Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
3.6.2. Разложение в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке [0,2π]
Пример 3.14. Разложите в ряд Фурье функцию () = , заданную на
отрезке [0,2π].
Введем вспомогательную функцию
()
()= , 0 < 2
=
(0)
= (2)= 2, = 0.
Продолжим вспомогательную функцию периодически с периодом 2π
на всю числовую ось, тогда получим 2π-периодическую функцию (),
совпадающую с функцией () = на промежутке (0,2]. Функция ()
является периодической функцией с периодом 2π, удовлетворяет услови-
ям Дирихле на отрезке
[
0,2
]
, поэтому по теореме Дирихле эта функция
() разлагается в ряд Фурье (3.7) в точках ее непрерывности.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.6а):
=
cos =
=
=
= 2
+
,
= 0
,
1
=
sin =
=
1
cos
=
+
.
sin
=
Рядом Фурье функции () будет ряд
2 sin
.
Полученный ряд Фурье описывает функцию () только на интервале
(0,2π) и его сумма () равна () = () во всех точках непрерывности
161
)
.
, (0,2
)
.
функции (), т. е. () = , (0,2
Ответ. = 2 sin
3.6.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
[
заданной на отрезке
,
]
Пусть непериодическая функция () задана на отрезке [,
]
и удо-
влетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Для разложения функции
() в ряд Фурье на отрезке [,
]
следует:
1) построить вспомогательную функцию (), например, следующим
образом:
()
, <
=
(), = .
2) продолжить вспомогательную функцию
()
периодически на всю
числовую ось, пусть () – её периодическое продолжение на всю чис-
ловую ось;
3) разложить в ряд Фурье периодическое продолжение ().
Пример 3.15. Разложите в ряд Фурье функцию () = , заданную на
отрезке [1,3].
Решение. Функция () = , заданная на отрезке
периодической, удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке
[
1,3], не является
[
0,2
]
. Вве-
дем функцию
()
Продолжим вспомогательную функцию
()= , 1 < 3
=
(1)
=
(3)
= 3, = 1.
()
периодически с перио-
дом = 2=|3 1|= 2 (= 1) на всю числовую ось, тогда получим периодическую функцию (), совпадающую с функцией () = на ин-
тервале (1,3). Функция () является периодической функцией с перио-
[
дом
= 2, удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке
]
1,3
по теореме
Дирихле () разлагается в ряд Фурье (3.10) в точках ее непрерывности.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.9а), положив = 1:
1
=
()
=
162
=
1
2
(
9 1
)
= 4,
=
1
=
(
)
cos
=
=
=
cos
(
cos 3cos
=
)
= 0,
=
1
=
1
(
3 cos 3cos
(
cos
=
)
)
sin
+
1
=
+
sin
cos
sin
=
2(1)
=
=
2(1)
=
Найдем ряд Фурье функции () по формуле (3.10):
2
2 +
sin
1
sin 2
2
sin 3
+
.
3
Сумма () полученного ряда Фурье равна () = () в точках не-
прерывности функции (). Внутри отрезка [1,3]
.
() = ()
(
во всех точках непрерывности функции (), т. е.
1,3
)
.
Постройте графики функций () и ().
Ответ. = 2 +
Пример 3.16. Разложите в ряд Фурье функцию () =
[
0,
]
.
на
Решение. Для разложения в ряд Фурье функции () =
+
,
(
)
1,3
.
, заданную
построим
её периодическое продолжение с периодом = 2=|0|= (=
вводя вспомогательную функцию
()
()= , 0 <
=
(0)
= ()= , = 0.
),
163
Функцию
()
периодически продолжаем на всю числовую ось, в ре-
зультате такой операции получим периодическую функцию (), кото-
рую можно разложить в ряд Фурье (3.10) в точках её непрерывности.
Коэффициенты Фурье вычислим по формулам (3.9а), положив
= 0, =
:
=
()
=
=
=
,
1
=
(
)
cos
=
2
cos
2
2
=
cos 2
=
= = 2
=
sin 2
=
= cos 2 =
2
=
2
sin 2
2
2
sin 2
2
=
2
sin 2
=
= =
=
cos 2
=
= sin 2 =
2
=
2
cos 2
2
+
cos 2
2
=
=
=
,
2
sin 2=
=
1
=
(
)
sin
2
=
sin
2
+
= = 2
=
cos 2
=
= sin 2 =
2
=
2
cos 2
2
+ 2
164
cos 2
2
=
=
2
cos 2
2
+ cos 2
=
= =
sin 2
= cos 2 =
2
=
=
2
=
2
2
sin 2
+
2
2
1
+
cos 2
2
2
sin 2
=
2
=
.
Ряд Фурье функции () найдем по формуле (3.10):
∞
+
1
cos 2
sin 2
.
3
Сумма () полученного ряда Фурье равна () = () во всех точ-
ках непрерывности функции (), т. е. (0,
)
.
Постройте графики функций () и ().
Ответ.
=
+
cos 2
sin 2
, (0,
)
.
[
3.6.4. Разложение в ряд Фурье функций на отрезке
Пусть функция (
)
, заданная на отрезке
[
]
0,
, удовлетворяет услови-
,
]
ям Дирихле на этом отрезке. Опишем процедуру разложения функции
в ряд Фурье в этом случае:
1) доопределим функцию () на интервал (-l,0) произвольным обра-
зом, получим функцию (), определенную на промежутке (-l,l];
2) введем вспомогательную функцию
(), <
()=
(), = ;
3) функцию (
обозначим через () периодическое продолжение (
)
периодически продолжим на всю числовую ось,
)
;
4) функцию () разложим в ряд Фурье.
