sin , cos 2, sin 2, … , cos , sin , …
ортогональна на отрезке
[
,
Доказательство. Вычислим интегралы по промежутку
]
.
[
,
]
от все-
возможных произведений двух различных функций системы и убедимся,
что все они равны 0. Для , имеем
1 cos =
1 sin =
= 0,
= 0,
cos sin
sin( + )
sin( )
=
= 0. (3.4)
При
cos cos
sin sin
Замечание. Формулы (3.4) справедливы на отрезке
=
=
cos( + )+
cos( + )+
cos( )
cos( )
[
, + 2],
(по свойству 4 периодических функций), т. е. система функций
1, cos , sin , cos 2, sin 2, … , cos , sin , …
= 0,
= 0.
ортогональна на любом отрезке
1
Эту формулу можно доказать по индукции, используя многократно формулу интегрирования
по частям.
[
, + 2] длины 2.
132
Теорема 3.1. Пусть функции (),
()
, , непрерывны на от-
резке
отрезке
() на отрезке [,
[
, ] и система функций (), (), … , (), … ортогональна на
[
,
]
. Если ряд
]
,
()
() =
равномерно сходится к функции
∞
()
,
то коэффициенты этого ряда определяются формулами
()
=
()
()
, .
Доказательство. Равенство
()
()
=
()
+
()
()
+ +
+
()
()
()
+ +
()
+ ,
()
()
+
полученное из исходного представления (
сходящегося ряда умножением на
()
, можно почленно интегрировать.
)
в виде суммы равномерно
В силу ортогональности системы (), (), … , (), … равны нулю
интегралы от всех слагаемых в правой части, кроме
()()
Определение 3.5. Ряд
=
∞
()
()
=
()
()
()
с коэффициентами
, ,
.
()
, т. е. :
независимо от того, сходится он к функции () или нет, называется
(обобщенным) рядом Фурье функции () по ортогональной системе
функций (), (), … , (), … , а коэффициенты – (обобщенными) ко-
эффициентами Фурье.
Обозначение: ()~
()
.
133
Если ряд Фурье
()
сходится к функции (), то говорят,
что функция () разлагается в ряд Фурье по ортогональной системе
функций (), (), … , (), … .
∞
Обозначение: () =
()
.
Определение 3.6. Ряд по ортогональной системе функций
1, cos , sin , cos 2, sin 2, … , cos , sin , …
имеет вид
+ cos + sin + cos 2+ sin 2+ + cos +
2
∞
а
+ sin + =
+ (cos + sin
)
2
и называется тригонометрическим рядом.
Теорема 3.2 (Достаточный признак сходимости тригонометрического
ряда). Если сходится числовой ряд
+ (cos + sin
(
|
|+|
)
|
, то ряд
)
2
сходится равномерно и абсолютно .
Теорема 3.3. Если 2-периодическая, непрерывная на отрезке [,
]
функция () разлагается в равномерно сходящийся на всей числовой оси
тригонометрический ряд
() =
+
∞
(
cos + sin
)
, (3.5)
то коэффициенты этого ряда определяются формулами
1
=
()
134
,
=
()cos
() sin
, (3.6)
, .
=
Доказательство. Применим формулы для коэффициентов из теоре-
мы 3.1 к ортогональной на отрезке
1
, cos , sin , cos 2, sin 2, … , cos , sin , … .
2
1
2
поэтому
()
cos
=
=
(
1 + cos 2)
поэтому
[
,
=
=
]
системе функций
1
2=
4
=
2
()
,
.
+
cos 2=
,
1
=
sin
() cos
=
(
1 cos 2)
, .
= ,
поэтому
=
()sin ,
.
Отметим, что формула для «совпадает» с формулой для , ,
если взять = 0 (так как cos 0 = 1). Именно для такого «однообразия»
формул
нии (
)
первое слагаемое в (3.5) обозначено
в конце пункта 3.1.3).
(а не
, как в разложе-
135
Определение 3.7. Тригонометрический ряд
а
+
∞
(
cos + sin
)
, (3.7)
коэффициенты которого определяются формулами (3.6), независимо от
того, сходится он к функции (
ции (
)
.
Обозначение: ()~
а
+
)
или нет, называется рядом Фурье функ-
∞
(
cos + sin
)
.
Коэффициенты , ,, , определяемые формулами (3.6),
называются коэффициентами Фурье.
