Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Определим число n так, чтобы
|
|
<
.
Достаточно подобрать n, чтобы выполнялось неравенство
()!
<
Данное неравенство выполняется при 4.
Действительно, при = 4 имеем
!
=
<
Итак, принимаем = 4. Тогда получим
1
!
+
!
Поскольку число слагаемых меньше
1
2
до 8 знаков после запятой.
1
+
2! 5
обыкновенные дроби с точностью
1
1! 5
.
!
1
10 и = 5, надо вычислять
3! 5
1
=
+
.
!
.
1
+
4! 5
1,00000000 0,20000000 + 0,02000000
0,00133333 + 0,00006666 = 0,81873333 0,81873.
Ответ. 0,81873.
2. Вычисление значений логарифмической функции
Для вычисления значений логарифмической функции (логарифма
числа) непосредственное применение разложения функции
ln( 1 + ) =
2
+
...
3
затруднительно из-за ограничения 1 < 1 и медленной сходимости.
1
Смотри пример 1.27. Поскольку =
2
С точностью до + 3 = 5 + 3 = 8 знаков после запятой.
, то = 5.
111
Например, чтобы вычислить ln 2 с точностью =
ем формулы
с использовани-
ln 2 = 1
+
+ ... + (1)
+ ...,
нужно сложить 100000 членов данного ряда.
Далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число
=
,
∞
пригоден для фактического вычисления этого числа, даже если члены ря-
да просты, и оценка остатка ряда производится легко.
Вопрос заключается в быстроте сходимости, т. е. в быстроте прибли-
жения частичной суммы ряда к числу А.
Заменив на в формуле
ln( 1 + ) =
+
+ ..., 1 < 1,
получим
ln( 1 ) =
..., 1 < 1.
Вычтем из первого равенства второе:
ln
= 2 +
+
+ ..., 1 < < 1. (2.44)
Формула (2.44) удобна для вычисления логарифма числа, поскольку:
1)
> 0, (1; 1
)
;
2) ряд (2.44) сходится довольно быстро.
Оценим остаток ряда (2.44):
|
|
= 2
+
+ < 2
+
+ =.
= 2
()(
112
.
)
Погрешность приближенного равенства
ln
1 +
1
2 +
3
+
5
+. . . +
21
определяется неравенством
|
|
< 2
()(
. (2.45)
)
Пример 2.29. Вычислите число ln 2 с точностью до = 0,0001.
Решение. Воспользуемся формулой
Положим
ln
= 2, откуда =
ln 2 = 2
= 2 +
+
. Тогда
+
+
+. . . .
+
+. . . .
Подставим =
Определим число n так, чтобы
в формулу (2.45) и получим
|
|
< 2
()
|
=
|
< 0,0001.
()
.
Достаточно подобрать n, чтобы выполнялось неравенство
()
< 0,0001.
Данное неравенство выполняется при = 4. Действительно,
()
=
=
<
= 0,0001.
Итак, принимаем = 4.
ln 2 2
1
3
+
1
3 3
1
+
5 3
+
1
7 3
=
113
2
3
+
2
3 27
+
3 405
2
+
3 5103
2
(число слагаемых меньше1 10 и k = 4, вычисляем обыкновенные дроби
с точностью
2
до 7 знаков после запятой)
0,6666666 + 0,0246913 + 0,0016460 + 0,0001306 =
= 0,6931345 0,6931.
Ответ. 0,6931.
3. Вычисление значений тригонометрических функций
sin и cos
1) Для вычисления значений функции sin пользуются формулой
sin =
!
+
... + (1)
!
()!
+ ..., .
Ошибка оценивается неравенством
|
()
|=|
()
|
<
||
()!
. (2.46)
2) Для вычисления значений функции cos пользуются формулой
cos = 1
+
... + (1)
!
!
+ ... , .
()!
Ошибка оценивается неравенством
|
()
|=|
()
|
<
()!
||
. (2.47)
Пример 2.30. Вычислите cos 1
Решение. cos 1= cos
cos = 1
1
Смотри пример 1.27. Поскольку = 0,0001, то = 4.
2
С точностью до + 3 = 4 + 3 = 7 знаков после запятой.
с точностью до = 0,0001.
. Положим =
2!
+
. . . +(1)
4!
114
и подставим в формулу
(2)
+. . . .
!
Тогда
cos
180
= 1
1
2!
180
и
|
|
<
Подберем n, чтобы выполнялось неравенство
|
|
<
()!
Данное неравенство выполняется при 1.
При = 1 действительно имеем
|
|
<
()!
<
!
=
=
1
+
()!
4!
180
.
< 0,0001.
<
...
<
= 0,0001.
Итак, принимаем = 1 и имеем
cos 1= cos
1
!
Ответ. 0,9998.
4. Вычисление арифметических корней
m-й степени из числа
При вычислении числа
1) подбираем число
, где > 0, применяют следующий прием:
, близкое к а, из которого извлекается точный
корень, т. е. представляем число а в виде
= + ,
0,9998.
где
< 1,
115
=
+
в виде
=
1 +
= 1 +
,
2) записываем
3) полученную функцию разлагаем в биномиальный ряд по формуле
(1 + )= 1 + +
||
< 1, взяв =
, =
Пример 2.31. Вычислите
Решение.
