Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Тогда
x
0
расходится
-R
R
расходится
Ряд сходится
Ряд
.
По теореме 2.1 ряд
|
сходится, является мажорантным рядом для ряда
|=|
удовлетворяющего условию
Следствие 2.2. Если ряд
расходится : |
|>|
||
|
(
сходится, притом абсолютно ,
|
<
.
|
)
|
. Теорема доказана.
расходится при =
.
Доказательство. Докажем от противного.
Пусть ряд
|
вию
|>|
|
.
сходится при =
, удовлетворяющего усло-
Тогда по теореме Абеля ряд сходится абсолютно при таких,
что
||<|
|
, в частности, в точке
, что противоречит с условием след-
, то он
ствия. Следствие доказано.
Из теоремы Абеля следует, что существует интервал
которого степенной ряд
∞
абсолютно сходится и вне которого
расходится (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Внутри интервала
вне данного интервала – расходится
(
,
)
ряд сходится,
(
,
)
, внутри
мости степенного ряда
сходимости степенного ряда) называется радиусом сходимости степенно-
го ряда
Определение 2.11. Интервал
∞
.
(
,
. Число R (половина длины интервала
81
)
называется интервалом сходи-
Замечание:
x
a
расходится
a-R
a+R
расходится
Ряд сходится
1) если ряд
сходится лишь при х = 0, то R = 0;
2) если ряд сходится , то = +;
3) на концах интервала сходимости при = ± вопрос о сходимости
и расходимости ряда
∞
исследуется индивидуально для каждого
заданного ряда.
Область сходимости степенного ряда
∞
всегда состоит
из его интервала сходимости и, быть может, граничных точек этого
интервала.
Областью сходимости степенного ряда
∞
является:
1) промежуток с центром в точке 0;
2) одноточечное множество {0};
3) промежуток (∞; +∞).
Промежуток, например, [2; +∞) не может быть областью сходимости
степенного ряда.
Замечание. Интервалом сходимости ряда
()
является
интервал (, + ) с центром в точке а (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Внутри интервала
вне данного интервала – расходится
(
, +
)
ряд сходится,
является промежуток [1; 5), то R = 3.
Пример 2.8. Если областью сходимости некоторого степенного ряда
82
2.3.2. Способы нахождения радиуса сходимости
расходится
-2 0 2 х
расходится
Ряд сходится
степенного ряда
Теорема 2.6. Радиус сходимости R степенного ряда
жет быть вычислен по любой из двух формул
=
∞
=
∞
, (2.12)
, (2.13)
|
|
если только соответствующий предел существует.
Пример 2.9. Найдите область сходимости ряда
Решение.
=
,
()
=
.
Найдем радиус сходимости ряда по формуле (2.12):
=
∞
∞
=
()
= 2.
∞
∞
.
мо-
Интервал сходимости (; ) = (2; 2) (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Внутри интервала
(
2,2
)
ряд сходится,
вне данного интервала – расходится
Исследуем поведение ряда в граничных точках = 2 и = 2:
при = 2 ряд
при = 2 ряд
∞
∞
()
=
∞
∞
=
(1)
расходится.
расходится;
Ответ. Область сходимости (2; 2).
83
()
1
x
3
расходится
5
расходится
Ряд сходится
∞
= 2.
Пример 2.10. Найдите область сходимости ряда
Решение. а = 3,
=
=
∞
,
=
=
()
∞
,
()
Интервал сходимости (; + ) = (1; 5) (рис. 2.5).
.
(
Рис. 2.5. Интервал
)
1,5
– интервал сходимости ряда
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости = 1
и = 5:
=
=
∞
∞
(1)
расходится.
расходится;
при = 1 ряд
при = 5 ряд
∞
∞
()
Ответ. Область сходимости (1; 5).
Пример 2.11. Найдите область сходимости ряда
Решение. =
. Найдем радиус сходимости ряда по формуле
∞
.
(2.13):
=
∞
|
=
|
∞
=
∞
= 0.
Ряд сходится только в точке x = 0.
Интервал сходимости состоит из одной точки 0.
Ответ. Область сходимости
{0}
.
84
∞
-9
x
-5
расходится
-1
расходится
Ряд сходится
∞
= 0.
Пример 2.12. Найдите область сходимости ряда
Решение. = , =
∞
|
=
|
∞
=
Ряд сходится только в точке = 2.
Интервал сходимости состоит из одной точки 2.
(+ 2)
.
Ответ. Область сходимости
Пример 2.13. Найдите область сходимости ряда
Решение.
=
!
,
=
{2}
()!
.
, =
∞
=
∞
∞
!
!
.
()!
= +∞.
Ответ. Область сходимости (∞; +∞).
Пример 2.14. Найдите область сходимости ряда
∞
(1)
()
.
Решение. Заданный степенной ряд является рядом вида (2.10), где
= 5,
()
=
.
Найдем радиус сходимости ряда по формуле (2.13):
=
∞
|
=
|
∞
=
∞
4
= 4.
Интервал сходимости (; + ) = (9; 1) (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Интервал
(
9, 1
)
– интервал сходимости ряда
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
при = 9 ряд
∞
(1)
()
=
∞
(1)
()
дится;
85
∞
=
расхо-
при = 1 ряд
∞
(1)
=
∞
()
сходится
1
.
Ответ. Область сходимости (9; 1].
∞
Замечание. Интервал сходимости степенного ряда
()
можно
найти, применяя непосредственно признак Даламбера или Коши к ряду,
составленному из абсолютных величин членов исходного ряда:
()
< 1 или
()
Пример 2.15. Найдите область сходимости ряда
Решение. () =
,
() =
∞
()
|()|
.