3.3. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
С ПЕРИОДОМ
Формально для интегрируемой на отрезке
но составить ряд Фурье. Однако не всегда ряд Фурье функции () сходится к самой функции (), т. е. имеет место равенство
[
, ] функции () мож-
() =
+
∞
(
cos + sin
)
.
а
Определение 3.8. Функция () называется кусочно-монотонной на
[
отрезке
]
,
, если этот отрезок можно разбить на конечное число отрез-
ков, внутри каждого из которых функция монотонна.
Определение 3.9. Функция () называется кусочно-непрерывной на
[
отрезке
]
,
, если она в нем непрерывна, за исключением конечного чис-
ла точек разрыва I-го рода.
Определение 3.10. Если функция () кусочно-непрерывна и кусоч-
но-монотонна на отрезке
[
, ], то говорят, что функция () удовлетво-
ряет условиям Дирихле на отрезке [a,b].
Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия разложи-
мости функции в ряд Фурье.
136
Теорема 3.4 (Теорема Дирихле). Если 2-периодическая функция
() удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [,
функции () сходится к сумме (
)
,
]
, то ряд Фурье
()= () , если x – точка непрерывности функции ();
(
=
, если x – точка разрыва функции ().
()()
)
Теорема говорит о том, что если 2-периодическая функция ()
удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке
[
,
]
, то в точках ее непре-
рывности имеет место разложение
() =
+
(
cos + sin
)
,
причем коэффициенты , ,, = 1,2, …, вычисляются по форму-
лам (3.6).
Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции
(). Значения функции () в точках ее разрыва не влияют на ее разло-
жение в ряд Фурье. Это значит, что функции, имеющие одни и те же точ-
ки разрыва и отличающиеся друг от друга лишь в этих точках, разлагают-
ся в один и тот же ряд Фурье. Заметим, что сумма () ряда Фурье определена и является 2π-периодической функцией.
Замечание. Если функция () – 2-периодическая, то отрезок
[
,
]
может быть заменен любым другим отрезком
[
, + 2
]
длины
2 и формулы (3.6) примут вид
1
=
()
,
=
=
() cos
, = 1,2, … (3.6а)
() sin , = 1,2, …
137
.
Пример 3.3. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом 2π, за-
данную на промежутке (, ] формулой () = .
Решение. Функция () определена , 2π-периодическая, удо-
влетворяет условиям Дирихле на [, ]. Значит, она разлагается в ряд
Фурье в точках ее непрерывности.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.6):
=
=
= 0,
= =
= cos =
sin
=
1
cos
sin
=
= 0
=
1
=
cos =
1
sin
(заметим, что данные интегралы равны нулю, поскольку подынтегральные
функции являются нечетными функциями на отрезке интегрирования),
2
sin =
1
=
sin =
= =
=
= sin =
cos
=
=
=
2
cos
+
cos
=
1
cos +
sin
=
2
cos +
=
sin
2
(1)
sin 0
(1)
=
=
2
(
cos
2
.
Ряд Фурье функции () запишем по формуле (3.7):
sin
2
1
sin 2
2
+
138
sin 3
.
3
)
=
По теореме Дирихле сумма () этого ряда равна () = () во
всех точках непрерывности функции (), (
) = 0 в точках разрыва
= ±; ±3; … функции ().
График функции () показан на рис. 3.1, а функции () – на рис. 3.2.
f (x)
-3π -2π -π 0 π 2π 3π x
Рис. 3.1. График функции () с периодом 2π,
заданной на (-π,π] формулой ()=
S(x)
-3π -2π -π 0 π 2π 3π x
Рис. 3.2. График функции (), ()= (
)
во всех точках непрерывности функции (), (
в точках разрыва
= ±; ±3; … функции ()
139
)
= 0
На рис. 3.3 показаны графики функции () и частичных сумм
(), (), (). Видно, что при увеличении n графики частичных сумм
все точнее и точнее представляют функцию ().
Рис. 3.3. График функции () (показан красным цветом);
графики частичных сумм
(показан пунктирной линией с точками),
()
(показан пунктирной линией),
() (показан синим цветом)
()
Ответ. () = 2
+
, \{±; ±3; …
}
.
Пример 3.4. Разложите в ряд Фурье 2π-периодическую функцию (),
заданную на промежутке (, ] формулой
() =
1, (, 0
)
1, [0, ].
Решение. Функция () удовлетворяет условиям теоремы Дирихле,
значит, она разлагается в ряд Фурье в точках ее непрерывности. График
функции () показан на рис. 3.4.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.6):
=
()
=
140
(1)
+
= 0,