68=64 + 4=
Воспользуемся формулой
(1 + )= 1 + +
Так как =
, то имеем
()
.
64 1 +
()
!
+ ... +
с точностью до = 0,001.
= 4 1 +
+ ... +
!
68
()...(())
!
()...(())
!
= 4 1 +
+ ...,
+ ...,
||
.
< 1.
1
1
(1 + )
= 1 +
1
3
= 1 +
+
1
3
3
3
2!
1 2
3
1
2!
+
1 2 5
+
3
Тогда
68
= 4 1 +
= 4 1 +
Данный ряд является рядом Лейбница.
|
Неравенство
|
< 0,001 выполняется при = 3.
116
1
3
!
1
3
3!
1
3!
. . . .
+
1
3
!
2
+. . .
.
Действительно, по лемме 1.1 имеем
|
|
< 4
!
Итак, принимаем = 3.
68
= 4 1 +
4 1 +
(так как число слагаемых меньше
дроби с точностью
2
до 6 знаков после запятой)
4,000000 + 0,083333 0,001736 = 4,081597 4,082.
Ответ. 4,082.
2.5.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
=
1
10 и k = 3, вычисляем обыкновенные
<
!
= 0,001.
= 4 +
.
Для приближенного вычисления определенных интегралов
()
подынтегральную функцию разложим в степенной ряд.
Если отрезок [, ] лежит внутри интервала сходимости, то ряд мож-
но интегрировать почленно, и интеграл является суммой некоторого числового ряда.
Если удается оценить остаток ряда, то можно вычислить значение
суммы ряда с заданной степенью точности.
Пример 2.32. Вычислите интеграл
cos
с точностью до 0,0001.
Решение. В формуле (2.30)
cos = 1
1
Смотри пример 1.27. Поскольку = 0,001, то = 3.
2
С точностью до + 3 = 3 + 3 = 6 знаков после запятой.
!
+
... + (1)
!
+ ... ,
()!
117
заменим
на
и получим разложение подынтегральной функции
cos = 1
+
+
, .
Интегрируя его на отрезке [0;1] почленно, получим
cos
=
= 1
|
10
1
+
1
+
10
216
216
1
9360
720 13
+
685440
1
+
40320 17
… .
Полученный ряд является рядом Лейбница, по лемме об оценке
остатка знакочередующегося ряда имеем
|
|
<
<
<
= 0,0001.
… =
Таким образом, для вычисления с точностью 0,0001 достаточно взять
четыре члена ряда:
cos
(число слагаемых меньше
с точностью
2
до 7 знаков после запятой)
1
1
10, = 4, вычисляем обыкновенные дроби
1
10
+
1
216
1
9360
1,0000000 0,1000000 + 0,0046296 0,0001068 =
= 0,9045228 0,9045.
Ответ. 0,9045.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Приближенное вычисление значений показательной функции.
2. Приближенное вычисление значений логарифмической функции.
1
Смотри пример 1.27. Поскольку = 0,0001, то = 4.
2
С точностью до + 3 = 4 + 3 = 7 знаков после запятой.
118
3. Приближенное вычисление значений тригонометрических функций
№ 197.
.
№ 200.
.
№ 201.
.
№ 202. ln 5.
№ 203. ln 0,9.
№ 204. ln 1,2.
№ 205. lg 4.
№ 206. lg 8.
№ 207. sin 1.
№ 208. sin 3.
№ 209. sin 10.
№ 210. cos 3.
№ 211. cos 9.
№ 212. 1,4.
№ 213. 9,2.
№ 214.
16,8
.
№ 215.
270
.
№ 217.
1,06
.
32,5
№ 220.
8,36
.
sin
,
cos( 3)
,
,
,
sin( 2)
()
,
,
cos( 2)
sin и cos .
4. Приближенное вычисление значений арифметических корней m-й
степени из числа.
5. Приближенное вычисление определенных интегралов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вычислите с точностью до 0,001:
№ 199.
№ 219.
№ 198.
.
.
№ 216.
№ 218.
.
.
.
Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001:
№ 221.
№ 223.
№ 225.
№ 227.
№ 229.
. № 222.
.
.
.
.
119
№ 224.
№ 226.
№ 228.
№ 230.
.
.
.
.
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
!
(
)
(1)
(
)
(
)
(
)
!
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
!
(
)(
)
(
)
(
)
(1)
(
)
()(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
!
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(1)
(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
(
9
)
,
sin
(
16
)
,
,
1 + 4
,
Задание 1. Найдите область сходимости степенного ряда.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
1.9.
1.11.
1.13.
1.15.
1.17.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
. 1.2.
.
.
. 1.8.
.
.
.
.
.
1.4.
1.6.
1.10.
1.12.
1.14.
1.16.
1.18.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.19.
1.21.
1.23.
1.25.
1.27.
1.29.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
.
.
.
.
.
.
1.20.
1.22.
1.24.
1.26.
1.28.
1.30.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
.
.
.
.
Задание 2. Используя разложение подынтегральной функции в сте-
пенной ряд, вычислите интеграл с точностью до 0,001.
2.1.
. 2.2.
.
.
.
2.3.
.
2.4.
.
120