< 1.
∞
.
Найдем интервал сходимости по признаку Даламбера:
()
∞
< 1 3+3< 0 (
()
=
Интервал сходимости (
∞
3;
3).
=
< 1,
3;
3).
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
∞
∞
(
)
=
при =
при =
3 ряд
3 ряд
Ответ. Область сходимости (
=
∞
∞
3;
1
расходится;
1
расходится.
3).
()
2.3.3. Свойства степенных рядов
Теорема 2.7. Степенной ряд сходится равномерно в любом отрезке,
содержащемся в его интервале сходимости.
Теорема 2.8. Ряды
∞
1
По теореме Лейбница.
(
86
)
, (2.14)
∞
(
)
, (2.15)
∞
(
)
(2.16)
имеют одинаковый радиус сходимости R, а в случае 0 один и тот же
интервал сходимости.
Теорема 2.9. Если () – сумма ряда
(
)
с радиусом
сходимости 0 и отрезок [; ] содержится в интервале сходимости,
то функция () интегрируема на отрезке [; ] и
()
=
(
)
.
В частности,
)
()=
(
∞
в том же интервале сходимости.
Другими словами, степенной ряд можно почленно интегрировать по
любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости.
Пример 2.16. Найдите область сходимости и сумму ряда
+
... + (1)
+ ... . (2.17)
Решение. Легко видеть, что ряд (2.17) может быть получен из ряда
+ ... + (1)
+ ... (2.18)
почленным интегрированием на отрезке [0; ].
Из теоремы 2.8 следует, что интервалы сходимости рядов совпадают.
Ряд (2.18) является геометрической прогрессией, сходится в интерва-
ле (1,1) и имеет сумму () =
.
87
Из теорем 2.8, 2.9 следует, что интервал (1,1) является интервалом
сходимости и ряда (2.17), а суммой ряда (2.17) в этом интервале – функция
() =
()
=
=
ln( 1 +
).
Исследуя на сходимость ряд (2.17) в точках = 1 и = 1, получим,
что ряд в точке = 1 расходится, а в точке = 1 сходится.
Ответ. Областью сходимости ряда является промежуток (1,1],
а суммой ряда – функция () =
Теорема 2.10. Если () – сумма ряда
ln( 1 +
).
(
)
в интервале
сходимости, то функция () дифференцируема в этом интервале и ее
производная () является суммой ряда
∞
(
)
.
Другими словами, cтепенной ряд можно почленно дифференцировать
в интервале сходимости.
Следствие 2.3. Сумма () степенного ряда
∞
(
)
явля-
ется бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости.
Пример 2.17. Найдите область сходимости и сумму ряда
1 2+ 3... + (1)
+ ... . (2.19)
Решение. Ряд может быть получен из ряда (2.18) почленным диффе-
ренцированием. Из решения примера 2.16 и теорем 2.8, 2.10 вытекает, что
интервалом сходимости ряда (2.19) является (1,1) и сумма () ряда
(2.19) в указанном интервале равна производной суммы ряда (2.18), т. е.
() = ′() =
′
=
(
)
.
Исследуя на сходимость ряд (2.19) в точках = ±1, получим, что ряд
расходится в этих точках.
Ответ. Областью сходимости ряда является интервал (1,1), а сум-
мой ряда – функция () =
(
, (1,1).
)
88
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
()
()
(1)
!()
()
()
()
(1)
()
(1)
(+ 1)
()
(3)
№ 142.
()
∞
.
()
()
()!
()
()
()
(1)
()
()()
()
()
()
()
()
№ 153.
(+ 1)
∞
.
1. Степенной ряд.
2. Теорема Абеля.
3. Радиус сходимости степенного ряда.
4. Интервал сходимости степенного ряда.
5. Область сходимости степенного ряда.
6. Свойства степенных рядов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найдите область сходимости степенного ряда:
№ 133.
№ 135.
№ 137.
№ 139.
№ 141.
№ 143.
№ 145.
№ 147.
№ 149.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
. № 134.
. № 136.
.
.
№ 138.
№ 140.
.
.
№ 144.
. № 146.
.
№ 148.
. № 150.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
.
.
.
.
.
.
.
.
Найдите сумму ряда в области сходимости:
№ 151.
∞
.
№ 152.
№ 154.
89
∞
∞
.
.
№ 155.
()()
()
()()
(1)
()
(1)
()
∞
.
№ 156.
∞
.
№ 157.
№ 159.
∞
∞
. № 158.
.
№ 160.
∞
∞
2.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Определение 2.12. Говорят, что функция () разлагается в степен-
ной ряд в некоторой окрестности (
степенной ряд
(
)
, суммой которого является функция ().
2.4.1. Формулы Тейлора и Маклорена
Теорема 2.11. Если функция () определена в некоторой окрестно-
)
точки
, если существует такой
.
.
сти (
но, то (
)
и имеет в ней производные до (+ 1)-го порядка включитель-
() = (
)
справедлива формула Тейлора
()
!
) +
′(
!
)
(
)+. . . +
(
)
(
где
()
() =
(
(
()!
)
)
(
остаточный член в форме Лагранжа, 0 < < 1.
При
= 0 имеем формулу Маклорена
() = (0) + ′(0)+
"()
!
+. . . +
()
)
+ (), (2.20)
)
(2.21)
()
+ (), (2.22)
!
() =
()
()!
90
()
. (2.23)