165
При четном продолжении функции (), 0 , на промежуток
[
, 0
)
вспомогательную функцию вводить не имеет смысла, так как
в этом случае ()= () и тогда можно сразу делать периодическое
продолжение.
Заметим, что существует бесконечно много способов доопределения
функции () на интервал (, ).
Рассмотрим часто применяемые на практике способы доопределения
функции ():
]
, 0
.
]
а)
Функция
[
,
]
б)
;
() =
четн
нечетн
(), [0,
(),
() называется четным продолжением функции () на
() =
(), [0,
(), [, 0).
Функция
() на [,
]
.
Если функция () удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [0,
то функции
[
на
, ] и их периодические продолжения
() называется нечетным продолжением функции
(),
()
удовлетворяют условиям Дирихле
(),
() на число-
]
вую ось разлагаются в ряд Фурье в точках их непрерывности: функция
() – по косинусам,
нечетн
() – по синусам.
На промежутке [0, ) полученные ряды косинусов и синусов имеют
одну и ту же сумму (), равную () = () в точках непрерывности
()()
функции () и (
Пример 3.17. Разложите в ряд Фурье функцию () =
[
на отрезке
0,
]
.
)
=
в точках разрыва функции ().
, заданную
,
Решение. Функция () =
, заданная на отрезке
[
0,
]
, является не-
периодической, удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [0,
[
жим данную функцию в ряд Фурье на отрезке
166
]
0,
двумя способами:
π
]. Разло-
a) доопределим функцию () на отрезок [, 0
Получим функцию
]
четным образом.
,
,
]
. Ее периодическое продолже-
() =
четн
заданную на отрезке
[
,
]
, которая является четной на отрезке
удовлетворяет условиям Дирихле на
ние на всю числовую ось
() разлагается в ряд Фурье по косинусам
четн
[
(3.13).
В примере 3.7 были найдены коэффициенты Фурье по формулам
(3.14):
= 0, = 1,2, . ..,
=
,
=
(
1
)
.
Получим разложение исходной функции:
=
+ 4
∞
()
cos , (0,
)
;
[
,
]
,
б) доопределим функцию () на отрезке [, 0
]
нечетным образом.
Получим функцию
]
нечетн
() =
, [0,
, [, 0),
ее периодическое продолжение на всю числовую ось
в ряд Фурье по синусам (3.11).
Вычислим коэффициенты ряда Фурье по формулам (3.12):
= 0, = 0, = 1,2, …,
=
2
cos
2
=
sin
+ 2
cos
= = 2
=
= sin =
= =
=
= cos =
нечетн
cos
() разлагается
=
sin
=
167
=
2
cos +
2sin
2
sin
=
=
нечетн
+
() имеет вид
=
2
cos +
2
=
(1)
2
+
Ряд Фурье для функции
∞
cos
2
((1)1)=
(1)
Разложение искомой функции имеет вид
=
(1)
+
(
(1)1)
Ответ.
2
cos +
2
(1)
(
(1)1)
2
(
cos 1)=
+
4
(
(
1)1
sin .
sin , (0,
)
.
)
.
а)
б)
=
=
+ 4
()
(1)
cos , (0,
+
(
(1)1)
)
;
sin , (0,
)
.
Замечание 1. Ряды, полученные в примере 3.16 и в пунктах а), б)
(
примера 3.17, сходятся на интервале
() = , т. е. имеют одну и ту же сумму, равную
)
0,
к одной и той же функции
.
Замечание 2. Об убывании коэффициентов Фурье. Существует фун-
даментальная связь между «гладкостью» функции и скоростью убывания
её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффи-
циенты стремятся к нулю, и наоборот:
1) коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся
к нулю (лемма Римана-Лебега);
2) если функция () непрерывно дифференцируема k раз, то её ко-
эффициенты Фурье стремятся к нулю как
168
.
В примере 3.17 при четном продолжении коэффициенты Фурье
=
(1)
енты Фурье
и убывают как
=
(1)
, а при нечетном продолжении коэффици-
+
(
(
1)1
В этом примере при четном продолжении:
(0 0)=
(
0 + 0
)
= 0, (0 0)=
(0 0)=
при нечетном продолжении:
(0 0)=
(
0 + 0
)
= 0, (0 0)=
(0 0)= 2,
(
0 + 0
(
0 + 0
)
и убывают как
)
= 2;
)
(
(
= 2.
0 + 0
0 + 0
)
)
.
= 0,
= 0,
3.7. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Утверждение 3.2. Если 2-периодическая функция () удовлетворя-
ет условиям Дирихле на отрезке
[
,
функции () в ряд Фурье в точках ее непрерывности:
() =
∞
где
=
()
Доказательство. Так как функция () – 2-периодическая, удовле-
творяет условиям Дирихле на отрезке
справедливо разложение
]
, то имеет место разложение
∞
[
, (3.19)
, . (3.20)
,
]
, то по теореме Дирихле
() =
+ (cos + sin
2
в точках непрерывности функции ().
169
)
Подставив выражения cos =
Фурье, получим
∞
+ (cos + sin
2
и sin =
)
=
в ряд
где
Имеем
=
=
=
+
2
+
2
+
=
∞
∞
∞
,
(
+
2
=
() =
2
+
,
+
+
+
)
=
2
=
.
=
2
∞
=
∞
,
, 1. (3.20а)
Но для коэффициентов
=
справедливы и другие формулы, а именно:
()
Действительно, умножая обе части равенства (
, , интегрируя и учитывая, что
получим
()
=
= 2
, т. е.
()
, .
Определение 3.12. Ряд
∞
∞
, (3.19а)
, .
)
=
0,
=
2, = ,
на
170